基于QUBO模型的信用評分卡組合優(yōu)化研究

許宏飛 牟玲星 許文杰 鄧姍姍 唐亞林

摘? 要：銀行貸款審核制度對于保障銀行財(cái)產(chǎn)安全、防范信貸風(fēng)險(xiǎn)和維護(hù)金融市場秩序具有重要作用。為提高審核效率和準(zhǔn)確性，該文引入二維0-1變量，構(gòu)建選擇1張信用評分卡和3張信用評分卡的銀行最大收益模型。借助變量線性組合的方程將不等式約束轉(zhuǎn)變?yōu)榈攘考s束，通過換元法將二維變量表示為一維變量，利用0-1變量的性質(zhì)添加懲罰項(xiàng)將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束的QUBO模型。應(yīng)用模擬退火算法進(jìn)行快速求解并為銀行信用貸款資格審核工作提供指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：信用評分卡；最大收益模型；0-1二值變量；QUBO模型；銀行信用卡

中圖分類號：O29? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）19-0043-04

Abstract： Bank loan audit system plays an important role in ensuring bank property safety， preventing credit risk and maintaining financial market order. In order to improve the efficiency and accuracy of auditing， this paper introduces a two-dimensional 0-1 variable to construct a bank maximum return model which selects one credit scorecard and three credit scorecards. With the help of the equation of linear combination of variables， the inequality constraints are transformed into equivalent constraints， the two-dimensional variables are expressed as one-dimensional variables by the substitution method， and the objective function is transformed into an unconstrained QUBO model by adding a penalty term according to the properties of 0-1 variables. The simulated annealing algorithm is applied to solve the problem quickly and provide guidance for the bank credit loan qualification verification.

Keywords： credit scorecard; maximum return model; 0-1 binary variable; QUBO model; bank credit card

銀行通過歷史數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)制定審核規(guī)則對客戶進(jìn)行信用貸款評估，這些規(guī)則稱為信用評分卡[1-2]。在信用貸款審核過程中銀行追求提高信貸效率和降低信貸風(fēng)險(xiǎn)，基于此研究人員發(fā)布了一些方法幫助銀行進(jìn)行審核。例如，陸凌[3]根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)使用邏輯回歸和Xgboost預(yù)測貸款客戶違約概率。陳戰(zhàn)勇[4]基于人人貸平臺數(shù)據(jù)，使用機(jī)器學(xué)習(xí)算法進(jìn)行特征變量篩選，建立融合權(quán)重證據(jù)的信用評分卡模型用于預(yù)測借款客戶的違約情況。但是當(dāng)數(shù)據(jù)量比較大時(shí)機(jī)器學(xué)習(xí)算法計(jì)算量較大，計(jì)算代價(jià)較大。QUBO模型[5-7]是一種用于解決組合優(yōu)化問題的二次無約束二值優(yōu)化模型，可以在量子計(jì)算機(jī)硬件上進(jìn)行毫秒級的加速求解，這種模型和加速方式被看好將在未來各行業(yè)中得到廣泛的實(shí)際應(yīng)用[8]。本文將多約束的信用貸款評估模型轉(zhuǎn)化為QUBO 模型求解可以快速完成評估，為銀行貸款審核提供幫助。

1? 問題描述

在銀行信用卡和貸款業(yè)務(wù)中，客戶在獲得信用或貸款資格之前需要通過審核規(guī)則進(jìn)行信用評定。評定過程為通過信用評分卡的組合規(guī)則對客戶打分，不同的評分卡在不同的閾值下，對應(yīng)不同的通過率和壞賬率。銀行通過率越高，獲得的利息收入越多，但也伴隨著更高的壞賬風(fēng)險(xiǎn)。銀行的最終收入等于貸款利息收入減去壞賬損失。

工作人員設(shè)置了100張信用評分卡，每張卡有10個(gè)閾值選項(xiàng)，總共有200列數(shù)據(jù)[9]，其中t1到t100代表每個(gè)評分卡的10個(gè)通過率選項(xiàng)，h1到h100代表每個(gè)評分卡的10個(gè)壞賬率選項(xiàng)。

建立數(shù)學(xué)模型研究以下問題。

問題1：在給定的100個(gè)信用評分卡中選擇1張?jiān)u分卡及其對應(yīng)的閾值，使最終收入最大化。

問題2：從給定的100個(gè)信用評分卡中任選取3種評分卡，并設(shè)置它們的閾值以使最終收入最大化。

2? 優(yōu)化模型建立與QUBO模型轉(zhuǎn)化及求解

2.1? QUBO模型基礎(chǔ)知識

QUBO模型描述優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)公式為

式中：x是二值變量組成的列向量，Q是對稱矩陣或上（下）三角矩陣，下面給出一個(gè)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化QUBO模型的例子，考慮優(yōu)化問題。

進(jìn)一步可以簡記為式（1），容易求得最大值在（x1，x2，x3=（0，0，1）處取到。

QUBO模型是一類被認(rèn)為是NP難的問題，精確求解器（如CPLEX和Gurobi）很難在除了小問題之外找到最優(yōu)解。幸運(yùn)的是，現(xiàn)代元啟發(fā)式方法能夠在合理的時(shí)間內(nèi)找到高質(zhì)量但不一定是最優(yōu)的解決方案[7]，這為經(jīng)典計(jì)算和量子計(jì)算的結(jié)合提供了有價(jià)值的可能性，QUBO模型可以自然地用來解決各種優(yōu)化問題。此外，許多與QUBO模型看似無關(guān)的問題也可以重新表述為QUBO模型。本文接下來將帶約束的信用評分卡優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為QUBO模型求解。

2.2? 1張信用評分卡優(yōu)化模型與QUBO模型轉(zhuǎn)化及求解

問題1：需要選擇使得銀行獲得最大收入的信用評分卡及閾值組合。最終收入可以表示為貸款利息收入與壞賬損失的差。設(shè)有N種信用評分卡，每種信用評分卡對應(yīng)有n個(gè)閾值，引入0-1變量eij，eij=1表示選擇組合閾值i和信用評分卡j，反之不選擇閾值i或信用評分卡j。設(shè)H為貸款總資金，r為利息收入率，tij為組合閾值i和信用評分卡j的通過率，hij為組合閾值i和信用評分卡j的壞賬率。g為貸款收入。最優(yōu)組合的收益表示

為了將約束條件整合到目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中，引入懲罰項(xiàng)將式（2）化為無約束形式

2.3? 3張信用評分卡優(yōu)化模型與QUBO模型轉(zhuǎn)化及求解

2.3.1? 約束條件的矩陣形式

在實(shí)際場景中可能選擇多張信用評分卡和閾值組合一起對貸款客戶信息信用評定，問題2要求選擇3張信用評分卡，有

那么

根據(jù)式（4）不難推出

為了寫成矩陣形式，設(shè)

式中：aj=（0，0，…1，0，…，1，…，1…，0）T，列向量的第j，（N+j），…，Nn-1+j個(gè)分量為1，其余為0。記ajaj=Aj，則選擇不同信用評分卡約束可表示為

2.3.2? 3張信用評分卡優(yōu)化模型的建立及QUBO模型轉(zhuǎn)化

貸款收入等于貸款利息收入減去壞賬損失，根據(jù)約定[9]多種信用評分卡組合的總通過率為所有信用評分卡通過率的乘積，總壞賬率等于所有信用評分卡對應(yīng)壞賬率的平均值。

3張信用評分卡組合的通過率即為eijtij中不為0的3個(gè)之積，而選擇哪3個(gè)是未知的，且沒有選中的信用評分卡eijtij一定為0。而

因此3張信用評分卡卡最優(yōu)組合的收益為

求解式（8）可以轉(zhuǎn)化為求解以下優(yōu)化問題

轉(zhuǎn)化eij為單下標(biāo)變量并重新編號eij=x，lntij=lntk，hij=hk，k=N（i-1）+j，由xk為0-1變量，x=xk，帶入式（6），上面的模型可化為

舍掉常數(shù)項(xiàng)，QUBO形式為

2.3.3? QUBO模型的求解

代入N=100，n=10，H=1 000 000，r=0.08及信用評分卡調(diào)查數(shù)據(jù)，選取P為uvT-Λ的最大值，應(yīng)用模擬退火算法溫度設(shè)為100 000 ℃，最大迭代次數(shù)設(shè)為100 000 000，進(jìn)行多輪求解，求得最小值對應(yīng)的解x為第108，249，533個(gè)分量為1，其他分量為0。

根據(jù)eij=xk，k=N（i-1）+j還原可得i=2，l=8；j=6，p=33；k=3，q=49。所以3張信用評分卡收益最大的組合為信用評分卡8和閾值2，信用評分卡33和閾值6，信用評分卡49和閾值3。

3? 結(jié)束語

本論文利用QUBO模型解決銀行信貸客戶資格審核問題，以實(shí)現(xiàn)銀行的最大收益。在3張信用評分卡組合的優(yōu)化模型建立中，以各信用評分卡為底數(shù)，以二維0-1變量eij指數(shù)連乘表示信用評分卡組合的總通過率，以選中3張信用評分卡的平均壞賬率表示總壞賬率，建立3張信用評分卡組合的最優(yōu)收益模型，通過變量線性組合的方程將難以整合到懲罰項(xiàng)的不等式約束轉(zhuǎn)化為等號約束，再將二維變量簡化為一維變量，成功將帶有連乘項(xiàng)和連加平方項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)簡化為同解的只具有連加項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)，并將其轉(zhuǎn)化為無約束的QUBO模型進(jìn)行求解。本文重點(diǎn)介紹了1張信用評分卡和3張信用評分卡的情況，其他情況類似，不再詳述。研究結(jié)果表明，在使用QUBO模型進(jìn)行求解時(shí)，只需關(guān)注Q矩陣部分，求解速度快。尤其是在解決1張信用評分卡的情況下，最優(yōu)解恰為Q矩陣主對角線的最小值。總的來說，QUBO模型易于操作和求解，并可為銀行的信用評估工作提供便捷和支持。

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