考慮動態(tài)摩阻的抽水蓄能電站水力瞬變建模模擬

收稿日期： 2022-10-16； 修回日期： 2023-03-31； 網(wǎng)絡出版時間： 2024-06-03

網(wǎng)絡出版地址： https：//link.cnki.net/urlid/32.1814.TH.20240530.1635.002

基金項目： 國家自然科學基金資助項目（51839008，51679066）；霍英東教育基金會青年教師基金項目（161068）

第一作者簡介： 吳金遠（1997—），男，江蘇宜興人，助理工程師（wjy_hhu@163.com），主要從事水電站、泵站水力學研究.

通信作者簡介： 周領（1985—），男，安徽滁州人，教授（zlhhu@163.com），主要從事水電站、泵站水力學研究.

摘要： 針對抽水蓄能電站管道內(nèi)水力瞬變問題，考慮動態(tài)摩阻，采用二階有限體積法（FVM）Godunov格式進行數(shù)值建模與模擬.首先根據(jù)有限體積法將控制方程進行離散，通量計算用Riemann求解器.機組全特性曲線采用改進的Suter變換，在計算中分別考慮Brunone與TVB動態(tài)摩阻模型，將計算結果與恒定摩阻和試驗值進行對比，并進行了相應的參數(shù)敏感性分析.結果表明，在抽水蓄能電站管路模型中，動態(tài)摩阻模型僅增加了管道內(nèi)后續(xù)波動的衰減，對于初始波動幾乎沒有影響.在單管中，動態(tài)摩阻的影響隨著關閥時間的縮短而增大；而在抽水蓄能電站系統(tǒng)中由于雷諾數(shù)較大，動態(tài)摩阻模型的適用性較差，對于各項物理參數(shù)的變化均不敏感.這表明在大管徑、高流速的輸水工程中，可忽略動態(tài)摩阻的影響，但對于小管徑、低流速的工程，有必要考慮動態(tài)摩阻的影響.

關鍵詞： 抽水蓄能水電站；有限體積法；Godunov格式；動態(tài)摩阻；水力瞬變

中圖分類號： TV143.1" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1674-8530（2024）06-0612-07

DOI：10.3969/j.issn.1674-8530.22.0243

吳金遠，周領，劉德有. 考慮動態(tài)摩阻的抽水蓄能電站水力瞬變建模模擬［J］.排灌機械工程學報，2024，42（6）：612-618，648.

WU Jinyuan， ZHOU Ling， LIU Deyou. Numerical simulation of hydraulic transients in pumped storage power station with unsteady friction［J］.Journal of drainage and irrigation machinery engineering（JDIME），2024，42（6）：612-618，648.（in Chinese）

Numerical simulation of hydraulic transients in pumped

storage power station with unsteady friction

WU Jinyuan1，2， ZHOU Ling1*， LIU Deyou3

（1. College of Water Conservancy and Hydropower Engineering， Hohai University， Nanjing， Jiangsu 210098， China； 2. Shanghai Municipal Engineering Design Institute （Group） Co.，" Ltd.， Shanghai 200092， China； 3. International Center on Small Hydro Power， Hangzhou， Zhejiang 310002， China）

Abstract： By taking unsteady friction into account， the second-order finite volume method （FVM） Godunov scheme was utilized to undertake numerical simulation in order to investigate the hydraulic transient problem in the pipelines of pumped storage power plants. Firstly， the governing equations of the mathematical model were discretized according to the finite volume method， and the flux was calculated using the Riemann solver. The whole characteristic curves of the unit were transformed by using the improved Suter approach， and the Brunone and TVB unsteady friction models were respectively considered in the calculation. The calculated results of the proposed scheme were compared with that of the steady friction scheme and the measured data， and the corresponding parameter sensitivity analysis was also performed. The results show that the unsteady friction only increases the attenuation of subsequent fluctuations in the pipeline， but has little effect on the initial fluctuations in the pumped storage station pipe network model. In a single pipe， the influence of unsteady friction increases with the shor-tening of valve closing time. Due to the large Reynolds number in pumped storage power station systems， the unsteady friction model has poor applicability and is insensitive to changes in the related physical parameters. This shows that in water transmission projects with large pipe diameters and high flow rates， the impact of dynamic friction can be ignored， but for projects with small pipe diameters and low flow rates， the consideration of dynamic friction is still necessary.

Key words： pumped storage power station;finite volume method;Godunov scheme;unsteady friction;hydraulic transients

在抽水蓄能電站的建模模擬過程中，一般采用傳統(tǒng)的特征線法（method of characteristics， MOC）進行模擬計算，作為傳統(tǒng)的水錘計算模型，MOC有著計算精度高、編程方便等特點，但是在實際的抽水蓄能電站工程中往往存在許多短管，而MOC為了滿足庫朗數(shù)條件需要進行插值計算或者簡化模型，這樣會造成計算精度的降低.且在常規(guī)的水錘計算模型中，一般只考慮恒定摩阻模型，即在計算瞬變過程中，管道內(nèi)的摩阻始終與恒定流狀態(tài)摩阻相同.但是在實際瞬變過程中，管道內(nèi)的摩阻受到多方面因素的影響，計算結果可能與實際結果相差較大，更無法準確描述壓力波的波形畸變與峰值衰減［1］.

由于水錘計算模型為雙曲型偏微分方程，在計算過程中可能會出現(xiàn)一個非正則解［2］，而使用守恒量形式的有限體積法（finite volume method， FVM）則特別適用于對非正則解的追蹤［3］.GUINOT［4］最早將FVM運用于水錘問題，得到了和MOC相類似的格式.LEO＇N等［5］建立了一種基于有限體積法Godunov格式的二階精度方法，該公式不僅保持了該格式的守恒性，而且能夠在計算領域不引入非物理擾動.

如今，應用最廣的動態(tài)摩阻模型共有2類，一類是以Zielke模型［6］為代表的加權函數(shù)類模型，另一類是以Brunone模型［7］為代表的經(jīng)驗修正類模型.Zielke模型中管道瞬變流中瞬時管壁切應力由恒定項和附加項組成，但其計算存儲空間較大，計算時間較長.TRIKHA等［8］、VARDY等［9-10］對Zielke模型進行簡化，得到了計算效率較高的計算模型.Brunone模型將非恒定摩阻與瞬時當?shù)丶铀俣群蛯α骷铀俣嚷?lián)系起來， VTKOVSKY＇等［11］在Brunone模型基礎上進行了改進，可預測特定方向的水流和波的方向.

為了更準確地模擬抽水蓄能電站的水力瞬變過程，文中采用二階Godunov格式的FVM，并在計算過程中分別加入Trikha-Vardy-Brown（TVB）與Brunone動態(tài)摩阻，以實現(xiàn)對某抽水蓄能電站的水力瞬變模擬，并將結果與恒定摩阻模型和試驗值進行對比，并研究轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)的敏感性.

1" 數(shù)學模型及其求解

1.1" 水錘控制方程

對于管道內(nèi)的瞬變流，其控制方程可由連續(xù)性方程與動量方程得到，同時忽略對流項的影響，可寫成經(jīng)典水錘方程［12］為

Ut+Fx=S，（1）

其中，U=Hv，F(xiàn)=AU，A=0a2/gg0，S=0gS0－gJ，

式中：H為測壓管水頭，m；v為流速，m/s；g為重力加速度，m/s2；a為波速，m/s；J為管道摩阻，包含恒定摩阻與動態(tài)摩阻；S0為管道坡度；x為沿管軸線距離，m；t為時間，s.

有限體積法是通過將計算區(qū)域離散后的各單元體的積分來求解參數(shù).圖1為計算區(qū)域網(wǎng)格.

考慮到各單元體在時空內(nèi)均為連續(xù)均勻分布，故其求解格式寫成如下形式，即

Un+1i=Uni－ΔtΔxFi+12－Fi－12+ΔtΔx∫i+12i－12Sdx，（2）

式中：i為第i個控制體；Fi+1/2為控制體右邊界處的通量；Fi-1/2為控制體左邊界處的通量；Δt為時間步長，s；Δx為空間步長，m；上標n為t時刻；上標n+1為t+Δt時刻.

1.2" 水泵水輪機控制方程

1.2.1" 全特性曲線

水泵水輪機的全特性曲線用來反映在不同開度情況下水泵水輪機的各項特征參數(shù)間的關系.但是由于全特性曲線存在交叉、聚集、多值性等特點，因此需要對全特性曲線進行轉(zhuǎn)換，才能夠進行水泵水輪機各項特征參數(shù)的計算.由于常規(guī)的Suter變換［13］無法表示0開度線下轉(zhuǎn)速、流量、力矩間的關系，且在小開度情況下精度較差，因此文中采用改進的Suter變換，不僅可以表示0開度線下各參數(shù)的關系，對于小開度下曲線的疏密問題也有所改善，具體形式為

WH（x，y）=h/［（q+ch）2+n2］，（3）

WM（x，y）=m/h，（4）

x=arctan［（q+ch）/n］，n≥0，

x=arctan［（q+ch）/n］+π，nlt;0，（5）

式中：WH和WM分別為水頭特性函數(shù)和力矩特性函數(shù)；x為相對流量角；y為相對導葉開度；q為相對單位流量，q=Q11/Q11r；n為相對單位轉(zhuǎn)速，n=N11/N11r；h為相對水頭，h=H/Hr；m為相對單位力矩，m=M11/M11r；下標11表示單位值，下標r表示額定值；c為常數(shù)，一般取1.0～1.5，文中c取1.2.

1.2.2" 轉(zhuǎn)速平衡方程

水泵水輪機甩荷工況下，轉(zhuǎn)速平衡方程［14］為

n=n0+Δt（m+m0）/2Ta，（6）

式中：Ta為機組慣性時間常數(shù)，Ta=GD2Nr2365Pr，其中GD2為機組轉(zhuǎn)動慣量，t·m2；Nr為機組額定轉(zhuǎn)速，r/min；Pr為機組額定功率，kW；下標0表示上一時刻的值.

1.2.3" 水頭平衡方程

設蝸殼前和尾水管后壓力鋼管分別為節(jié)點1和2，在分別帶入特征線方程后，帶入水輪機水頭計算方程，可得到水頭平衡方程［14］為

h=［Cp1－Cm2－（Bp1+Bm2）Qrq+C2qq］/Hr，（7）

式中：Cp1，Bp1分別為蝸殼的特征線參數(shù)值；Cm2，Bm2分別為尾水管處的特征線參數(shù)值；系數(shù)C2=Q2r（1/A21－1/A22）/2g；A1，A2分別為蝸殼處、尾水管處壓力鋼管的面積.

聯(lián)立式（3），（4），（6）和（7），即可求出各瞬變時刻機組的水頭、流量、轉(zhuǎn)速、力矩等參數(shù).

1.3" 動態(tài)摩阻方程

1.3.1" TVB動態(tài)摩阻模型

TVB動態(tài)摩阻模型基于Zielke模型，但對其進行簡化，對加權函數(shù)進行近似求解，同時采用更多的加權函數(shù)系數(shù)，使得計算效率大大提升，且精度卻并未明顯下降，其具體模型形式為

J=Js+Ju，（8）

Ju=16νgD2∑9i=1yi，（9）

yi（t+Δt）=yi（t）e－ηi（4ν/D2）Δt+

mi1－e－ηi（4ν/D2）Δtηi（4ν/D2）Δtv（t+Δt）－v（t），（10）

式中：加權函數(shù)系數(shù)ηi與mi的取值為ηi（i=1，2，…，9）分別為26.374 4，102，102.5，103，104，105，106，107，108；mi（i=1，2，…，9）分別為1，2.183 0，2.714 0，7.545 5，39.006 6，106.807 5，359.084 6，1 107.929 5，3 540.683 0;J為系統(tǒng)的總摩阻；Js為恒定摩阻，采用Darcy-Weisbach公式計算；Ju為動態(tài)摩阻；ν為水體的運動黏度，文中取1.118×10-6 m2/s；D為壓力鋼管直徑，v為管道內(nèi)流速.

1.3.2" Brunone動態(tài)摩阻模型

Brunone使用瞬時當?shù)丶铀俣群蛯α骷铀俣葋肀硎緞討B(tài)摩阻中的非恒定摩阻部分， Vitkovsky在Brunone的基礎上，加入了對水流流動方向的判別，其計算精度更高，具體模型形式為

Ju=k3gvt+aSGN（v）vx，（11）

式中：k3為Brunone摩擦系數(shù)，k3=C*/2，其中C*為剪切衰減常數(shù)，取值取決于雷諾數(shù)Re，當管道內(nèi)水流為層流時，C*=0.004 76，當管道內(nèi)水流為紊流時，C*=7.41/Relg（14.3/Re0.05）；SGN（v）的取值取決于水流流向，若vgt;0，則SGN（v）=1，若vlt;0，則SGN（v）=－1.

1.4" 二階Godunov求解格式

1.4.1" 通量計算

在有限體積法的計算中，各單元體內(nèi)的物理變量是連續(xù)的，而通量是間斷的，因此采用Riemann問題的求解格式進行計算，可得到邊界處的通量值為

Fi+12=Ai+12Ui+12（t）=

12Ai+121a/gg/a1UnL+1－a/g－g/a1UnR，（12）

式中：UnL為單元體i在邊界i+1/2左側(cè)界面的平均值，UnR為單元體i在邊界i+1/2右側(cè)界面的平均值.

為了得到二階Godunov格式的通量計算值，需要二階精度的UnL和UnR，因此需要進行線性重構.

第一步，數(shù)據(jù)重組，同時引入MINMOD斜率限制器函數(shù)，可避免產(chǎn)生虛假振蕩：

ULi=Uni－Δx2Δi，（13）

URi=Uni+Δx2Δi，（14）

Δi可由MINMOD斜率限制器函數(shù)計算得到

Δi=σni，σnilt;σni－1且σniσni－1gt;0，

σni－1，σnigt;σni－1且σniσni－1gt;0，

0，σniσni－1≤0，（15）

σni=（Uni+1－Uni）/Δx，（16）

σni－1=（Uni－Uni－1）/Δx.（17）

第二步，推進時間計算：

URi=URi+Δt2Δx（AULi－AURi），（18）

ULi=ULi+Δt2Δx（AULi－AURi）.（19）

第三步，求解Riemann問題：

UnL=URi，UnR=ULi+1.（20）

將計算得到的二階精度的UnL和UnR帶入式（12），則可求出各單元體邊界處二階精度的通量計算值.

1.4.2" 時間積分

在得到二階精度的通量計算值后，可滿足計算結果在空間上的二階精度.為了同時滿足空間和時間上的二階精度，因此采用二階顯式的龍格庫塔法對式（2）進行時間積分，具體計算過程為

Un+1i=Un+1i+ΔtS（Un+1i），（21）

Un+1i=Un+1i+Δt2SUn+1i，（22）

Un+1i=Uni－ΔtΔxFi+12－Fi－12.（23）

1.4.3" 虛擬邊界

由上述二階精度的Godunov的求解格式可知，為了求解任一單元體i的物理量，均需要該單元體左右各2個單元體的物理量，因此需要對管道兩邊的單元體計算進行特殊處理.文中采取分別在管道的兩邊添加2個虛擬單元-1，0和NUM+1，NUM+2的虛擬單元方法，不僅方便了編程計算，更實現(xiàn)了計算管道內(nèi)部與邊界處計算的統(tǒng)一性.

對于新添加的虛擬單元體的物理變量不僅滿足該邊界處的Riemann不變量方程，還滿足以下條件：

U－1=U0=U1/2，（24）

UNUM+1=UNUM+2=UNUM+1/2.（25）

2" 計算分析

2.1" 模型驗證

2.1.1" 試驗驗證

為了驗證上述Godunov的求解格式與動態(tài)摩阻模型的正確性，采用BERGANT等［15］試驗中的具體參數(shù)：上游恒定水頭Hr=32 m，管道長度L=37.23 m，管道直徑D=0.022 1 m，管道內(nèi)波速vc=1 319.00 m/s，恒定摩阻系數(shù)f=0.034，ν=1.184×10-6 m2/s，初始流速v0=0.3 m/s.采用二階Godunov求解格式對上述系統(tǒng)進行求解計算，并分別加入TVB與Brunone動態(tài)摩阻模型，以此來驗證模型的準確性.圖2為試驗驗證結果.

如圖2所示，在分別考慮TVB和Brunone動態(tài)摩阻模型后，采用二階Godunov求解格式的計算結果與試驗計算結果基本吻合，證明了文中所采用的二階Godunov求解格式與動態(tài)摩阻模型的準確性.

2.1.2" 抽蓄算例驗證

已知某抽蓄電站設有2臺可逆式機組，上游引水系統(tǒng)采用“一管雙機”、下游尾水系統(tǒng)采用“一管一機”的布置方式，電站相關參數(shù)：額定水頭為105.8 m，額定流量148.8 m3/s，額定轉(zhuǎn)速200 r/min，額定功率139 000 kW，轉(zhuǎn)動慣量10 920 t·m2，電站布置如圖3所示，圖中L1—L11表示第1—11根壓力鋼管，相關設計參數(shù)如表1所示，表中，q為管道糙率；θ為管道角度.

分別用恒定摩阻與動態(tài)摩阻模型模擬上述抽蓄模型，并與試驗值對比，計算工況如表2所示，表中：Hup為電站上游水頭，m；Hdn為電站下游水頭，m；Oini為導葉初始開度，%；T1為第1段導葉關閉時間，s；T2為第2段導葉關閉時間，s；Otr為導葉轉(zhuǎn)折開度，%.

2種方法在計算時間段內(nèi)計算結果如圖4所示，圖中n為轉(zhuǎn)速.文中所采用的模型計算結果可以較好地模擬該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速試驗值，說明了文中所采用的計算模型對于該抽蓄管路的計算有一定的適用性與準確性.且分析比較各工況中的蝸殼處水頭H1的計算結果，動態(tài)摩阻模型在計算的初始波動周期內(nèi)幾乎沒有產(chǎn)生過大的影響，但在后續(xù)的小波動中，會產(chǎn)生比恒定摩阻模型大的波動衰減.

2.2" 參數(shù)敏感性分析

2.2.1" 簡單管路

設置一上游為水庫、下游為閥門的簡單管道，其具體參數(shù)：Hr=5 m，D=0.1 m，L=600.00 m，vc=1 200.00 m/s，水的運動黏滯系數(shù)ν=1.184×10-6 m2/s，恒定摩阻系數(shù)f=0.009，初始流速v0=0.1 m/s，總的計算時間取20 s，下游閥門全開時開度為

τ=（1－t0/Tc）1.5，（26）

式中：τ為閥門相對開度；t0為計算時刻值；Tc為閥門關閉的總時長.

采用二階Godunov求解格式進行水錘求解，比較分析不同關閥總時長Tc（5，2，1 s和瞬時關閉）下動態(tài)摩阻模型對閥門處水錘結果的影響.

圖5為動態(tài)摩阻對于不同關閥時間的影響，如圖所示，在閥門關閉后的初始周期內(nèi)，動態(tài)摩阻對閥門處水頭壓力影響很?。坏请S著關閥時間的縮短，對于只考慮恒定摩阻的工況，其壓力波在后續(xù)周期內(nèi)并未出現(xiàn)很明顯的峰值衰減，這與實際情況也是相悖的.但是對于考慮動態(tài)摩阻的工況，不管是TVB還是Brunone動態(tài)摩阻模型，其壓力波在后續(xù)周期內(nèi)均會出現(xiàn)較為明顯的峰值衰減，且衰減幅度隨著關閥時間的加快而增大，同時伴有一定的相位偏移.這是因為動態(tài)摩阻對計算結果的影響主要集中在后續(xù)的壓力衰減過程中，且在計算中或是考慮了恒定的管壁切應力及其附加項（TVB模型）的影響，或是考慮了當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度（Brunone模型）的影響，均對計算結果有一定的修正作用.

2.2.2" 抽蓄管路

為了研究不同模型參數(shù)值及動態(tài)摩阻對于瞬態(tài)計算的影響，針對2.1.2中的抽蓄算例中的甩荷試驗工況1進行參數(shù)敏感性分析，具體考慮了轉(zhuǎn)動慣量與關閥時間對于抽蓄瞬態(tài)計算結果的影響，并采用擾動分析法［14］進行分析，擾動步長確定為10%，機組轉(zhuǎn)動慣量GD2的取值為基準值的80%～120%；閥門關閉時間Tc取標準值的10%～100%.具體計算結果如圖6所示.

圖中反映了在最大與最小的轉(zhuǎn)動慣量情況下，動態(tài)摩阻對于蝸殼處水頭H1與尾水管處水頭H2的影響情況.結果顯示，在上述2種情況中，動態(tài)摩阻與恒定摩阻間的計算誤差并沒有隨著轉(zhuǎn)動慣量的增加而增加，但是隨著轉(zhuǎn)動慣量的增加，蝸殼處的水頭有明顯的下降趨勢，而尾水管處的水頭則相反.

圖7為變量隨轉(zhuǎn)動慣量的變化，圖中δ為計算變化率，PCGD2為GD2擾動系數(shù).圖中顯示了在不同的轉(zhuǎn)動慣量條件下，蝸殼處水頭、尾水管水頭與轉(zhuǎn)速的變化情況，其中橫縱坐標均采用標準化處理后的結果.結果顯示，隨著轉(zhuǎn)動慣量的增加，各物理參數(shù)變量均向著更安全的方向變化，且各變量的變化情況均呈線性分布.

圖8顯示了在最快與最慢的導葉關閉時間下，動態(tài)摩阻對蝸殼與尾水管處水頭的影響情況.結果表明，在閥門關得越快時，動態(tài)摩阻模型與常態(tài)摩阻模型間的誤差會增加，且Brunone動態(tài)摩阻模型衰減效果優(yōu)于TVB模型，但是衰減的幅度較整體的計算值并不是很大.這是因為TVB模型是根據(jù)層流公式推導的，對紊流不夠適用.而Brunone動態(tài)模型雖然適用于紊流，但一般運用于雷諾數(shù)小于108的管道中.而在該抽蓄管路瞬變模型中，由于管路中管道直徑和流速均較大，其雷諾數(shù)已經(jīng)超過108，所以在算例中Brunone動態(tài)摩阻模型計算結果略優(yōu)于TVB動態(tài)摩阻模型，但對于整體的計算結果影響不大.

3" 結" 論

1） 考慮Brunone與TVB動態(tài)摩阻的FVM模型，可以得到與試驗值相近的結果，證明了模型的準確性.

2） 通過改變單管模型的關閥時間，分析了管道中動態(tài)摩阻對閥門處水頭計算結果的影響，結果表明在考慮動態(tài)摩阻模型后，計算壓力波在4，5個周期后出現(xiàn)明顯的峰值衰減，且衰減幅度隨著關閥時間的加快而增大.

3） 分析比較了動態(tài)摩阻模型對于轉(zhuǎn)動慣量與導葉關閉時間的敏感性，結果表明在文中的抽蓄算例中，動態(tài)摩阻模型對于上述參數(shù)的變化均不敏感.因為在處理實際工程復雜管路系統(tǒng)中的水力瞬變問題時，管道內(nèi)雷諾數(shù)通常都較大，動態(tài)摩阻的影響不顯著.然而，在管道直徑與流速都相對較小的實際工程中有必要考慮動態(tài)摩阻.

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（責任編輯" 朱漪云）