顧及運動特征的軌道不平順測量精度分析

摘 要：針對運動特征方程標準差和量測頻率對軌道不平順測量精度的影響進行研究，結(jié)合GNSS/INS 與NHC的算法建立模型，利用協(xié)方差法進行定量分析。仿真實驗表明加入運動特征方程提高了軌道不平順的測量精度。運動特征方程標準差不變時，隨著頻率的增加，精度提高；頻率不變時，運動特征方程標準差越小則軌道測量精度越高；給定適當?shù)倪\動特征方程標準差可以滿足軌道不平順測量精度的要求?，F(xiàn)場實驗結(jié)果與仿真實驗結(jié)果基本一致，證明所提方法的正確性。研究結(jié)論為提高軌道不平順測量精度提供參考。

關(guān)鍵詞：非完整性約束；軌道不平順；GNSS/INS；卡爾曼濾波；標準差

中圖分類號：P 207 文獻標志碼：A 文章編號：1008-0562（2024）01-0054-08

0 引言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（global navigation satellitesystems，GNSS）具有全天候、高精度、全球覆蓋等優(yōu)點，在鐵路工程測量、軌道平順性測量/檢測等工程中發(fā)揮了重要作用[1-3]。慣性導航系統(tǒng)（inertialnavigation system，INS）簡稱慣導，是以牛頓力學定律為基礎、不依賴外部信號的自主式導航系統(tǒng)，不受外部環(huán)境干擾且具有較高相對測量精度[4-5]。隨著高鐵、城市軌道交通等對軌道平順性測量/檢測效率需求的不斷提高，GNSS 絕對定位與INS 相對測量相結(jié)合的軌道平順性測量技術(shù)已成為鐵路軌道測量/檢測領域的主流發(fā)展方向之一。韓云飛[6]使用雙天線全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）輔助慣導系統(tǒng)得到單軌的方位角和坡度角等數(shù)據(jù)，通過角度測量值擬合軌道線形，從而計算軌道偏差和軌道不平順等幾何量。陳起金[7]設計了GNSS 相對定位輔助INS 的動態(tài)測量軌檢小車，簡稱動態(tài)軌檢小車，相對于傳統(tǒng)“走停式”作業(yè)的靜態(tài)軌檢小車，動態(tài)小車極大地提高了工作效率。在算法設計方面，動態(tài)軌檢小車采用非完整性約束（non-holonomic constraints，NHC）來抑制慣導系統(tǒng)的誤差發(fā)散。論文認為應采用高頻的非完整性約束信息，但并未對非完整性約束的頻率和標準差進行定量的分析[8-9]。周禹昆[10]將運動特征方程和里程計輔助結(jié)合構(gòu)建三維速度約束，減弱誤差發(fā)散，用于軌道平順性測量/檢測。孟凡效[11]將GNSS/INS 組合定位測姿系統(tǒng)用于軌道平順性測量/檢測，其精度與傳統(tǒng)的靜態(tài)軌檢小車相當，且提高了作業(yè)效率。ZHU 等[12]探討了運動特征方程在鐵路軌道檢測中的應用，在衛(wèi)星失鎖區(qū)間采用非完整性約束對位置誤差發(fā)散抑制效果明顯，但對姿態(tài)影響非常有限。

國內(nèi)高速鐵路軌道平順性測量/檢測的精度要求是毫米級，GNSS 動態(tài)相對定位精度、動態(tài)絕對定位精度是厘米級，靜態(tài)絕對定位（例如精密單點定位技術(shù)）可達毫米級，但對于軌道檢測而言，需要動態(tài)定位才能滿足需求。為使GNSS/INS 組合測量技術(shù)達到高鐵軌道平順性測量/檢測的精度要求，已有研究一般均考慮軌道測量/檢測設備緊貼軌道運動的特征[2-3，7，13]，包括：軌檢小車的水平橫向速度幾乎為0，即橫向速度vx 為0；軌檢小車垂直于軌面方向的速度幾乎為0，即豎向速度vz 為0。vx為0 的特征是由于軌檢小車受鋼軌約束而不會發(fā)生顯著側(cè)滑；vz 為0 的特征是由于軌檢小車自身重力使其緊挨軌面運動而不會發(fā)生跳動。

盡管現(xiàn)有文獻考慮了軌道運動特征對GNSS/INS組合測量的輔助作用，但運動特征方程vx≈0 和vz≈0以何種頻率融入函數(shù)模型，以及運動特征方程對應的方差陣應如何設置卻未得到重視和研究。為此，本文構(gòu)建GNSS/INS/NHC 組合模型，進行針對性的卡爾曼濾波設計，使用仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)分析運動特征方程的不同頻率和方差陣對軌道不平順測量精度的影響。

1 GNSS/INS/NHC 組合模型

GNSS/INS 組合卡爾曼濾波的函數(shù)模型為

式中：Xk 為n 維的系統(tǒng)待估狀態(tài)向量；Zk 為m 維的量測向量；Φk/k-1 為k-1 時刻到k 時刻的n 階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Гk/k-1 為n×l 階的系統(tǒng)噪聲分配矩陣；Hk 為m×n 階的量測矩陣；Wk-1 為l 維的系統(tǒng)噪聲向量；Vk 為m 維的量測噪聲向量。

1.1 狀態(tài)空間模型

選取東北天軸線定義的當?shù)厮阶鴺讼禐閷Ш阶鴺讼?，記為n 系；載體坐標系選取右前上坐標系，記為b 系；地心地固系，記為e 系；采用15 維誤差狀態(tài)向量

1.2 量測模型

在組合導航中，除了使用GNSS 數(shù)據(jù)作為外部觀測值外，一些外部輔助條件[15-16]，如非完整性約束、零速校正等也常作為量測信息，用以提高估計精度、系統(tǒng)的可靠性和可觀性，并減少誤差的累積。

特別是鐵路軌道檢測中，軌道具有平直化、轉(zhuǎn)彎半徑大且坡度小等特點，滿足運動特征方程成立的條件。以INS 解算的位置與GNSS 測量的位置之差作為量測信息，構(gòu)造量測方程為

根據(jù)軌檢小車在軌道上檢測時的運動特點，當小車正常工作時不發(fā)生側(cè)滑和跳躍，即滿足運動特征方程。b 系為車體的右前上坐標系，原點位于車體的重心位置，Y 軸指向車體的正前方，X 軸指向車體的右方，Z 軸垂直于地面向上，與X 軸、Y 軸構(gòu)成右手坐標系。滿足運動特征方程情況下，考慮安裝誤差角為小角度，側(cè)向速度和垂向速度為零，可為組合導航系統(tǒng)提供側(cè)向和垂向速度虛擬觀測值，速度向量可以表示為

式中： vbx"、vby"、vbz分別為載體坐標系下的X、Y、Z方向的速度，且 vbｘ=0"，vbｚ=0"； ev 表示觀測噪聲。

由INS 機械編排獲得載體系下速度（桿臂已得到補償）為

式中：v?b為慣導機械編排的速度向量； Cbn"為指從b系到n系的方向余弦矩陣；vn為n系下的速度向量；上標“∧”為該量帶有誤差；（φ×）、（vn×）分別為φ、vn的反對稱陣。

以INS 解算的載體系下的速度與NHC 側(cè)向和垂向速度之差作為量測信息，結(jié)合式（5）、式（6）可得車體的速度量測向量為

式中，下標（1，3）表示矩陣的第一、第三行。

結(jié)合式（7）、式（8）可得運動特征方程的量測方程為

Z1= H1X +V1， （9）

式中，"V1=（ηｘ η2"）T 為噪聲項。

2 軌道不平順測量精度計算方法

分析運動特征方程的標準差以及其量測頻率對軌道不平順測量/檢測精度的影響。軌道不平順常用的檢測方法主要包括30 m 弦中波不平順檢測法和300 m 弦長波不平順檢測法，仿真實驗和實測實驗均使用30 m 弦檢測法，因此本節(jié)僅以30 m 弦為例介紹軌道不平順檢測方法。

軌道內(nèi)部幾何參數(shù)主要包括：軌距、超高、水平、軌向不平順、高低不平順等。30 m 短波軌道不平順分為軌向不平順和高低不平順[17]，檢測方法以30 m 為弦長，計算相隔5 m 的點對的實測正矢差與設計正矢差的差值。

圖1 為30 m 弦軌道不平順計算示意圖，圖中紅色線表示鐵路軌道在空間中實際位置，藍色虛線和紫色虛線分別為其在垂面和水平面投影。

以檢測點Ps為例，Ps為軌道上任一點，其到30 m 弦線P0mP30m的垂直距離稱為該點到弦線的矢距，表示為ds。同理，與Ps相距5 m 的Ps＋5m點的矢距表示為ds＋5m。根據(jù)相關(guān)的規(guī)范，則點Ps的軌道不平順可表示為Δs，其在水平面、垂面投影分別為軌向不平順和高低不平順。

定義新坐標系b'系，起點位于弦起點，Y 軸與弦線重合指向前進方向，X 軸指向弦線右方，Z 軸與X 軸、Y 軸構(gòu)成右手坐標系。由組合導航結(jié)果能夠獲得離散軌道點在地心地固坐標系下的坐標，經(jīng)轉(zhuǎn)換可得導航系下的坐標，而軌向和高低平順性的評估需要在b'系下完成。

如圖2 所示，任取一30 m 弦，分別交軌道曲線于點P0m 和P30m，其在導航系n 系下分別記為

3 仿真實驗

3.1 條件設置

實驗以附加高斯白噪聲的仿真數(shù)據(jù)為研究對象，探究不同約束條件對軌道不平順性測量精度的影響。為了不失一般性，數(shù)據(jù)仿真時載體運動軌跡設置為沿著北偏西45°方向的水平直線軌道。載體運動狀態(tài)設置見表1。載體首先靜止10 min 進行初始對準。靜止結(jié)束后，進行多次前向加減速來提高方位失準角的可觀測性，可使組合導航卡爾曼濾波盡快收斂。之后，小車以1 m/s 的速度保持勻速直線運行10 000 s，不同運動特征方程的頻率和標準差對軌道不平順性測量精度的影響僅在此時段分析。

文獻[7]中已驗證導航級慣性傳感器顧及運動特征方程時，可以滿足軌道不平順性測量精度的各項指標。選取導航級的慣導和絕對誤差為厘米級GNSS 參數(shù)作為仿真參數(shù)，主要參數(shù)見表2。

GNSS 水平方向絕對誤差為1 cm（1 σ），高程方向為2 cm（1 σ），GNSS 位置更新頻率為1 Hz。假設GNSS 天線桿臂已得到補償，即不考慮桿臂誤差。慣導的輸出頻率為200 Hz。

3.1 仿真條件設置

為了探究運動特征方程不同頻率和標準差對軌道不平順性測量精度影響，本文使用雙子樣進行解算，非完整性約束頻率最高可達100 Hz，選取50 Hz 和20 Hz 作為對照；考慮到實際噪聲標準差為0.1 mm/s～1 cm/s，選取未加約束和較寬松約束10 cm/s 作為對照，設計方案如下。

方案1：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標準差均取0.1 mm/s。

方案2：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標準差均取1 mm/s。

方案3：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標準差均取1 cm/s。

方案4：分別附加頻率20 Hz、50 Hz、100 Hz的非完整性約束，標準差均取10 cm/s。

方案5：無非完整性約束。

30 m 弦長的軌向和高低不平順值要求不超過2 mm，則其標準差不得超過1 mm。組合導航得出位置誤差后，使用上節(jié)推導的位置誤差與軌道不平順之間的關(guān)系，進而得到軌道不平順性測量精度。

5 種方案的軌道不平順性測量精度見表3。

將方案1～方案4 按照軌向不平順測量精度和高低不平順測量精度分別作圖，見圖3、圖4。

根據(jù)表3、圖3 和圖4 可以得到以下結(jié)論。

（1）當僅有絕對精度為厘米級GNSS 位置觀測時，軌向和高低不平順標準差分別為5.26 mm 和3.61 mm，無法滿足鐵路軌道不平順測量/檢測的精度要求；當加入運動特征方程后，軌向和高低不平順精度都有不同程度的改善。說明加入運動特征方程對提高軌道不平順測量精度作用明顯。

（2）當運動特征方程的標準差取0.1 mm/s、1 mm/s 時，均可滿足軌道不平順測量/檢測的精度要求；當運動特征方程的標準差大于0.1 mm/s，即使量測頻率選取100 Hz，也不能滿足限差。

（3）當運動特征方程的標準差不變時，頻率越高精度越高；當頻率不變情況下，標準差越小精度越高；且高低不平順精度比軌向不平順精度高。以運動特征方程的標準差取1 mm/s 為例，軌向不平順標準差從0.93 mm 提高到0.69 mm，高低不平順標準差從0.65 mm 提高到0.30 mm。取運動特征方程的頻率為100 Hz，軌向不平順標準差從0.69 mm 提高到0.60 mm，高低不平順標準差從0.30 mm 提高到0.18 mm?？紤]到高程方向有較少的誤差耦合，因此高低不平順精度較軌向不平順精度高是合理的。

4 實測實驗

本文實測實驗場所開闊無隧道等遮擋，慣導和GNSS 觀測數(shù)據(jù)均無中斷，在軌道上推行大約2 km，觀測條件較好。慣導的輸出頻率為200 Hz，基本參數(shù)見表4。

初始位置通過GNSS 信息獲得，實驗的初始緯度為35.38°，初始經(jīng)度為114.11°。GNSS 的輸出頻率為1 Hz，水平方向位置誤差為1 cm，高程方向位置誤差為2 cm，僅輸出位置信息，不提供速度信息。

為驗證NHC 對軌道不平順的輔助作用，圖5展示了考慮NHC 輔助與不考慮NHC 輔助的30 m弦軌向不平順值。

從圖5 中可以看出，無NHC 輔助僅有位置觀測時，組合導航解算的軌向不平順不能完全滿足軌道檢測的需求；加入NHC 輔助后，軌向不平順有了明顯的改善。

為進一步研究運動特征方程不同頻率和標準差對軌道不平順性測量精度影響，方案與仿真實驗方案一致。5 種方案的軌道不平順性測量精度結(jié)果見表5。

方案5 軌向和高低不平順標準差遠遠超過允許標準差，以下不再參與對比。將方案1～方案4 按照軌向不平順測量精度和高低不平順測量精度分別作圖，見圖6 和圖7。

根據(jù)表5、圖6 以及圖7 可以得到以下結(jié)論。

（1）當運動特征方程的標準差取0.1 mm/s，量測頻率取100 Hz 時，可滿足軌道不平順測量/檢測的精度要求。實測數(shù)據(jù)中，方案1 中軌向不平順精度結(jié)果比方案2 軌向不平順精度結(jié)果差，這是因為實際應用中存在安裝誤差角以及桿臂等其他誤差，側(cè)向和垂向速度噪聲較大，標準差取得越小表示虛擬觀測值噪聲越小，給出錯誤的噪聲信息，精度自然會變差；方案1 頻率降低后，結(jié)果有一定改善，也驗證了此說法，因此要選取合適的標準差。

（2）與仿真結(jié)果類似，當運動特征方程的標準差不變時，頻率越高精度越高；當頻率不變情況下，標準差越小精度越高；且高低不平順較軌向不平順精度高。

（3）需給定合理的非完整性約束量測頻率及標準差。

5 結(jié)論

（1）針對鐵路檢測中軌檢小車不易側(cè)滑和上下跳動的運動特征，使用仿真和實測數(shù)據(jù)探究了運動特征方程不同標準差和頻率對軌道不平順測量精度的影響。仿真實驗表明：當運動特征方程的標準差取0.1 mm/s、1 mm/s 時，不同頻率均可滿足軌道不平順測量/檢測的精度要求；當運動特征方程的標準差不變時，頻率越高精度越高；在頻率不變情況下，標準差越小精度越高。

（2）實測實驗中側(cè)向和垂向速度并不為0，運動特征方程標準差取1 mm/s、頻率取100 Hz 時，才能滿足軌道不平順測量精度的要求。因此，須給定合理的非完整性約束量測頻率及標準差。

（3）運動特征方程標準差的初值，可由未加約束條件的組合導航計算獲得，由實驗結(jié)果進行調(diào)整。

參考文獻（References）：

[1] 李世平，武文波.GPS 在建立高速鐵路控制網(wǎng)中的應用[J].遼寧工程技術(shù)大學學報（自然科學版），2012，31（5）：782-785.

LI Shiping，WU Wenbo.Application of GPS in establishing controlnetwork of high-speed railway[J].Journal of Liaoning TechnicalUniversity（Natural Science），2012，31（5）：782-785.

[2] 房博樂.復雜城市環(huán)境下GNSS/INS 輕軌軌道中線精密測量方法[J].導航定位與授時，2022，9（4）：136-141.

FANG Bole.Precise measurement method of light rail centerline basedon GNSS/INS in complex urban environment[J].Navigation Positioningand Timing，2022，9（4）：136-141.

[3] 閔于，許橋壯，高周正.基于GNSS/INS/NHC 理論模型的軌道平順性檢測方法研究[J].測繪與空間地理信息，2022，45（3）：70-75.

MIN YU，XU Qiaozhuang，GAO Zhouzheng.Research on theory andmethod for railway-track irregularities monitoring by GNSS/INS/NHCintegration[J].Geomatics amp; Spatial Information Technology，2022，45（3）：70-75.

[4] 秦永元.慣性導航：第三版[M].北京：科學出版社，2006：1-5.

[5] 劉崇錦.GNSS/INS 組合導航定位數(shù)據(jù)處理算法研究[D].北京：中國科學院大學（中國科學院國家授時中心），2020：2-4.

[6] 韓云飛.一種衛(wèi)星導航與慣性測量組合軌道測量系統(tǒng)與方法[P].中國，CN201310014507.8：2013.

[7] 陳起金.基于A-INS 組合導航的鐵路軌道幾何狀態(tài)精密測量技術(shù)研究[D].武漢：武漢大學，2016，71-73.

[8] CHEN Q，ZHANG Q，NIU X，et al.Semi-analytical assessment of therelative accuracy of the GNSS/INS in railway track irregularitymeasurements[J].Satellite Navigation，2021，2（1）：25.

[9] CHEN Q，NIU X，ZUO L，et al.A railway track geometry measuringtrolley system based on aided INS[J].Sensors，2018，18（2）：538.

[10] 周禹昆.MEMS 慣導在鐵路軌道不平順檢測中的應用[D].武漢：武漢大學，2019：40-41.

[11] 孟凡效.GNSS/INS 組合POS 系統(tǒng)在鐵路軌道不平順性檢測上的應用[D].武漢：武漢大學，2017：24-34.

[12] ZHU F，ZHOU W，Zhang Y，et al.Attitude variometric approach usingDGNSS/INS integration to detect deformation in railway trackirregularity measuring [J].Journal of Geodesy，2019，93（9）：1571-1587.

[13] 周武星.基于GNSS/INS 組合系統(tǒng)的高鐵軌道幾何狀態(tài)不平順精密測量方法[D].武漢：武漢大學，2020：44-51.

[14] 嚴恭敏，翁浚.捷聯(lián)慣導算法與組合導航原理[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2019：90-95.

[15] 張敏，陳安升，陳帥，等.基于運動約束輔助的車載慣性導航算法研究[J].自動化與儀器儀表，2020（7）：12-16.

ZHANG Min，CHEN Ansheng，CHEN Shuai，et al.Vehicle inertialnavigation algorithm based on adaptive motion constraint assistance[J].Automation and Instrumentation，2020（7）：12-16.

[16] 郭俊鴿，郭杭，洪海斌.非完整約束下濾波算法在組合導航中的應用[J].計算機工程與應用，2015，51（24）：215-220.

GUO Junge，GUO Hang，HONG Haibin.Filter algorithm applications inintegrated navigation with nonholonomic constraints[J].ComputerEngineering and Applications，2015，51（24）：215-220.

[17] 全順喜，王平，陳嶸.無砟軌道高低和方向不平順計算方法研究[J].鐵道學報，2012，34（5）：81-85.

QUAN Shunxi，WANG Ping，CHEN Rong.Study on calculationmethods of lateral and vertical profile irregularity of ballastless track[J].Journal of the China Railway Society，2012，34（5）：81-85.

基金項目：國家自然科學基金項目（42074010）