基于多目標(biāo)優(yōu)化模型的扇葉最優(yōu)分組與排列方案

薛煌鎧 宋佳怡 苗育睿

收稿日期：2023-08-04

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.07.022

摘? 要：衡量某種機(jī)械單片扇葉結(jié)構(gòu)優(yōu)劣的指標(biāo)有“質(zhì)量”與“轉(zhuǎn)動(dòng)頻率”兩種參數(shù)，為了合理地裝配整個(gè)風(fēng)扇，需要相鄰組的扇葉質(zhì)量差達(dá)到最小，同時(shí)相鄰葉片的頻率差達(dá)到最大。首先構(gòu)建一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化的質(zhì)量分組模型，其后引入遞推型動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，使得相鄰組的扇葉質(zhì)量差達(dá)到最小。同時(shí)考慮轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的影響，再建立一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化的質(zhì)量分組模型，采用動(dòng)態(tài)權(quán)重線性加權(quán)法，通過(guò)對(duì)比不同權(quán)重下相鄰扇葉組的最大質(zhì)量差和相鄰扇葉的最大頻率差，發(fā)現(xiàn)當(dāng)A目標(biāo)和B目標(biāo)的權(quán)重均為0.5時(shí)，該模型所給出的方案效果最佳。

關(guān)鍵詞：遞推型動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法；多目標(biāo)優(yōu)化分組模型；動(dòng)態(tài)權(quán)重線性加權(quán)法

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2024）07-0100-07

Optimal Grouping and Arrangement Scheme of Fan Blades Based on

Multi-objective Optimization Model

XUE Huangkai， SONG Jiayi， MIAO Yurui

（Beijing Institute of Technology， Beijing? 102401， China）

Abstract： The indicators for measuring the quality of a single fan blade structure of a certain machinery include two parameter：“mass”and“rotational frequency”， In order to assemble the entire fan reasonably， it is necessary to minimize the mass difference between adjacent groups of fan blades and maximize the frequency difference between adjacent blades. Firstly， a mass grouping model with single objective optimization is constructed， and then a recursive dynamic planning algorithm is introduced to minimize the mass difference between adjacent groups of fan blades. At the same time， considering the influence of rotational frequency， a mass grouping model with multi-objective optimization is established， and the dynamic weight linear weighting method is used， by comparing the maximum mass difference between adjacent groups of fan blades and maximum frequency difference between adjacent blades under different weights， it is found that when the weights of target A and target B are both 0.5， the scheme provided by the model has the best effect.

Keywords： recursive dynamic planning algorithm; multi-objective optimization grouping model; dynamic weight linear weighting method

0? 引? 言

某機(jī)器的核心部件是由一個(gè)中心轉(zhuǎn)軸和多個(gè)扇葉構(gòu)成，轉(zhuǎn)軸和扇葉是分開(kāi)制造的，然后組裝到一起，如圖1所示。

圖1? 某機(jī)械扇葉組合安裝效果圖

在實(shí)際加工制造時(shí)扇葉的各種參數(shù)會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)誤差，為了使這些扇葉能和轉(zhuǎn)軸配合組裝，正常運(yùn)轉(zhuǎn)，組裝時(shí)需要在一定條件下進(jìn)行分組和排序。這里考慮24個(gè)扇葉的情況，所有扇葉均勻分布在轉(zhuǎn)軸邊上，圍成一圈，表1和表2給出了兩組扇葉的相關(guān)參數(shù)值。

扇葉裝配時(shí)需滿(mǎn)足兩個(gè)目標(biāo)：

A目標(biāo)即所有24個(gè)扇葉按位置分成6組，每4個(gè)連續(xù)的扇葉為1組，每組4個(gè)扇葉總質(zhì)量與相鄰組4個(gè)扇葉總質(zhì)量的差要小于等于某個(gè)盡可能小的定值。

B目標(biāo)即所有相鄰扇葉的頻率差要大于等于某一盡可能大的定值。

兼顧目標(biāo)A和B建立模型，給出使相鄰組扇葉質(zhì)量差盡可能小、相鄰扇葉頻率差盡可能大、不同參考標(biāo)準(zhǔn)下合理的扇葉分組及排序方式。

1? 數(shù)據(jù)的處理與分析

對(duì)于引言中給出的兩張表，我們利用Excel分別繪制出葉片的質(zhì)量分布圖和頻率分布，如圖2所示。

從圖2中我們不難看出：兩組葉片的質(zhì)量和頻率分布并不是均勻的，而是呈現(xiàn)一個(gè)周期性的規(guī)律，以6個(gè)葉片為單位，相互間具有相近的質(zhì)量和頻率，這也為后續(xù)我們對(duì)這兩項(xiàng)指標(biāo)的處理提供了重要的信息。

2? 單目標(biāo)優(yōu)化的質(zhì)量分組模型

2.1? 目標(biāo)A分析

我們先考慮目標(biāo)A。從扇葉質(zhì)量的角度出發(fā)，進(jìn)行分組。共給出了24片扇葉，每4片連續(xù)的葉片為1組，總計(jì)6組。要求相鄰各組的扇葉質(zhì)量之和的差盡可能小。若用Mci （i ∈ 1，2，…，6）表示這6組分組中第i組的總質(zhì)量，且考慮到風(fēng)扇的裝配是圓周狀，需考慮首尾兩組葉片組的質(zhì)量差，故增加Mc7 = Mc1。由此，我們可以把問(wèn)題表述為：

min | Mci - Mc（i+1） |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

當(dāng)各個(gè)組的差均達(dá)到最小，考慮最大的那個(gè)質(zhì)量差，可以進(jìn)一步寫(xiě)成：

min max | Mci - Mc（i+1） |? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

將絕對(duì)值改寫(xiě)為平方的形式：

min max（Mci - Mc（i+1））2? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

令函數(shù)y = min max（Mci - Mc（i+1））2，由平方的非負(fù)性可知y≥0。當(dāng)且僅當(dāng)Mci = Mc（i+1）即Mc1 = Mc2 = … = Mc6 =? 時(shí)（其中 ），函數(shù)y達(dá)到最小值，且ymin = 0。

于是目標(biāo)A? 每組扇葉質(zhì)量和越接近6組均值越好

2.2? 單目標(biāo)優(yōu)化模型建立

基于上述的分析，我們很容易知道這屬于一個(gè)離散的最優(yōu)化問(wèn)題，如何分組才能達(dá)到最佳的效果，也就是目標(biāo)A所要求的質(zhì)量差最小，各組的質(zhì)量都接近平均值。于是我們著手構(gòu)建一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化[1]的質(zhì)量分組模型。

2.2.1? 確定決策變量

對(duì)于本問(wèn)題而言，決策變量即為分組的方式。我們可以定義一個(gè)映射f（f為雙射），建立起從葉片編號(hào)NO.X到片在分組時(shí)的位置Cij的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而此時(shí)的映射關(guān)系f即為我們的決策變量：

（4）

2.2.2? 確定目標(biāo)函數(shù)

在2.1小節(jié)的問(wèn)題分析中我們知道，我們已經(jīng)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了：每組扇葉質(zhì)量和越接近6組均值越好，于是我們的目標(biāo)函數(shù)便可參照式（2）寫(xiě)成：

（5）

2.2.3? 確定約束條件

在本題中，扇葉的分組方式是有稍加限定的，24個(gè)扇葉要被均分成6組，每組有且只有4個(gè)扇葉，我們可以利用Cij中i與j的取值來(lái)加以限定：

（6）

2.3? 模型求解

2.3.1? 遞推型動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解

為了解決最佳質(zhì)量分組的問(wèn)題，我們引入動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法[2]，先不考慮全局最優(yōu)解，也就是不能一步劃分成6組。而是將該問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，考慮如果每組只有1個(gè)元素，該如何劃分；如果每組有2個(gè)元素，又該如何劃分；這些若干的子問(wèn)題具有相互的關(guān)聯(lián)性。我們按照這個(gè)思路，設(shè)計(jì)了遞推的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，圖3可以清楚地展示出我們的思路。

為了更直觀地展示上述算法的過(guò)程，我們繪制了流程示意圖，如圖4所示。

2.3.2? 求解結(jié)果分析

利用上述的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，我們用Python進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，將最佳分組方案以圖表形式進(jìn)行呈現(xiàn)，最后得到ci的分組策略，如圖5所示。

上述得到的ci分組方案，一共有216種組合，且這些組合的相鄰組質(zhì)量差均一致，下面列出表格進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，如表3所示。

如表3所示，每一組的葉片質(zhì)量和近乎相等，最大的質(zhì)量差不超過(guò)1 g。可以認(rèn)為是最大程度符合條件A的最佳分組策略。

我們以同樣的思路處理第二組的24個(gè)數(shù)據(jù)，得到的分組策略如圖6所示。

第二組葉片的最佳分組方案一共有48種，每一種的各組質(zhì)量和均相同，我們同樣以列表的方式進(jìn)行了呈現(xiàn)，如表4所示。

如表4所示，第二組數(shù)據(jù)分組后，每組質(zhì)量和的差稍大，但最大的質(zhì)量差不超過(guò)2 g?？梢哉J(rèn)為是最大程度符合條件A的最佳分組策略。

圖6? 第二組葉片的最佳分組方案圖

2.4? 模型敏感性分析

當(dāng)扇葉數(shù)量變?yōu)?6、48個(gè)時(shí)，我們的模型是否仍有效？我們將輸入的扇葉葉片數(shù)量i×j作為自變量，利用題中所給的兩組數(shù)據(jù)，來(lái)分別模擬36個(gè)和48個(gè)葉片的情況，并再次使用我們的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解，并比較與在24個(gè)葉片時(shí)的分組的差距。結(jié)果如圖7所示。

圖7? 不同葉片數(shù)量下分組差異圖

由圖7可以明顯地看出，隨著葉片數(shù)量不斷增加，組與組之間的質(zhì)量波動(dòng)會(huì)越來(lái)越明顯，但總體來(lái)看波動(dòng)均不超過(guò)±50 g，故可以認(rèn)為模型一仍然有效。

3? 多目標(biāo)優(yōu)化的質(zhì)量分組模型

3.1? 雙目標(biāo)分析

同時(shí)兼顧目標(biāo)A和目標(biāo)B，在上一節(jié)中我們已經(jīng)知道，目標(biāo)A的目標(biāo)就是讓各組的質(zhì)量差?Mci盡量達(dá)到最小，而目標(biāo)B則是要求在此基礎(chǔ)上讓每?jī)蓚€(gè)相鄰葉片的頻率差盡可能大，即? fij盡可能大（表示第i組的第j個(gè)扇葉與下一扇葉頻率差值）。這屬于一個(gè)典型的多目標(biāo)離散分組問(wèn)題，下面我們建立多目標(biāo)優(yōu)化的分組模型[3]來(lái)解決問(wèn)題。

3.2? 多目標(biāo)優(yōu)化模型建立

3.2.1? 確定決策變量

這次我們將24組葉片的排列順序直接當(dāng)成一個(gè)解，用ck表示24個(gè)葉片中的第k（k≤24）個(gè)葉片，此時(shí)我們用g來(lái)表示當(dāng)前的一個(gè)順序解，g = c1c2…c24c25（c25 = c1）。要說(shuō)明的是g代表一種排列方案，所有可行的解g構(gòu)成解空間（決策空間）G = g。所以我們的決策變量就是排序方案g。

3.2.2? 確定目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)上一節(jié)我們可以由式子（5）導(dǎo)出A條件對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：

（7）

式（7）表示了組與組之間的質(zhì)量差最小。接下來(lái)同樣給出條件B對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：

（8）

這個(gè)函數(shù)表示了所有相鄰葉片的頻率差最大化。

3.2.3? 確定約束條件

本問(wèn)的約束條件同上一問(wèn)，但由于重新規(guī)定了排序，因此在數(shù)值上有一些小改動(dòng)：

（9）

3.3? 模型求解

3.3.1? 動(dòng)態(tài)權(quán)重線性加權(quán)法

在上一節(jié)中，我們已經(jīng)知道現(xiàn)在需要求解的是一個(gè)多目標(biāo)的離散的組合優(yōu)化問(wèn)題，可以把時(shí)（7）至式（9）的所有方程組列出如下：

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于這種多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的絕對(duì)最優(yōu)解是不常見(jiàn)的，對(duì)絕大多數(shù)的多目標(biāo)決策的實(shí)際問(wèn)題，我們一般偏好的方案是有效解或非劣解，也稱(chēng)為Pareto最優(yōu)解[4]。

首先，我們先將2個(gè)最大和最小的不同方向的函數(shù)轉(zhuǎn)化成方向一致的求最小值問(wèn)題：

（10）

之后考慮到A條件與B條件的重要程度可以不同，于是采用動(dòng)態(tài)權(quán)重線性加權(quán)法[5]，給予每項(xiàng)不同的權(quán)系數(shù)wj （0≤wj≤1，j = 1，2），從而充分體現(xiàn)出每個(gè)目標(biāo)的不同重要程度對(duì)結(jié)果的影響：

（11）

3.3.2? 交替迭代的模擬退火算法

我們已經(jīng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)做了一定的處理，接下來(lái)我們需要引入模擬退火算法。示意圖如圖8所示。

圖8? 模擬退火算法示意圖

模擬退火算法是一種通用的隨機(jī)搜索算法，其基本的思想來(lái)源于固體的退火過(guò)程，是一種基于概率的算法：將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻。加溫時(shí)，固體內(nèi)部粒子隨溫度升高變?yōu)闊o(wú)序狀態(tài)，內(nèi)能增大；而徐徐冷卻時(shí)粒子漸漸趨于有序。在每個(gè)溫度都達(dá)到平衡態(tài)后在常溫下達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小，以?xún)?yōu)化問(wèn)題的求解與物理過(guò)程退火的相似性為基礎(chǔ)，適當(dāng)?shù)乜刂茰囟鹊南陆颠^(guò)程，實(shí)現(xiàn)模擬退火從而達(dá)到全局優(yōu)化的目的[6]。

本文通過(guò)PDMOSA求解，PDMOSA是Suman[7]在2004年提出的多目標(biāo)模擬退火算法。該算法通過(guò)基于Pareto支配的適應(yīng)度計(jì)算劣解的接受概率。該適應(yīng)度被定義為當(dāng)前Pareto解集中支配該解的數(shù)量加1。PDMOSA比其他多目標(biāo)模擬退火算法效率更高。此外，作為一種單軌跡搜索算法，PDMOSA在求解VRP問(wèn)題上有優(yōu)勢(shì)[8，9]。

模擬退火算法被用于解決各種組合優(yōu)化問(wèn)題，下面是本模型使用模擬退火算法求解的基本過(guò)程：

1）定義狀態(tài)：將每個(gè)扇葉的排序g = c1c2…cu…cv…c24作為問(wèn)題的一個(gè)狀態(tài)，其中每個(gè)狀態(tài)表示一種扇葉的排序方式。

2）初始化當(dāng)前狀態(tài)為一個(gè)隨機(jī)的初始分組方式。

3）設(shè)置初始溫度T0和終止溫度Tend，以及溫度下降的速率e = 0.99（退火率）。

4）迭代執(zhí)行以下步驟直到達(dá)到終止條件（例如達(dá)到終止溫度或達(dá)到最大迭代次數(shù)）：

步驟1：產(chǎn)生當(dāng)前狀態(tài)的鄰域狀態(tài)，可以通過(guò)交換兩個(gè)不同編號(hào)的扇葉（如cu與cv）排序得到鄰域狀態(tài)g' = c1c2…cv…cu…c24。

步驟2：計(jì)算當(dāng)前狀態(tài)和鄰域狀態(tài)之間的目標(biāo)函數(shù)值差異? fij = min f （g） - min f （g'）（即相鄰組的目標(biāo)函數(shù)差值）。

步驟3：如果目標(biāo)函數(shù)值差異為負(fù)（即鄰域狀態(tài)更優(yōu)），則接受鄰域狀態(tài)作為新的當(dāng)前狀態(tài)。

步驟4：如果目標(biāo)函數(shù)值差異為正（即鄰域狀態(tài)較差），則以一定概率接受鄰域狀態(tài)。接受劣解的概率由Metropolis準(zhǔn)則[10]來(lái)確定。

步驟5：更新溫度，降低溫度值。

5）返回最終收斂到的當(dāng)前狀態(tài)作為最優(yōu)分組方式及相鄰關(guān)系。

在每次迭代中，通過(guò)接受劣解的策略，退火算法能夠逐步減小溫度，使算法逐漸趨向于全局最優(yōu)解。最終，退火算法將收斂到一種扇葉分組方式，使得相鄰組之間的總質(zhì)量差值最小。

用圖9所示的流程圖可以更直觀地描述模擬退火算法。

3.4? 最終結(jié)果分析

我們利用Python程序運(yùn)行模擬退火算法，求出了在不同權(quán)重下的Pareto最優(yōu)解，下面我們將分情況展示：

1）情況一：Wm = 0.5、Wf = 0.5時(shí)，最優(yōu)分組編號(hào)排序如表5所示。

在權(quán)重配比都為0.5時(shí)，我們的結(jié)果很好地符合了組與組之間質(zhì)量差小、片與片之間頻率差大的規(guī)律。從圖10中也可以直觀地看出，兩組數(shù)據(jù)均滿(mǎn)足條件。

2）情況二：Wm = 0.7、Wf = 0.3時(shí)，最優(yōu)分組編號(hào)排序如表6所示。

當(dāng)我們把質(zhì)量差的權(quán)重調(diào)到0.7，頻率差的權(quán)重為0.3時(shí)，從圖11可以看到在最大質(zhì)量差基本沒(méi)有改變的情況下，頻率的波動(dòng)有減小的趨勢(shì)，最小頻率差也在減小。

3）Wm = 0.3、Wf = 0.7時(shí)，最優(yōu)分組編號(hào)排序如表7所示。

當(dāng)我們把質(zhì)量差的權(quán)重調(diào)到0.3，頻率差的權(quán)重為0.7時(shí)，可以從圖12中看出質(zhì)量差的波動(dòng)稍有變大，而頻率差則基本無(wú)變化。

綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)A條件和B條件的權(quán)重均為0.5時(shí)，該模型所給出的方案是效果最佳的，既滿(mǎn)足組與組質(zhì)量差最小，又滿(mǎn)足片與片頻率差最大化。其余兩種權(quán)重下，雖然與第一種方式有差異，但差異較小，也可作為不同裝配方案的參考。

4? 結(jié)? 論

本文針對(duì)扇葉裝配的常見(jiàn)要求，以24個(gè)葉片規(guī)格的扇葉為基礎(chǔ)，依次分析質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率兩種參數(shù)對(duì)裝配方案產(chǎn)生的影響和最佳分組策略。

首先考慮單目標(biāo)質(zhì)量指標(biāo)，即使得相鄰組的扇葉質(zhì)量差達(dá)到最小，構(gòu)建單目標(biāo)優(yōu)化的質(zhì)量分組模型，其后引入遞推型動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法輔助最優(yōu)分組。表1扇葉經(jīng)處理得到216種相鄰組質(zhì)量差均一致的組合，每一組最大的質(zhì)量差不超過(guò)1 g；表2組葉片的最佳分組方案一共有48種，最大的質(zhì)量差不超過(guò)2 g。此外，對(duì)于不同葉片數(shù)量的情況進(jìn)行了模型靈敏度分析，應(yīng)用模型和算法，帶入不同數(shù)量（36、48個(gè)）的葉片質(zhì)量和頻率，發(fā)現(xiàn)隨著葉片數(shù)量不斷增加，組與組之間的質(zhì)量波動(dòng)會(huì)越來(lái)越明顯，但總體來(lái)看波動(dòng)均不超過(guò)±50 g，可以得出該分組策略對(duì)于不同數(shù)量扇葉基本適用。

在此基礎(chǔ)上同時(shí)考慮“轉(zhuǎn)動(dòng)頻率”的影響，即滿(mǎn)足相鄰個(gè)的葉片的頻率差達(dá)到最大化。建立多目標(biāo)優(yōu)化的質(zhì)量分組模型，采用動(dòng)態(tài)權(quán)重線性加權(quán)法，給予質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率兩種參數(shù)不同的權(quán)系數(shù)，從而充分體現(xiàn)出每個(gè)目標(biāo)的不同重要程度對(duì)結(jié)果的影響。在模型的基礎(chǔ)上，使用交替迭代的模擬退火算法得到最優(yōu)解。通過(guò)對(duì)比不同權(quán)重下，相鄰扇葉組的最大質(zhì)量差和相鄰扇葉的最大頻率差，發(fā)現(xiàn)當(dāng)A條件和B條件的權(quán)重均為0.5時(shí)，該模型所給出的方案是效果最佳的。

綜上，本文通過(guò)合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)輔助求解的方法，創(chuàng)新性提出合理的加工裝配方案，該機(jī)械渦扇的技術(shù)人員可依據(jù)上述方案，為該類(lèi)型的扇葉提供更準(zhǔn)確的理論安裝指導(dǎo)。

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作者簡(jiǎn)介：薛煌鎧（2003—），男，漢族，福建福州人，本科在讀，研究方向：數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用；宋佳怡（2004—），女，漢族，山東青島人，本科在讀，研究方向：數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用；苗育睿（2004—），女，漢族，北京人，本科在讀，研究方向：數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用。