立足函數(shù)本源特征 借勢巧解高考試題

李波 張曉斌 涂瑜

摘? 要：函數(shù)是高考數(shù)學(xué)考查的熱點、難點，承擔(dān)著試卷區(qū)分度使命. 函數(shù)解答題采取分步設(shè)問、逐漸遞進(jìn)的方式命制，彰顯試題的難易層次，以區(qū)分不同能力水平的學(xué)生. 要求學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何屬性、各類基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)有深刻的理解，對函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征有精準(zhǔn)的把握.

關(guān)鍵詞：切線；對稱性；極值

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0052-04

引用格式：李波，張曉斌，涂瑜. 立足函數(shù)本源特征? 借勢巧解高考試題：以2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第21題為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：52-55.

高考函數(shù)解答題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、運算法則、極值、單調(diào)區(qū)間、幾何意義、零點、極值點偏移等知識. 高考數(shù)學(xué)命題把考查學(xué)生的邏輯推理能力作為首要任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識為載體，加強對學(xué)生理性思維的考查. 因此，對高考經(jīng)典題型進(jìn)行研究，對高三數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的指導(dǎo)作用.

一、問題呈現(xiàn)

二、解題分析

三、備考建議

函數(shù)解答題的考查形式是不斷變化的，難度也在增加. 在高考復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘?qū)?shù)的定義、幾何意義及函數(shù)單調(diào)性的題目特點，層層遞進(jìn)，步步深入. 綜觀近幾年的高考函數(shù)綜合試題，以數(shù)形結(jié)合、分類與整合、函數(shù)與方程為觀點統(tǒng)一組織材料，以推理論證、運算求解和創(chuàng)新意識為立意. 側(cè)重以[ex，lnx]，四次函數(shù)、三次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等復(fù)合的整式和分式函數(shù)為背景，以待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，試題入口淺、深入難. 運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程，以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、求參數(shù)的范圍和證明不等式. 通過分析求解條件、確定求解程序、調(diào)整思維進(jìn)程，全面考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了考查發(fā)散思維和聚合思維的和諧統(tǒng)一.

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點與不等式知識結(jié)合，考查函數(shù)零點的概念、導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，考查學(xué)生靈活運用導(dǎo)數(shù)工具分析和解決問題的能力，綜合考查學(xué)生的推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，以及分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 此題三道小題的設(shè)置由淺入深，背景豐富，對計算難度、思維深度的要求逐步提高. 考查層次分明，區(qū)分度較高，使學(xué)生理性思維的廣度和深度得到了充分展示，較好地考查了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，突出了試題的選拔功能.

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)教學(xué)中，建議弄清以下基本問題：判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值（或最值）、證明不等式、求變量的變化范圍、函數(shù)零點的討論、函數(shù)圖象等. 在此基礎(chǔ)上，通過典型例題的訓(xùn)練加以鞏固，做到討論不遺漏、分析要全面、計算要精確. 對于高等數(shù)學(xué)的知識點：一階線性偏微分方程、凹凸性判斷、洛必達(dá)法則、拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、泰勒公式等內(nèi)容，可以根據(jù)具體解題需要適當(dāng)提及. 在未來高考中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題將繼續(xù)立足課程標(biāo)準(zhǔn)，注重考查教材中所蘊含的高等數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)卦谥袑W(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識的交會處設(shè)計試題. 考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)思想與方法分析問題、解決問題的能力，以及邏輯推理能力. 通過方法的選擇、解題時間的長短，可以甄別出學(xué)生能力的差異，從而達(dá)到精確區(qū)分學(xué)生思維層次的目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］李波，張曉斌. 高考導(dǎo)函數(shù)題型模式探究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬刊），2018（3）：70-72.

［2］曾宏建，許洪斌，李波. 微專題二十四導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（3）：31-35.

［3］李波，張曉斌，陳艷艷. 曲徑通幽撥云見日：對一道導(dǎo)函數(shù)含參題解法的探究［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（2）：55-58.