數(shù)學(xué)單元教學(xué)中教學(xué)主線的構(gòu)建

摘? 要：數(shù)學(xué)單元教學(xué)中應(yīng)該注重教學(xué)主線的構(gòu)建，以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”教學(xué)為例，闡述教學(xué)中以結(jié)構(gòu)化處理驅(qū)動知識生成，以先行組織者推進認知發(fā)展，以驅(qū)動問題鏈促進學(xué)生思維提升，促使教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變和學(xué)生素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞：單元教學(xué)；教學(xué)主線；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0041-05

引用格式：丁益民. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)中教學(xué)主線的構(gòu)建：以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”的教學(xué)為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：41-45.

一、問題提出

一直以來，“一個知識點 + 一道例題 + 一組練習(xí)”的教學(xué)方式普遍存在，這樣的教學(xué)組織零散混亂，教學(xué)立意膚淺瑣碎，造成了學(xué)生認知碎片化、思維淺表化. 深究其因，則是教學(xué)中缺乏層次結(jié)構(gòu)清晰、邏輯連貫的教學(xué)主線. 章建躍博士認為，教學(xué)主線指教師在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生基礎(chǔ)上形成的課堂結(jié)構(gòu)與教學(xué)線索. 由此可見，教學(xué)主線集中反映了教師的數(shù)學(xué)觀、學(xué)生觀和教學(xué)觀，因而其可作為評價一節(jié)課教學(xué)思路是否清晰、教學(xué)線索是否連貫的關(guān)鍵指標. 科學(xué)合理的教學(xué)主線能保證教學(xué)活動的有序開展、層次遞進，直指學(xué)生的思維能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 從承載的教學(xué)功能來看，教學(xué)主線可以分為三種，即顯性的知識主線、隱性的認知主線和思維主線. 三者之間的關(guān)系為：知識主線是形成認知主線和思維主線的載體；認知主線是搭載知識主線和思維主線的媒介；思維主線是掌握知識主線和認知主線的機制，在知識主線、認知主線的形成中起到推動作用. 素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)單元教學(xué)倡導(dǎo)各種教學(xué)主線的融合與互補，筆者以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”一課的教學(xué)為例，闡述單元教學(xué)中教學(xué)主線的構(gòu)建過程.

二、教學(xué)過程

情境：圓周運動是最基本的周期變化現(xiàn)象，我們用三角函數(shù)模型刻畫圓周上一點運動的變化規(guī)律. 在本節(jié)課之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如圖1所示的相關(guān)知識，為了進一步認識三角函數(shù)的本質(zhì)還需要進一步深化學(xué)習(xí).

問題1：根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)完三角函數(shù)的定義之后要研究什么？應(yīng)該如何研究？

在此之前，按照“定義—圖象—性質(zhì)”的路徑學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等模型. 可見，之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)起到了借鑒與引導(dǎo)作用.

【設(shè)計意圖】基于單元整體視角，立足本章主題情境（圓周上點的變化規(guī)律），從學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)和活動經(jīng)驗中提出問題，讓學(xué)生看到整個單元知識的“生長”路徑，為學(xué)生提供認知方向和認知方法，突出學(xué)習(xí)的整體性.

問題2：你能直觀想象一下正弦函數(shù)y = sin x，x ∈ R的“樣子”嗎？

函數(shù)在[0，2π]內(nèi)的圖象與[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…內(nèi)的圖象形狀完全相同.

圖象是按照“遞增—遞減—遞減—遞增”的方式進行變化的.

圖象連續(xù)不間斷.

……

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生根據(jù)單位圓上點的運動狀態(tài)（幾何直觀）初步感知點的變化規(guī)律，進行從具體到抽象的內(nèi)部表征，并由此“想象”出三角函數(shù)圖象的“樣子”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 體現(xiàn)史寧中先生所說的“數(shù)學(xué)的結(jié)果常常是‘看出來而不是‘證出來的”.

問題3：在平面直角坐標系xOy中，如何借助單位圓作出[Tx0，sin x0]？

引導(dǎo)學(xué)生觀察如圖2所示的單位圓，讓他們認識到三角函數(shù)圖象上一點T的坐標的本質(zhì)——橫坐標x0是弧AB的長度，縱坐標sin x0是圓周上點B的縱坐標. 描點T的過程實質(zhì)上是將單位圓上弧AB的長“轉(zhuǎn)移”為x軸上的“數(shù)”，以及將點B的縱坐標進行平移的過程.

問題4：在相對精確的條件下，作圖過程中會遇到哪些“技術(shù)”困難？如何突破這些“技術(shù)”困難？

學(xué)生提出的“技術(shù)”困難包括2π有多大、坐標值為無理數(shù)時如何描點等. 教師組織學(xué)生進行探討和動手操作，學(xué)生經(jīng)過思考形成了一些思維成果. 例如，學(xué)生在解決“2π有多大”時有如下一些探索：對準給定的單位圓，將紙卷成一個橫斷面為單位圓的圓筒并固定，再將其展開移到x軸上；用紙剪出一個可以自由滾動的單位圓片，讓它自原點處起沿x軸正向滾動一周；用一根細線繞單位圓一圈，再將這一圈長的細線移到x軸上；……

針對“坐標值為無理數(shù)時如何描點”這一“技術(shù)”困難，學(xué)生經(jīng)過思考與討論，形成以下方案.

方案1：在區(qū)間[0，2π]內(nèi)任取一些橫坐標的值，逐一計算坐標的正弦值，進而繪制對應(yīng)的點，再用光滑的曲線連接.

方案2：x0取1，2，3，…，再按照上述方式描點、連線、作圖.

方案3：x0取較熟悉的特殊角，如[π6， π4，]? [π3]，…，再按照上述方式描點、連線、作圖.

方案4：在區(qū)間[0，2π]內(nèi)取等分點，再按照上述方式描點、連線、作圖.

經(jīng)過交流，形成共識：方案4相對而言較精確且易操作，學(xué)生在共識下進行作圖操作，各自作出了y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象，如圖3所示.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，理解描點作圖法中的操作本義，以此加強函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整體性理解，并讓學(xué)生意識到精確作圖中的“技術(shù)”困難，留足時間和空間讓學(xué)生思考并尋求突破困難的方案，理解“等分圓周”這一操作的合理性、可行性，讓他們在觀念認同下進行動手操作. 整個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“分析困難—擬訂方案—交流討論—形成共識”的心路歷程，暴露了思維過程，展示了思維成果.“分析困難”是根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗與經(jīng)歷過程的可能困難進行的教學(xué)推進的臺階設(shè)計，旨在生生交互中實現(xiàn)思維的再創(chuàng)造.

問題5：基于上述學(xué)習(xí)，你能作出正弦函數(shù)y = sin x，x ∈ R的圖象嗎？

首先，教師通過動畫演示y = sin x，x ∈ R的圖象上任意一點的平移，啟發(fā)學(xué)生思考圖象平移實質(zhì)上是所有點的平移，進而理解函數(shù)y = sin x，x ∈[2π，4π]的圖象與函數(shù)y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象的形狀完全一致，并用誘導(dǎo)公式進一步加以邏輯說明. 由此可知，將函數(shù)y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象不斷向左和向右平移（每次移動2π個單位長度），便可以得到函數(shù)y = sin x，x ∈ R的圖象，如圖4所示.

問題6：為了研究的方便，如何快速畫出y = sin x，x ∈[0，2π]的簡圖？在確定簡圖時，應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵點？

在確定簡圖時，關(guān)鍵點有[0，0]，[π2，1，] [π，0，][3π2，-1，] [2π，0].

【設(shè)計意圖】利用三角函數(shù)周而復(fù)始的特點及誘導(dǎo)公式，分別從幾何和代數(shù)兩個角度理解從y = sin x，x ∈[0，2π]的圖象變換到y(tǒng) = sin x，x ∈ R的圖象的過程，認識到圖象平移變換的本質(zhì)是所有點的平移，并借助誘導(dǎo)公式從邏輯推理的角度解釋圖象平移的本質(zhì)，這一過程也為后面通過圖象變換作出余弦函數(shù)的圖象提供了先行組織者，讓學(xué)生意識到可以運用聯(lián)系的觀點來學(xué)習(xí)后面的知識. 對于“五點法”的教學(xué)，不僅要讓學(xué)生認識到是為了操作層面的方便，更要讓學(xué)生理解這是從局部來審視正弦曲線圖形整體特征的重要視角.

問題7：如何快速作出余弦函數(shù)y = cos x，x ∈ R的圖象？

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象時，以及剛剛經(jīng)歷的正弦函數(shù)從x ∈[0，2π]上的圖象到x ∈ R上的圖象的過程中，都充分揭示了圖象平移變換是作余弦函數(shù)圖象的先行組織者. 為此，借助誘導(dǎo)公式[cosx=sinπ2+x]找到正弦函數(shù)與余弦函數(shù)間的緊密關(guān)系，為作圖提供邏輯基礎(chǔ)，也就是函數(shù)y = cos x，x ∈ R的圖象即為函數(shù)[y=sinπ2+x]，x ∈ R的圖象，即只需要將函數(shù)y = sin x，x ∈ R的圖象向左平移[π2]個單位長度. 余弦函數(shù)的圖象（如圖5）叫作余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

問題8：類比用“五點法”畫正弦函數(shù)簡圖的過程，你能找出余弦函數(shù)在區(qū)間[-π，π]上相應(yīng)的五個關(guān)鍵點嗎？

在區(qū)間[-π，π]上，余弦函數(shù)上的五個關(guān)鍵點依次是[-π，-1]，[-π2，0]，[0，1]，[π2，0]，[π，-1].

【設(shè)計意圖】借助以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生從誘導(dǎo)公式的角度認識正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象間的邏輯關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生體會誘導(dǎo)公式是圖象變換的代數(shù)依據(jù)，用聯(lián)系的觀點進行新知的學(xué)習(xí)，并通過類比的學(xué)習(xí)方式找到作余弦函數(shù)圖象的五個關(guān)鍵點，進一步加強對余弦函數(shù)與正弦函數(shù)關(guān)聯(lián)性的理解，有助于學(xué)生理解兩個函數(shù)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

問題9：你在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷了怎樣的思維過程？基于以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你認為下節(jié)課我們將要學(xué)習(xí)關(guān)于三角函數(shù)的哪些內(nèi)容？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程，并從思維過程、知識走向、學(xué)習(xí)方式等角度總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)體驗，將本節(jié)課的內(nèi)容自動嵌入如圖6所示的三角函數(shù)知識體系中.

【設(shè)計意圖】通過小結(jié)讓學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程，將新學(xué)知識納入原有的知識體系，形成結(jié)構(gòu)化知識，并體會“聯(lián)系地學(xué)—整體地學(xué)—類比地學(xué)”的認知主線，最后再從知識結(jié)構(gòu)中提出新問題，讓學(xué)生明確接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在知識主線的生長中進行整體地學(xué)習(xí).

三、教學(xué)思考

1. 結(jié)構(gòu)化處理：知識主線整體生長

心理學(xué)研究者通過對比實驗發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)化對知識學(xué)習(xí)具有重要的促進作用，當知識以一種結(jié)構(gòu)化的方式進行儲存時，便可以大幅度提高知識應(yīng)用時的檢索效率. 因此，無論是知識的呈現(xiàn)方式，還是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，都離不開結(jié)構(gòu)化的設(shè)計與實施. 單元教學(xué)強調(diào)知識的整體性，教學(xué)應(yīng)該始終沿著一條知識主線整體地“生長”. 首先，要從整體的角度對單元知識進行結(jié)構(gòu)化教學(xué)分析，根據(jù)知識之間的因果、遞進、相對等邏輯關(guān)系，以及它們在知識結(jié)構(gòu)中的主次地位、先后順序等，進行適合學(xué)生認知發(fā)展的重構(gòu)與整合，以此構(gòu)建每個知識點與單元主題之間的邏輯關(guān)系網(wǎng). “三角函數(shù)”單元教學(xué)圍繞“點在圓周上的勻速運動”這一主情境（大背景）展開，知識之間的邏輯關(guān)系、層次結(jié)構(gòu)如圖7所示.

其次，單元教學(xué)還要注重結(jié)構(gòu)化教學(xué)實施. 教學(xué)中，一方面，要注重對單元知識整體的“感悟”，通過每個課時知識的學(xué)習(xí)促使學(xué)生從整體上逐步形成對單元核心概念的感知與體悟，借助大背景、大概念為學(xué)生提供知識生長的出發(fā)點和方向，為新知識的生長提供腳手架式的結(jié)構(gòu)支撐；另一方面，要注重對單元知識整體的理解，讓學(xué)生在對所學(xué)知識進行內(nèi)化的基礎(chǔ)上，以個性化和創(chuàng)生性的方式，從整體的角度獲得知識的內(nèi)涵與外延，進而理解知識的本質(zhì). 當然，整體地理解知識需要對單元知識進行化零為整的整合、建構(gòu)自己的正確理解及系統(tǒng)內(nèi)化才得以實現(xiàn).

2. 先行組織者：認知主線連貫推進

石志群教授認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是建立在一定的知識基礎(chǔ)和認知基礎(chǔ)上的，學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)對后續(xù)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生積極的影響. 因此，教學(xué)過程中要充分運用前后知識間的聯(lián)系，促使學(xué)生進行更高水平的學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)學(xué)科同一主線內(nèi)許多知識的研究路徑和策略具有相似性或一致性. 對此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時便可以充分發(fā)揮先行組織者的作用，先引導(dǎo)學(xué)生回顧同一主線內(nèi)已學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)路徑和學(xué)習(xí)策略，為學(xué)生提供一個可類比的學(xué)習(xí)“路徑”，再引導(dǎo)學(xué)生類比形成本單元的學(xué)習(xí)路徑和策略，讓學(xué)生在先行組織者的引導(dǎo)下，運用新的數(shù)學(xué)工具進行更高層次的數(shù)學(xué)表征與數(shù)學(xué)抽象活動，用新的數(shù)學(xué)形式對原有知識進行再認識.

本節(jié)課中，用之前學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的思維過程和活動經(jīng)驗來指導(dǎo)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知提供了有方向可依、有路徑可循的認知線路，將原有認知結(jié)構(gòu)作為先行組織者推進新知識的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是基于已有認知的再認知，讓新舊知識的認知過程成為有機的整體，達到深度學(xué)習(xí)的目的，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

運用先行組織者學(xué)習(xí)時，還要體現(xiàn)兩個“遞進”：一方面，要實現(xiàn)單元之間的關(guān)聯(lián)遞進，就是讓具有前后邏輯、結(jié)構(gòu)相似的單元知識之間形成關(guān)聯(lián)，通過新的單元學(xué)習(xí)強化舊單元已建立的結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗、策略，實現(xiàn)新舊單元內(nèi)容之間的有效聯(lián)結(jié)，進一步發(fā)展學(xué)生的認知觀念系統(tǒng). 例如，前文所述的“指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”學(xué)習(xí)單元中很多認知經(jīng)驗和認知規(guī)律，都可以成為學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”的先行組織者，也就是在兩個單元之間建立了關(guān)聯(lián)遞進. 另一方面，還要體現(xiàn)知識內(nèi)部的連貫遞進，可以從知識的整體中認識局部，也可以從局部中認識整體，建立整體與局部之間的雙向認知. 例如，本節(jié)課中從精確作一個點[Tx0，sin x0]到精確作整個正弦曲線，再從精確作圖到“五點法”作簡圖，就經(jīng)歷了從局部研究整體、從整體中認識局部的基本認知方向，體現(xiàn)了認識事物的一般規(guī)律. 這樣的認知過程符合學(xué)生的認知規(guī)律，能夠體現(xiàn)學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程的主動性和思維的積極性.

3. 邏輯問題鏈：思維主線深度提升

素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)倡導(dǎo)以問題為導(dǎo)向、以活動為載體的教學(xué)方式，以發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程為教學(xué)線索. 在問題解決中，通過問題鏈引發(fā)、引導(dǎo)、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，促進學(xué)生的思維深度發(fā)展. 在設(shè)計問題鏈時，既要關(guān)注以關(guān)聯(lián)為基礎(chǔ)的問題鏈，借助知識關(guān)聯(lián)、方法關(guān)聯(lián)和視角關(guān)聯(lián)，有效厘清數(shù)學(xué)知識的基本結(jié)構(gòu)與內(nèi)在脈絡(luò)，概覽數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體圖景，為實現(xiàn)單元教學(xué)提供抓手；還要關(guān)注問題鏈中各個主干問題的“學(xué)習(xí)入口”，應(yīng)該指向教學(xué)內(nèi)容的核心觀念. 在具體教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對主干問題進行深度探究，促使學(xué)生的思維發(fā)展經(jīng)歷“問題—方法—方法論”的數(shù)學(xué)化全過程，驅(qū)動學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)核心觀念背后所蘊含的知識與思想方法，達到對數(shù)學(xué)核心觀念的理解與運用.

本節(jié)課中，首先從單元知識體系中提出了“研究什么？如何研究？”的主問題，再以“作y = sin x，x ∈ R的圖象”這一核心任務(wù)展開思維活動，讓學(xué)生經(jīng)歷了直觀想象的感性認識，并在特定邏輯線索和數(shù)學(xué)關(guān)系中提出更聚集、更連貫的問題鏈（從問題1至問題9），通過連貫的問題鏈將問題引向縱深，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題. 在問題鏈的驅(qū)動下，學(xué)生不斷進行著對問題的探究與思考，尋求著解決問題的策略與方法，積極自主地進行著數(shù)學(xué)交流與表達. 在此過程中，學(xué)生的思維品質(zhì)得到了較好的提升，更為重要的是融入了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等多種素養(yǎng).

需要注意的是，問題鏈及問題與學(xué)生的經(jīng)驗之間，也應(yīng)該具有關(guān)聯(lián)性和遞進性，問題鏈指向?qū)W生內(nèi)隱思維的深度，能將學(xué)生在探究過程中學(xué)習(xí)的困難、障礙、差異等展現(xiàn)出來，充分暴露學(xué)生真實的思維狀態(tài)，為教學(xué)時生生和師生的互動提供互動性資源.

實踐表明，在單元教學(xué)實施中以結(jié)構(gòu)化處理驅(qū)動知識生成，以先行組織者推進認知發(fā)展，以驅(qū)動問題鏈促進學(xué)生思維提升，會使教學(xué)的邏輯變得更加清晰，教學(xué)組織和實施的過程也會更流暢和連貫，教學(xué)目標的達成也更具有整體性.

參考文獻：

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