關聯(lián)變換·理解本質(zhì)·萌生方法

李昌 朱松

摘? 要：為發(fā)揮向量數(shù)乘運算的教學功能，設計了類比實數(shù)乘法關聯(lián)幾何變換的概念建構路徑和揭示運算律的幾何意義，運用數(shù)乘證明平行關系和顯現(xiàn)單位向量的符號和功能的概念理解路徑，反思了向量數(shù)乘運算教學應該促進向量概念的理解、促使向量方法的萌生.

關鍵詞：向量的數(shù)乘運算；向量方法；單位向量

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0033-04

引用格式：李昌，朱松. 關聯(lián)變換·理解本質(zhì)·萌生方法：向量數(shù)乘運算的教學與思考［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（3）：33-36.

一、問題提出

由于向量數(shù)乘運算的教學內(nèi)容本身不難，再加之學生具有實數(shù)乘法的認知基礎和向量加法的學習經(jīng)驗. 因此，一些教師快速完成了向量數(shù)乘運算的概念建構，并把較多時間用于例題講解和技能訓練. 這樣教學，看似有較好的即時效果，但由于沒有經(jīng)歷完整的概念建構過程，學生無法體會到向量數(shù)乘運算中的數(shù)形結合思想，實則沒有發(fā)揮出此部分內(nèi)容應有的教學功能.

向量數(shù)乘運算的教學功能主要體現(xiàn)在兩個方面. 一是促進對向量概念的理解. 在學習向量數(shù)乘運算之前，向量必須依托有向線段進行直觀表達，向量加法（減法）也只能借助對有向線段的作圖來直觀地描述和向量（差向量）的長度和方向. 可見，學生此時對向量的理解只是幾何直觀層面上的感性認知. 而向量的數(shù)乘是不必借助具體圖形、只需依據(jù)數(shù)字和符號就能直接進行的運算，這使得對向量概念的理解上升到形式化和符號化的層面. 二是促使向量方法的萌生. 向量數(shù)乘運算的學習使得判斷和證明平行關系的推理方式發(fā)生了根本性改變，由綜合幾何的邏輯推理轉(zhuǎn)化為向量幾何的運算推理，首次實現(xiàn)了用定量的代數(shù)運算來刻畫定性的平行關系，這種用運算研究幾何的思維方式體現(xiàn)了創(chuàng)生向量理論的價值旨趣，這種思維方式中的數(shù)形結合思想體現(xiàn)了向量方法的內(nèi)核. 可見，向量方法萌生于運用數(shù)乘運算的過程中.

為了發(fā)揮向量數(shù)乘運算的教學功能，筆者基于學生的認知基礎和人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）的內(nèi)容，進行了類比實數(shù)乘法建構概念、運用幾何變換理解運算本質(zhì)的教學設計，敬請大家批評指正.

二、教學設計思路

1. 類比引入關聯(lián)變換形成概念

問題1：根據(jù)向量加法的三角形法則，若干個相同向量相加的和向量（如[a+a+a]）的模和方向分別是什么？用什么符號來簡記[a+a+a]？用此符號簡記的依據(jù)是什么？

追問1：若把數(shù)字3一般化為正整數(shù)[n]，則[na]的意義是什么？

追問2：若把正整數(shù)[n]換成正分數(shù)、正無理數(shù)，如[13a]， [2a]，它們還是向量嗎？若是，它們的長度和方向與向量[a]有什么聯(lián)系？還能從向量加法的角度來理解嗎？如何理解它們的意義？

追問3：如果將正整數(shù)[n]依次變成負整數(shù)、負分數(shù)、負無理數(shù)，如[-3a]，[-12a]，[-3a]等，又如何理解它們的意義？

追問4：能從變換的角度來理解[0a]和[λ0]（[λ]為任意實數(shù)）的意義嗎？

【設計意圖】乘法源于加法的簡便運算是學生熟知的一般觀念. 因此，先以向量加法為基礎，以和向量的模和方向為觀察點，類比實數(shù)乘法自然地建構正整數(shù)[n]與向量[a]的乘法運算，建立[na]的符號表示. 然后，遵循實數(shù)的擴充路徑，以問題鏈的形式依次提出四個追問，依據(jù)[λa]與[a]模長的關系，引導學生通過伸長或縮短表示[a]的有向線段來理解[λa]的意義，建構正實數(shù)與向量的乘法. 再以此為基礎，以中心對稱和伸縮變換為路徑，建構負實數(shù)與向量的乘法. 最后，根據(jù)運算的完備性要求和一致性原則，給出[0a=0]和[λ0=0]的規(guī)定，完成實數(shù)[λ]與向量數(shù)乘運算的意義建構. 這種建構和理解向量數(shù)乘運算的路徑，符合學生的認知基礎，契合知識的邏輯發(fā)展順序，自然地建立了與幾何變換之間的關聯(lián)，無形中滲透了數(shù)形結合的思想，順利地搭建了理解數(shù)乘運算本質(zhì)的支架.

2. 建構運算律揭示幾何意義

問題2：能否用文字或圖形說明等式[23a=32a=]

[6a]，[2+3a=2a+3a]，[2a+b=2a+2b]的意義？

追問1：將上述等式中的數(shù)字2，3一般化為任意實數(shù)[λ，μ]，等式還成立嗎？

追問2：回顧實數(shù)乘法的運算律，可以發(fā)現(xiàn)，實數(shù)乘法有交換律、分配律. 對比向量的數(shù)乘與實數(shù)的乘法，兩者的運算對象和規(guī)則完全不同，但它們卻遵循了相同的運算律. 這一現(xiàn)象對于學習和理解數(shù)學運算有什么啟發(fā)？

【設計意圖】先在問題2中以具體數(shù)字為情境，以伸縮變換為路徑引導學生理解向量等式的幾何意義，再給出追問1，把數(shù)字一般化，抽象建構向量數(shù)乘的交換律和分配律. 特別地，對于[2a+b=2a+2b]，先引導學生運用伸縮變化和向量加法的三角形法則建立如圖1所示的相似形，再指導學生觀察圖形，對比向量等式，發(fā)現(xiàn)向量數(shù)乘運算的分配律與相似形具有一致的內(nèi)涵. 以此揭示向量運算對幾何與代數(shù)的溝通機制，獲得向量的運算承載了數(shù)形結合的認知. 最后給出追問2，讓學生發(fā)現(xiàn)實數(shù)乘法和向量數(shù)乘雖然是不同的運算但卻遵循相同的運算律，從而認識到不能僅從運算符號去理解運算性質(zhì)，而應該從運算規(guī)則去理解運算的內(nèi)涵和運算對象的特征，以此促進學生理性思維的發(fā)展.

3. 運用數(shù)乘運算證明平行關系

問題3：記非零向量[a]和實數(shù)[λ]的數(shù)乘[λa]為[b]，即[b=λa]，那么[b]與[a]有什么關系？

追問：[λ]數(shù)值上的變化能否改變[b]與[a]的這種關系？[λ]數(shù)值上的變化能改變什么？

例? 已知不共線的非零向量[a，b]，設[AB=a+b]，[BC=2a+8b]，[CD=3a-3b]，求證：[A，B，D]三點共線.

【設計意圖】問題3及追問旨在讓學生發(fā)現(xiàn)向量的數(shù)乘不僅刻畫了[λa]與[a]之間的共線關系，還由[λ]的數(shù)值區(qū)分了與[a]共線的所有向量彼此間的差異. 當學生有了這樣的感性認知后，教師強調(diào)，用代數(shù)運算定量刻畫平行關系是向量在方法論上的價值體現(xiàn)，為例題的解決埋下伏筆. 學生之前都是用綜合幾何的邏輯推理來證明平行關系，而例題呈現(xiàn)的問題，即便學生畫出了向量幾何意義下的有向線段，也難以運用幾何關系進行推理證明，這就使學生陷入“憤”“悱”狀態(tài). 因此，他們必須轉(zhuǎn)換思維方式，尋找向量之間的數(shù)乘關系來證明平行關系. 這為學生運用數(shù)乘運算解決問題、體驗向量方法中的數(shù)形結合思想創(chuàng)造了契機.

4. 理解單位向量的度量生成功能

問題4：如圖2，把問題3中的非零向量[a]特殊化為單位向量[e]，并用數(shù)軸上的有向線段[OE]來表示. 那么，由數(shù)軸上的任一點[A]確定的向量[OA]、點[A]的坐標[x0]和[e]三者之間有什么數(shù)量關系？反之，由任意實數(shù)[x0]與[e]數(shù)乘[x0e]確定的向量[OA]是否都在數(shù)軸上？

追問1：用與非零向量[a]同向的單位向量[e]度量[a]得到的度量值是什么？如何用[a]的數(shù)乘來表示度量它的單位向量？

追問2：由同一單位向量生成的向量，彼此之間有什么關系？由不同單位向量（方向不同也不相反）生成的向量，彼此之間有什么關系？

【設計意圖】單位向量是向量空間中的重要概念，教材中只定義了單位向量而沒有進行深入的探討. 給出的問題4是讓學生理解單位向量具有與實數(shù)單位1相同的度量功能和生成功能，即單位向量能度量所有與之共線的向量，與某一單位向量共線的所有向量也都能由此單位向量的數(shù)乘運算來生成. 追問1是根據(jù)單位向量的度量功能來理解向量的模，即[a=ae]的數(shù)乘關系，進而引導學生用[a]的數(shù)乘表示單位向量，獲得單位向量的符號表達，即[e=1aa]. 追問2是由單位向量的生成功能引出由同一單位向量生成的向量彼此之間的關系問題，以及由不同單位向量生成的向量之間的關系問題，建立向量空間中線性相關、線性無關和線性運算等概念之間的關聯(lián).

三、教學思考

對運算的教學不是直接告知運算規(guī)則，而需要情境的激發(fā)和問題的引領，需要學生自主地建構和積極地體驗，才能理解運算的本質(zhì). 因此，從促進概念理解、萌生向量方法、明確數(shù)形結合的機制、揭示單位向量的功能等方面反思向量數(shù)乘運算的教學.

1. 向量運算的教學應該促進對向量概念的理解

向量的概念是向量理論的核心，具有深刻的內(nèi)涵. 教材對“平面向量的概念”教學雖然只安排了一個課時，學生也容易記住向量概念的形式化定義，但對向量概念內(nèi)涵的理解絕不是一節(jié)課就能實現(xiàn)的事情. 數(shù)學發(fā)展史實表明，向量概念內(nèi)涵有一個從具體到一般、由非形式到形式化的發(fā)展和深化過程，即從有向線段表示的直觀描述到能夠進行運算的代數(shù)對象，以及從具有幾何特征的有序數(shù)對到形成線性空間的基本元素的過程. 因此，對向量概念內(nèi)涵的理解應該是一個全面的、逐步抽象的，要在物理、代數(shù)、幾何三種視角之間反復切換的過程.

向量的運算是向量本質(zhì)特征的直接體現(xiàn)，向量運算體系是向量理論的重要內(nèi)容. 單從對向量內(nèi)涵的理解上看，引入運算之前的向量是依附于幾何直觀的向量，學生只能借助物理背景和有向線段來直觀地描述向量的長度和方向. 而隨著向量運算的引入，向量上升為代數(shù)運算的對象，成為描述幾何圖形的工具和刻畫幾何關系的載體. 例如，學生通過平行四邊形法則可以看出，向量的加法不是簡單的大小累計，向量因此不是實數(shù)的推廣，而是一個全新的量；通過向量的數(shù)乘運算，可以建立向量與幾何變換的關聯(lián)，能用向量的數(shù)乘刻畫平行關系；通過向量數(shù)量積的學習，可以實現(xiàn)對長度、角度和垂直關系的定量刻畫.

2. 數(shù)乘運算的教學應該促使向量方法的萌生

“平面向量及其應用”的教學既是向量知識的教學，也是向量方法的教學. 學生要達到《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中提出的“能用向量語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學和物理中的問題”的要求，需要理解向量的本質(zhì)，才能萌生向量的方法，進而才能掌握運用向量方法的要領. 數(shù)學史實表明，向量是在位置幾何學的基礎上建立起來的分析理論. 數(shù)學家萊布尼茨曾在信中寫道：“我對代數(shù)（笛卡兒解析幾何）感到不滿意……我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些完全不同的有新特點的元素，即使在沒有任何圖形的情況下，它也能有利于表達思想、表達事物的本質(zhì)……我這個新系統(tǒng)能緊跟可見的圖形，以一種自然的、分析的方式，通過一個確定的程序同時給出解、構造和幾何證明. 它的主要價值存在于可操作的推理中，存在于通過運算能得出的結論中.”這段話既闡釋了創(chuàng)立向量理論的初衷，也揭示了向量方法實質(zhì)上是用代數(shù)運算定量地研究幾何的性質(zhì)，正所謂“有了運算，向量的力量無限；沒有運算，向量就只是一個路標”.

向量方法是一種策略性知識. 策略性知識的教學不能靠教師的直接告知和單向傳輸，而需要學生在建構知識體系、形成數(shù)學結構的過程中積極探索和主動思考. 學生弄清了創(chuàng)生向量知識體系的原始動因和價值追求，明確了建構向量知識體系的過程與方法，就在認知中播下了向量方法的種子. 本文呈現(xiàn)的運用伸縮變換理解向量數(shù)乘運算、運用向量數(shù)乘證明平行關系、建立數(shù)乘運算律和相似三角形的關聯(lián)等理解途徑，有助于學生理解向量中的數(shù)形結合，能夠促進向量方法的萌芽生長.

3. 數(shù)乘運算的教學應該明確數(shù)形結合的機制

要理解《標準》中指出的“向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁”，就要在向量的教學中明確以下問題：代數(shù)與幾何分別是怎樣研究向量的？向量是如何在幾何與代數(shù)之間搭建橋梁的？往返于這座橋梁上的交通工具是什么？向量對幾何與代數(shù)的溝通機制是什么？

向量的數(shù)乘運算給出了上述問題的答案. 學生通過向量加法和減法的學習獲得“方向的變化可以由代數(shù)運算產(chǎn)生”的直觀感知，而向量數(shù)乘的教學則讓學生清晰地看到代數(shù)運算可以精準地量化幾何關系. 例如，本文例題證明[A，B，D]三點共線的過程，顯示了向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，體現(xiàn)了向量對幾何與代數(shù)的溝通形式：先用向量來表達幾何元素，然后通過向量的代數(shù)運算產(chǎn)生新的向量[BC+CD=BD]，最后通過新的代數(shù)運算[BD=5AB]來刻畫幾何關系（[BD∥AB]，[A，B，D]三點共線）. 這樣，用向量表示幾何元素，通過向量運算把幾何元素轉(zhuǎn)化成代數(shù)運算的對象，建立起了溝通代數(shù)與幾何的橋梁. 由此可見，向量既是代數(shù)運算的對象也是表達幾何對象的載體；向量的運算是穿梭在橋梁上的交通工具，它既確定數(shù)量特征也刻畫幾何關系，是融合幾何直觀與代數(shù)運算的平臺，也為學生提供了“感悟數(shù)學知識之間的關聯(lián)，加強對數(shù)學整體性理解”的通道.

4. 數(shù)乘運算的教學應該彰顯單位向量的功能

教學實踐中，單位向量是在“平面向量的概念”中直接給出的派生概念，目的是利用單位向量在大小上的特殊性來理解向量的模. 但是，對單位向量的教學理解絕不能止于這種形式化的層面，而應該在后續(xù)的教學中尋找時機揭示單位向量的功能和價值. 向量數(shù)乘運算的教學是促進單位向量內(nèi)涵理解的絕佳時機. 因為歷史上是根據(jù)向量的數(shù)乘關系來定義單位向量的，如果共線的任意向量都可以由某個向量的數(shù)乘來表示，那么稱這個向量為單位向量. 單位向量的度量功能可以促進對向量共線定理和平面向量基本定理的理解；由單位向量的生成功能可以自然地引出向量空間中線性相關和線性無關的概念；單位向量數(shù)量積的坐標表示[e1 ? e2=cosαcosβ+sinαsinβ]給出了三角恒等變換中兩角差的余弦公式[cosα-β]；非零向量[a]的單位向量的符號化表達[1aa]是學生的認知難點，本文教學中利用向量數(shù)乘運算順利地突破了這個難點，為學生建立單位菱形對角線的向量表達[1aa+1bb]，[1aa-][1bb]提供了便利. 這促進了對數(shù)形結合思想的運用，也為利用向量方法解決平面幾何問題奠定了基礎.

四、結束語

平面向量數(shù)乘運算的知識內(nèi)容較為簡單，但這個簡單的內(nèi)容卻孕育了重要的思想與方法. 學生如果不經(jīng)歷建構數(shù)乘運算的抽象過程、不理解運算規(guī)則的實際意義、不關聯(lián)到幾何中的伸縮變換和相似圖形，他們將缺乏深入思考的途徑和內(nèi)容，自然無法領悟到數(shù)乘運算背后的思想方法和價值旨趣.

參考文獻：

［1］瑞德. 希爾伯特：數(shù)學世界的亞歷山大［M］. 袁向東，李文林，譯. 上海：上海科學技術出版社，2003.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］孫慶華. 向量理論歷史研究［D］. 西安：西北大學，2006.