魔法幻六邊形

幻方是最早的數(shù)學(xué)文化之一，它的起源可以追溯到4200年前的“河圖洛書”。最簡(jiǎn)單的幻方是3×3幻方（也叫“九宮格”），要求玩家在九宮格里填上數(shù)字1～9，數(shù)字不允許被重復(fù)使用，使每行、每列以及對(duì)角線上的數(shù)字之和均為15。經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的研究后，數(shù)學(xué)家給出了幻方的定義：

在一個(gè)n×n的正方形網(wǎng)格中，填入從1～n2的若干正整數(shù)，數(shù)字不允許被重復(fù)使用，使得網(wǎng)格中任意一行、一列及對(duì)角線的n個(gè)數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖形稱為“n階幻方”。

3階幻方

從1～9中選擇合適的數(shù)字填入，使幻方的每一行、每一列和每條對(duì)角線上的數(shù)字之和均為15。

4階幻方

從1～16中選擇合適的數(shù)字填入，使幻方的每一行、每一列和每條對(duì)角線上的數(shù)字之和均為34。

5階幻方

從1～25中選擇合適的數(shù)字填入，使幻方的每一行、每一列和每條對(duì)角線上的數(shù)字之和均為65。

總的來說，正方形網(wǎng)格的幻方已經(jīng)被許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者研究得很透徹了。另外一種由正六邊形網(wǎng)格組成的幻方大家卻所知不多。本期實(shí)驗(yàn)，我們就來探究這種有趣的幻六邊形。

準(zhǔn)備材料：

4種不同顏色的A4紙各兩張、直尺、量角器、圓規(guī)、水筆。

實(shí)驗(yàn)步驟：

1 準(zhǔn)備4種顏色的A4紙，每種顏色各兩張。在本次實(shí)驗(yàn)中，我們選擇了粉色、黃色、綠色、藍(lán)色這4種顏色的紙。

2 拿出圓規(guī)和直尺，取4.5厘米的長(zhǎng)度。

3 拿出一張黃色的A4紙，用圓規(guī)在紙上畫一個(gè)半徑為4.5厘米的圓。

4 把圓規(guī)的針插在圓周上的任意一點(diǎn)，保持圓規(guī)的半徑不變，畫一段圓弧，圓弧和圓周有1個(gè)交點(diǎn)。

5 重復(fù)上一個(gè)步驟6次，圓周上就有了6個(gè)交點(diǎn)。

6 你在圓周上標(biāo)記的6個(gè)點(diǎn)就是六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)，用尺子和鉛筆連接相鄰的頂點(diǎn)，得到一個(gè)正六邊形。

7 拿出剪刀，沿正六邊形的邊把正六邊形剪下來。

8 剪完后，我們得到了一個(gè)邊長(zhǎng)為4.5厘米的黃色正六邊形。

9 接著，取兩張藍(lán)色的A4紙，上下對(duì)折之后再左右對(duì)折。

10 保持圓規(guī)半徑不變，在對(duì)折后的紙上畫一個(gè)半徑為4.5厘米的圓，并重復(fù)步驟4和步驟5，在圓周上畫出6個(gè)交點(diǎn)。

11 連接相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，得到一個(gè)正六邊形。

12 拿出剪刀，沿正六邊形的邊把正六邊形剪下來。

13 剪完后，我們得到了8個(gè)邊長(zhǎng)為4.5厘米的藍(lán)色正六邊形。

14 重復(fù)步驟8到步驟11，將兩張綠色、粉色的A4紙對(duì)折后再對(duì)折，同樣畫出正六邊形。

15 拿出剪刀，沿正六邊形的邊把正六邊形剪下來，又得到了8個(gè)綠色正六邊形和8個(gè)粉色正六邊形。

16 在黃色正六邊形中寫上數(shù)字5，在綠色正六邊形中寫上1，2，4，6，7，8這6個(gè)數(shù)字。

17 在6個(gè)藍(lán)色正六邊形中寫上3，9，10，15，16，18；在6個(gè)粉色正六邊形中寫上17，14，13，11，12，19。

18 請(qǐng)把這19個(gè)邊長(zhǎng)相同的正六邊形拼起來，使正六邊形每邊上的數(shù)字之和相等。經(jīng)多次嘗試后，你會(huì)拼出如下圖所示的圖形。

知識(shí)課堂

仔細(xì)觀察我們拼好的幻六邊形，你會(huì)有如下有趣的發(fā)現(xiàn)：

1. 幻六邊形的每條邊上有3個(gè)正六邊形，這種幻方被稱為“3階幻六邊形”。

2. 幻六邊形包含從1開始，到3n2-3n+1的連續(xù)整數(shù)。當(dāng)n=3的時(shí)候，3n2-3n+1=19。

3. 數(shù)字是5的黃色正六邊形在幻六邊形的正中央，綠色正六邊形在第2圈，粉色和藍(lán)色正六邊形在最外側(cè)交錯(cuò)分布。

4. 每條邊上的數(shù)字之和相等，都是38。

同學(xué)們?cè)谕嬗螒驎r(shí)，可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論你怎么拼這個(gè)幻六邊形，當(dāng)n=3的時(shí)候，其拼法是唯一的。為什么只有這個(gè)幻方有唯一的拼法？因?yàn)榛昧呅蚊啃小⒚苛械恼呅螖?shù)量不同，運(yùn)用數(shù)學(xué)算法求解后，只有唯一的一組解。