以計數(shù)單位為核心 感悟運算的一致性

呂立峰

【摘?? 要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，核心素養(yǎng)具有整體性和一致性。聚焦到“數(shù)與運算”主題，如整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的教學，即不僅要強調(diào)“意義和關系的一致性”，更要注重“算理和算法的一致性”。教師聚焦“計數(shù)單位”這個核心概念，運用實例，并輔以推理，闡釋了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等的運算一致性的數(shù)學原理和學習路徑，提出了“掌握加減運算的一致性是讓學生經(jīng)歷相同計數(shù)單位的數(shù)的加減運算；感悟乘法運算的一致性是讓學生經(jīng)歷因數(shù)相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位的過程；理解除法運算的一致性是讓學生經(jīng)歷高級計數(shù)單位不斷細分的過程”這樣三個基本觀點和具體操作策略。

【關鍵詞】計數(shù)單位；四則運算；運算的一致性

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出，核心素養(yǎng)具有整體性和一致性。聚焦到“數(shù)與運算”主題，如整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的教學，即不僅要強調(diào)“意義和關系的一致性”，更要注重“算理和算法的一致性”。其中，前者在各版數(shù)學課程標準及配套的教材中均有所體現(xiàn)，只不過直到2022年版課標頒布才首次明確并重點強調(diào)了這一點。后者則是2022年版課標提出的一種全新的關系稱謂，要求教師在課堂實踐中進行更加深入的探索。

那么，在一致性視角下，如何對整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算教學進行整體設計呢？從數(shù)理邏輯的角度出發(fā)，“計數(shù)單位”是貫穿四則運算一致性的核心概念。然而，在不同運算的教學中，“計數(shù)單位”所發(fā)揮的功能和作用也各不相同。因此，在實際課堂教學中，教師需要靈活調(diào)整“計數(shù)單位”的應用視角，確保教學的深入與全面。

一、掌握加減運算的一致性：經(jīng)歷相同計數(shù)單位的數(shù)的加減運算

要使學生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減運算的一致性，關鍵在于引導他們經(jīng)歷相同計數(shù)單位的數(shù)的加減運算過程。在加減運算中，學生最先學習整數(shù)加減法，在此基礎上學習小數(shù)加減法和分數(shù)加減法。按照這一學習順序，學生很容易就能明白小數(shù)加減法的計算法則，本質上就是在執(zhí)行相同計數(shù)單位的數(shù)的加減運算。然而，理解分數(shù)加減法的計算法則卻并不容易。分數(shù)加減法的計算法則強調(diào)“同分母分數(shù)相加減，分母不變，只把分子相加減；異分母分數(shù)相加減，先通分，再按照同分母分數(shù)加減法進行計算”。從字面上來看，這與整數(shù)、小數(shù)加減法的計算法則存在顯著差異。為了突破這一難點，教師應精心設計教學活動，建立分數(shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生體會各類加減運算本質上的一致性。

【教學片段1】“整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減運算”教學

1.學生完成習題，提供研究素材（如表1）。

2.教師啟發(fā)引導，溝通運算算理。

師：整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減運算有什么相同點？

生：整數(shù)、小數(shù)加減運算時，都要把相同數(shù)位對齊，也就是讓相同計數(shù)單位的數(shù)進行加減。

師：這個規(guī)則在分數(shù)加減法中也適用嗎？

生：不可以，分數(shù)加減法的計算法則和整數(shù)、小數(shù)加減法的不同。

師：分數(shù)加減法的計算法則強調(diào)“異分母分數(shù)相加減，先通分，再按照同分母分數(shù)加減法進行計算”。這樣的規(guī)定是基于什么原因呢？

生：這是因為異分母分數(shù)只有轉化為同分母分數(shù)，它們的分數(shù)單位才能統(tǒng)一。

師：你能舉例說明嗎？

生：比如[34-23]，這兩個分數(shù)的單位不同，不能直接相減。只有將它們通分成[912]和[812]后，才能直接相減。這時，它們的分母都是12，分數(shù)單位相同。

師：數(shù)學上，“分數(shù)單位”是“分數(shù)計數(shù)單位”的簡稱，所以“通分”的過程實際上就是統(tǒng)一計數(shù)單位的過程。

生：我明白了！原來分數(shù)加減法和整數(shù)、小數(shù)加減法一樣，都是將相同計數(shù)單位的數(shù)進行加減。

經(jīng)過對上述教學片段的觀察分析，可以確認學生的表現(xiàn)與課前預測相符。在面對整數(shù)和小數(shù)加減法時，學生能夠準確地識別出它們的共同點。然而，當涉及分數(shù)加減法時，學生就會產(chǎn)生一定的困惑，因為分數(shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法在計算法則的表述上存在顯著差異。為了幫助學生理解這一問題，教師在課堂上要利用有效的追問，清晰地向學生解釋把異分母分數(shù)轉化為同分母分數(shù)進行加減的原因，即實現(xiàn)計數(shù)單位的統(tǒng)一。計數(shù)單位統(tǒng)一之后，計算過程就會簡化為“分子相加減”，也就是求相同計數(shù)單位的個數(shù)。通過這樣的教學過程，教師成功地建立了分數(shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生深刻感悟到加減法運算的一致性。

二、感悟乘法運算的一致性：經(jīng)歷因數(shù)相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位的過程

要使學生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法運算內(nèi)在的一致性，關鍵在于引導他們經(jīng)歷因數(shù)相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位的過程?！爱a(chǎn)生新的計數(shù)單位”從表述上來說可能較為新穎，但它在實際教學中的運用并不少見。比如，小數(shù)乘法的計算法則中提到“看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點”，其中“點上小數(shù)點”的過程就是產(chǎn)生“新的計數(shù)單位”的過程。分數(shù)乘法的計算法則中也提到“用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母”，其中“用分母相乘的積作分母”的過程也是產(chǎn)生“新的計數(shù)單位”的過程。那么，在一致性視角下，乘法運算教學應如何讓學生體會到因數(shù)相乘會產(chǎn)生“新的計數(shù)單位”呢？

【教學片段2】“小數(shù)乘小數(shù)運算”教學

1.教師出示例題，讓學生筆算0.8×0.3。

2.展示算法，聚焦重點。學生展示多種算法（略），重點研究列豎式解答的方法（如圖1）。

圖1 0.8×0.3的豎式解答過程

師：請大家想一想，為什么要把24縮小到原來的[1100]才是正確的積？

生：兩個因數(shù)0.8和0.3分別擴大到原來的10倍，它們的積就會擴大到原來的100倍。根據(jù)積的變化規(guī)律，只有把24縮小到原來的[1100]，才能得到正確的積。

生：可以通過畫圖來說明。如圖（a）所示，把正方形看作單位“1”，并在其中用陰影分別表示0.8和0.3。相當于把單位“1”平均分成100份，每份是0.01。而兩個陰影的重疊部分正好占其中的24份，也就是有24個0.01，即0.24。

師：這位同學的意思是，0.8表示8個0.1，0.3表示3個0.1，“0.8×0.3”的結果會產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位0.01。這個新的計數(shù)單位是由兩個因數(shù)的計數(shù)單位相乘得到的，即0.1×0.1=0.01。而把“0.8×0.3”看成“8×3”計算出的“24”，就表示新計數(shù)單位的個數(shù)。

［教師邊解釋算理，邊把學生的圖式補充完整，如圖2（b）所示］

3.歸納算法，理解本質。

師：通過剛才的學習，我們知道了小數(shù)乘法的計算法則是“先把小數(shù)乘法轉化成整數(shù)乘法計算，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點”。現(xiàn)在，你們明白這個法則的意思了嗎？

生：計算法則中，“把小數(shù)乘法轉化成整數(shù)乘法計算”得到的積就是“新計數(shù)單位的個數(shù)”，“看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)”能確定積的計數(shù)單位，而積的計數(shù)單位就是“兩個因數(shù)的計數(shù)單位相乘之后產(chǎn)生的新計數(shù)單位”。

【教學片段3】“分數(shù)乘分數(shù)運算”教學

1.教師出示例題，要求學生筆算[45×23] 。

2.展示算法，聚焦重點。學生展示多種算法（略），重點研究用畫圖求積的方法，如圖3（a）所示。

師：大家能看懂這位同學的方法嗎？

生：他把正方形看作單位“1”，然后用陰影分別表示[45]和 [23]。相當于把單位“1”平均分成15份，每份是[115]。兩個陰影的重疊部分正好占其中的8份，也就是有8個[115]，即[815]。

師：這位同學的意思是，[45]表示4個[15]，[23]表示2個[13]，“[45×23]”的結果會產(chǎn)生一個新的分數(shù)單位[115]，也稱新的計數(shù)單位。這個新的計數(shù)單位是由兩個因數(shù)的計數(shù)單位相乘得到的，即[15×13＝13×5＝115]；新的計數(shù)單位的個數(shù)就是分子相乘的積，即“4×2=8”；8個[115]就是[815]。

［教師邊解釋算理，邊把學生的圖式補充完整，如圖3（b）所示］

3.揭示本質，歸納算法。

師：剛才的思考過程可以用怎樣的算式記錄呢？

生：我認為，黑板上“[45×23＝4×25×3＝815]”這個算式正好記錄了剛才的思考過程。因為兩個因數(shù)的分母“5”和“3”相乘的積正好可以表示新的計數(shù)單位，分子“4”和“2”相乘的積正好就是新計數(shù)單位的個數(shù)。

師：那么，你們認為分數(shù)乘法的計算法則是什么呢？

生：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。

【教學片段4】“乘法運算的復習和整理”教學

1.教師整體呈現(xiàn)三類乘法算式。

]

2.圍繞核心問題展開討論：小數(shù)、分數(shù)乘法運算與整數(shù)乘法運算之間有什么關聯(lián)？

3.經(jīng)過師生間的深入交流與討論，達成共識：小數(shù)和分數(shù)的乘法運算都會產(chǎn)生新的計數(shù)單位。若能夠確定這個新計數(shù)單位，便能將小數(shù)和分數(shù)的乘法轉化成整數(shù)乘法進行計算。

4.利用學習材料深入解析：比如0.2×0.4，兩個因數(shù)的計數(shù)單位都是0.1，它們相乘就會產(chǎn)生新的計數(shù)單位0.01。又如[45×23]，兩個因數(shù)的計數(shù)單位分別是[15]和[13]，它們相乘也會產(chǎn)生新的計數(shù)單位[115]。一旦確定了積的計數(shù)單位，這兩道題就能夠轉化成整數(shù)乘法“2×4”。教師根據(jù)學生的回答適時進行板書，如圖4所示。

圖4 乘法運算部分板書

上述三個教學片段構成了一個整體，呈現(xiàn)了乘法運算兩個階段的教學重點。第一個階段聚焦于“小數(shù)乘小數(shù)”和“分數(shù)乘分數(shù)”的運算教學，主要通過數(shù)形結合，讓學生經(jīng)歷兩個因數(shù)相乘產(chǎn)生新計數(shù)單位的全過程。這兩節(jié)課基本采用相同的教學思路，再輔以可視化的學習材料，使學生感悟到小數(shù)乘法和分數(shù)乘法運算的內(nèi)在一致性。第二個階段則是“乘法運算的復習和整理”，一方面通過對比和概括揭示了小數(shù)乘法和分數(shù)乘法運算的一致性，另一方面通過建立小數(shù)乘法、分數(shù)乘法與整數(shù)乘法的聯(lián)系，消除了三者之間的隔閡，構建起乘法運算一致性的結構。

三、理解除法運算的一致性：經(jīng)歷高級計數(shù)單位不斷細分的過程

要使學生感悟到整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)除法運算的內(nèi)在一致性，關鍵在于引導他們完整地經(jīng)歷高級計數(shù)單位不斷細分的過程。在這個過程中，有三個關鍵的教學節(jié)點需特別關注。

第一個教學節(jié)點是“兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法，首位不能整除的情況”，意在初步啟發(fā)學生對高級計數(shù)單位細分方法的認識?，F(xiàn)有教材在編寫意圖上已充分體現(xiàn)了這一點。如圖5所示，人教版教材利用小棒直觀輔助教學，使學生能夠清晰地觀察到“1個十”細分為“10個一”的過程。根據(jù)課堂觀察，一線教師在此方面的執(zhí)行力度值得肯定。

圖5 人教版教材“筆算除法”

第二個教學節(jié)點是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”，要求學生對高級計數(shù)單位細分的過程有更深的理解。然而，在當前教學實踐中，許多教師傾向于直接傳授計算法則，即“除得的商有余數(shù)時，在余數(shù)末尾添0繼續(xù)除”，而忽視了計算法則背后的原理。

第三個教學節(jié)點是“異分母分數(shù)除法”，是對高級計數(shù)單位細分的拓展與深化。在這一環(huán)節(jié)，教師的做法與前述環(huán)節(jié)類似，多側重計算法則的傳授，即“除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，而指向算理的教學目標則基本被淡化。那么，在一致性視角下，小數(shù)和分數(shù)除法的教學應如何讓學生經(jīng)歷高級計數(shù)單位不斷細分的全過程呢？

【教學片段5】“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法運算”教學

1.學生試做：86÷4（豎式中的前兩次試商如圖6所示）。

圖6 86÷4的試商過程

2.難點揭示：在圖6所示算式中，余數(shù)2不夠除4怎么辦？

3.策略思考：為了解決這個問題，可以在余數(shù)2的后面添“0”，繼續(xù)進行除法運算。

4.明晰算理：余數(shù)2表示2個一。在其后面添加1個“0”，可以將2個“一”看作20個“0.1”。用20個0.1除以4，商是5個0.1，即0.5。為了正確表述結果，需要在21的后面點上小數(shù)點，再寫5。

5.圖式表征：如圖7所示，通過畫圖解釋整個計算過程。

圖7 “86÷4”算理表征過程

6.教師總結提煉：在余數(shù)2后面添加1個“0”，表示將2個一轉化成20個0.1，也就是把計數(shù)單位“一”細分成10個“0.1”。這種將“高級計數(shù)單位”細分成“低級計數(shù)單位”的做法，確保了小數(shù)除法運算的順利進行。這與整數(shù)除法具有一致性。

【教學片段6】“分數(shù)除以分數(shù)運算”教學

1.學生嘗試解答：[78÷35]。

2.理解多種算法。

3.解讀關鍵算法③：[78÷35=3540÷2440=35÷24=3524]。

師：用方法③解答的同學是怎么思考的呢？

生：由于[78]和[35]的分母不同，所以可以先通分，把[78÷35]轉化為“[3540÷2440]”，這就相當于求“35個[140]是24個[140]的幾倍”，通過計算35÷24得出商。

師：你能把這個過程用畫圖的方式表達清楚嗎？

（師生合作，共同完成算理表征過程，如圖8所示）

圖8 “算法③”算理表征過程

4.師生共同提煉算理：對于異分母分數(shù)的除法，可以先通分，將它們轉化成同分母分數(shù)再相除。在這一過程中，對被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位進行細分是關鍵。當它們的計數(shù)單位相同時，分子相除的結果即為異分母分數(shù)相除的商。

5.與算法相溝通：上述過程可以表示為等式：[78÷35=7×540÷3×840=7×5×140÷3×8×140=7×5÷3×8=7×58×3＝78×53＝3524]。由此，得出分數(shù)除法的計算法則：除以一個不等于0的數(shù)，就等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

【教學片段7】“除法運算的復習和整理”教學

1.整體呈現(xiàn)三類除法算式。

]

2.歸納算式的共性，理解運算的一致性。

教師提問：“整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)三類除法運算有哪些共同之處？”

師生共同歸納：這三類除法運算在本質上是一致的。它們都涉及“高級計數(shù)單位的細分”過程，依靠計數(shù)單位的不斷細分逐步推進。比如：在整數(shù)除法52÷2中，將余數(shù)1個“十”細分成10個“一”；在小數(shù)除法86÷4中，將余數(shù)2個“一”細分成20個“0.1”；在分數(shù)除法[78÷35]中，將7個“[18]”和3個“[15]”細分成35個“[140]”和24個“[140]”。教師根據(jù)學生的回答隨機板書，如圖9所示。

圖9 三類除法計算題“細分計數(shù)單位”

上述三個教學片段構成了一個逐步深入的整體。在“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法運算”的教學中，教師通過分小棒的直觀演示，讓學生看到計數(shù)單位不斷細分后，兩數(shù)相除的商既可以用整數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示。在“分數(shù)除以分數(shù)運算”的教學中，教師同樣借助形的直觀，讓學生看到從計數(shù)單位細分的角度出發(fā)，可以解釋分數(shù)除法的計算法則。在“除法運算的復習和整理”的教學中，則通過對三類除法計算題共性的歸納，讓學生理解計數(shù)單位細分是推進除法運算的關鍵，從而構建除法運算一致性的結構。

通過教學實踐不難發(fā)現(xiàn)，“計數(shù)單位”在打通四則運算一致性的過程中確實起到了至關重要的作用。為了進一步聚焦這一核心概念，需要對它及其相關問題進行深入探討。

第一，如何使學生深刻理解“計數(shù)單位”這一概念？“計數(shù)單位”是計算教學的核心概念，學生對它的理解程度將直接影響后續(xù)學習的效果。事實上，對計數(shù)單位的理解與“數(shù)概念一致性”的教學是密切相關的。例如，“3表示3個一，0.3表示3個0.1，[34]表示3個[14]”等，就是從計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)這個角度來認識整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的一致性的表現(xiàn)。因此，夯實“數(shù)概念一致性”的教學，可以幫助學生深刻理解“計數(shù)單位”這一概念，進而為感悟四則運算的一致性提供保證。

第二，用“計數(shù)單位”打通四則運算一致性的本原是什么？在回答這個問題前，可以先回顧一下四則運算一致性的具體表現(xiàn)：只要找到了相同的計數(shù)單位，小數(shù)和分數(shù)的加減法運算就可以將相同計數(shù)單位的數(shù)相加減的過程轉化為一道整數(shù)加減法計算題；只要知道了因數(shù)相乘所產(chǎn)生的新計數(shù)單位，小數(shù)和分數(shù)的乘法運算就可以將求新計數(shù)單位個數(shù)的過程轉化為一道整數(shù)乘法計算題；只要掌握了高級計數(shù)單位細分的方法，小數(shù)和分數(shù)的除法運算就可以將求商的過程轉化為一道整數(shù)除法計算題。由此可見，“轉化”是用“計數(shù)單位”打通四則運算一致性的數(shù)學本原。

綜上所述，“計數(shù)單位”在感悟整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算一致性的過程中發(fā)揮著關鍵作用。在“數(shù)概念一致性”的教學中，應突出“計數(shù)單位”的核心地位，加深學生對這一概念的理解。在“數(shù)運算一致性”的教學實踐中，應以“計數(shù)單位”為內(nèi)核，消除整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算之間的隔閡，強調(diào)“轉化”的數(shù)學思想。

參考文獻：

［1］孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀：小學數(shù)學［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［2］陳惠勇.數(shù)學課程標準與教學實踐一致性：理論研究與實踐探討［M］.北京：科學出版社，2016.

［3］劉徽.大概念教學：素養(yǎng)導向的單元整體設計［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［4］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心）