電動(dòng)汽車動(dòng)力電池SOC估計(jì)

唐旭 葉今祿 肖錦濤 湯道寬 宋海濤 譚先琳

摘要：為準(zhǔn)確評(píng)估電動(dòng)汽車鋰離子電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC），構(gòu)建二階電阻電容等效電路模型，通過遞推最小二乘法識(shí)別等效電路模型參數(shù)，采用開路電壓放電試驗(yàn)獲取動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試（dynamic stress test，DST）工況下開路電壓與SOC之間的函數(shù)關(guān)系，在DST工況下對(duì)比分析開路電壓法、卡爾曼濾波法、擴(kuò)展卡爾曼濾波法估算的SOC及誤差。結(jié)果表明：卡爾曼濾波及擴(kuò)展卡爾曼濾波2種算法與開路電壓法SOC估算結(jié)果吻合性較好；卡爾曼濾波法最大SOC估計(jì)誤差為0.017，擴(kuò)展卡爾曼濾波法最大SOC估計(jì)誤差為0.013，均滿足SOC估計(jì)誤差不得超過0.050的標(biāo)準(zhǔn)要求，但擴(kuò)展卡爾曼濾波算法精度更高。

關(guān)鍵詞：電動(dòng)汽車；鋰離子電池；SOC估計(jì)；誤差

中圖分類號(hào)：TM912文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-6397（2024）02-0097-06

引用格式：唐旭，葉今祿，肖錦濤，等.電動(dòng)汽車動(dòng)力電池SOC估計(jì)［J］.內(nèi)燃機(jī)與動(dòng)力裝置，2024，41（2）：97-102.

TANG Xu， YE Jinlu， XIAO Jintao， et al.SOC estimation of power batteries for an electric vehicle［J］.Internal Combustion Engine & Powerplant， 2024，41（2）：97-102.

0 引言

電動(dòng)汽車電池工作狀態(tài)參數(shù)包括動(dòng)力電池運(yùn)行時(shí)的端電壓、電流、工作溫度、內(nèi)阻、動(dòng)力電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）等^[1-2]。SOC為剩余電量占電池容量的比，可反應(yīng)電池的剩余容量。SOC為0，電池完全放電；SOC為1，電池電量充滿。準(zhǔn)確估計(jì)鋰離子電池SOC有利于合理規(guī)劃行駛路線及充電計(jì)劃，監(jiān)控汽車充電狀況，優(yōu)化動(dòng)力電池充放電策略，對(duì)電動(dòng)汽車發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義^[3]。

鋰離子動(dòng)力電池自放電少，可長(zhǎng)時(shí)間存放，具有非線性輸出特性^[4]，目前主要采用放電試驗(yàn)法、安時(shí)積分法、開路電壓法及卡爾曼濾波算法估算鋰離子電池SOC^[5]。放電試驗(yàn)法以恒定的電流使電池處于不間斷的放電狀態(tài)，當(dāng)放電到達(dá)截止電壓時(shí)計(jì)算所放電量（放電時(shí)的恒定電流與放電時(shí)間的乘積）。采用放電試驗(yàn)法估算SOC操作簡(jiǎn)單，但是不可添加負(fù)載，且電流波動(dòng)大、測(cè)量時(shí)間長(zhǎng)，導(dǎo)致SOC估計(jì)不精確。安時(shí)積分法通過實(shí)時(shí)測(cè)量電池包主回路電流，根據(jù)充電時(shí)間計(jì)算充電或放電電量，結(jié)合初始電量，得到當(dāng)前電量，但由于無(wú)法直接得到初始電量，需與其他方法結(jié)合，增大了計(jì)算復(fù)雜性^[6]。開路電壓法指電池長(zhǎng)時(shí)間充分靜置，各項(xiàng)參數(shù)穩(wěn)定后，得到開路電壓與SOC之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該方法估計(jì)精度高，但電池必須靜置，且需要在開路情況下測(cè)量，使用范圍受限。卡爾曼濾波（Kalman filter，KF）算法是基于最小方差的一種最優(yōu)估計(jì)方法，該算法將估計(jì)變量作為狀態(tài)變量，測(cè)量變量作為觀測(cè)變量，采用遞推方式濾除噪聲，利用卡爾曼增益對(duì)估計(jì)變量和測(cè)量變量賦予不同置信度，直至估計(jì)變量收斂于真實(shí)變量，但該方法只能用于線性系統(tǒng)分析。

本文中構(gòu)建二階電阻電容（resistor capacitance，RC）等效模型，結(jié)合最小二乘法識(shí)別等效電路模型參數(shù)，并以動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試（dynamic stress test，DST）工況為例，對(duì)比分析開路電壓法、KF、擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）算法SOC估算結(jié)果，為準(zhǔn)確估計(jì)鋰離子電池SOC提供參考。

1 二階RC電路模型及參數(shù)識(shí)別

1.1 二階RC電路模型

鋰離子電池等效電路模型包括Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型和RC等效電路模型。Rint模型由1個(gè)內(nèi)阻和恒壓電源串聯(lián)組成，僅適用線性輸出系統(tǒng)，不適用于鋰離子電池非線性輸出系統(tǒng)^[7]；Thevenin模型考慮鋰離子電池極化現(xiàn)象，在內(nèi)阻模型中增加了1個(gè)RC回路，也稱為一階RC模型，但該模型精度較低；PNGV模型考慮了負(fù)載電流隨時(shí)間累計(jì)產(chǎn)生的電池開路電壓的變化，在Thevenin模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)了1個(gè)電容，適用于非線性輸出特性的鋰離子電池，但串聯(lián)電容增大了累積誤差^[8]；1個(gè)RC并聯(lián)電路由1個(gè)電容器和1個(gè)電阻器并聯(lián)構(gòu)成，RC等效電路模型由電源串聯(lián)內(nèi)阻和多個(gè)RC并聯(lián)電路構(gòu)成，可準(zhǔn)確模擬鋰離子電池各種工況下的特性。多階RC等效電路模型的建模階數(shù)越高，電池動(dòng)態(tài)特性建模效果越好，但建模復(fù)雜度增加。

鋰離子電池放電后期，電流輸出不穩(wěn)定，SOC估算精度降低，綜合考慮電池SOC估算精度和模型計(jì)算量，本文中選用二階RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型。二階RC等效電路模型如圖1所示。

由圖1可知：二階RC等效電路模型包括電池內(nèi)阻器R0、電化學(xué)極化電阻器R1、濃差極化電阻器R2、電化學(xué)極化電容器C1、濃差極化電容器C2，相關(guān)參數(shù)有電路電流I，端電壓U_L，開路電壓U_OC，電化學(xué)極化電阻器和濃差極化電阻器對(duì)應(yīng)的電壓分別為U₁、U₂。R0的電阻隨電池充、放電循環(huán)次數(shù)增加發(fā)生變化，U_OC指斷開電流與負(fù)載回路，靜止一段時(shí)間后鋰離子電池內(nèi)部達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，測(cè)量的端電壓^[9]。

1.2 最小二乘法識(shí)別模型參數(shù)

采用最小二乘法，將鋰電池二階RC等效電路模型轉(zhuǎn)化為最小二乘法結(jié)構(gòu)形式，基于電路模型結(jié)構(gòu)框架，通過模型輸出與實(shí)際輸出誤差修正模型參數(shù)，直至誤差平方和最小，得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)模型^[10]。結(jié)合遺忘因子遞推最小二乘法辨識(shí)電池模型參數(shù)，該方法基于自適應(yīng)濾波理論，可迅速完成更新數(shù)據(jù)擬合及擬合參數(shù)修正。在最優(yōu)結(jié)構(gòu)模型基礎(chǔ)上，重新計(jì)算估計(jì)代價(jià)函數(shù)，得出新的擬合參數(shù)，并循環(huán)優(yōu)化估計(jì)代價(jià)函數(shù)，直至新估計(jì)的代價(jià)函數(shù)降到最小^[11]。同時(shí)，該方法添加遺忘因子解決數(shù)據(jù)飽和問題，增強(qiáng)算法的跟蹤和修正能力，在時(shí)變系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合，具有計(jì)算量少、效率高、準(zhǔn)確靈活、遞推更新等優(yōu)勢(shì)，是一種廣泛使用的優(yōu)化算法^[12]。

1.2.1 最小二乘法結(jié)構(gòu)

二階RC等效模型微分方程動(dòng)力學(xué)特性^[10]為：

U_L=U_OC－U₁－U₂－I·R₀，（1）

U₁·=－U₁R₁C₁+IC₁，（2）

U₂·=－U₂R₂C₂+IC₂，（3）

式中：R₀、R₁、R₂分別為R0、R1、R2的電阻，C₁、C₂分別為C1、C2的電容。

對(duì)等效模型微分方程進(jìn)行離散化，得到復(fù)數(shù)域s對(duì)應(yīng)的拉普拉斯方程：

U_OC（s）－U_L（s）=I（s）（R₀+R₁1+R₁C₁（s）+R₂1+R₂C₂（s））。（4）

不考慮電容的影響，將時(shí)間常數(shù)τ₁=R₁C₁，τ₂=R₂C₂代入式（4），可得：

τ₁τ₂U_OC（s）s²+τ₁+τ₂U_OC（s）s+U_OC（s）=τ₁τ₂R₀I（s）s²+R₀τ₁+τ₂+R₁τ₂+R₂τ₁I（s）s+

R₀+R₁+R₂I（s）+τ₁τ₂U_L（s）s²+τ₁+τ₂U_L（s）s+U_L（s）。（5）

令a=τ₁τ₂，b=τ₁+τ₂，c=R₀+R₁+R₂，d=R₀τ₁+τ₂+R₁τ₂+R₂τ₁，當(dāng)循環(huán)次數(shù)為k，采樣時(shí)間為t′時(shí)，將復(fù)數(shù)域s進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對(duì)式（5）離散化處理，可得：

U_OC（k）－U_L（k）=θ₁U_OC（k－1）－U_L（k－1）+θ₂U_OC（k－2）－U_L（k－2）+

θ₃I（k）+θ₄I（k－1）+θ₅I（k－2），（6）

其中，θ₁=－bt′－2at′²+bt′+a，θ₂=at′²+bt′+a，θ₃=ct′²+dt′+aR₀t′²+bt′+a，θ₄=－dt′－2aR₀t′²+bt′+a，θ₅=aR₀t′²+bt′+a。

θ=θ₁θ₂θ₃θ₄θ₅^T為直接辨識(shí)參數(shù)，依次推導(dǎo)電路模型參數(shù)為R₀=θ₅θ₂，R₁=cτ₁+R₀－dτ₁－τ₂，R₂=c－R₁－R₀，C₁=τ₁R₁，C₂=τ₂R₂。

1.2.2 參數(shù)識(shí)別

采用遺忘因子遞推最小二乘法，系統(tǒng)在不同的循環(huán)次數(shù)及運(yùn)行時(shí)間下對(duì)應(yīng)的狀態(tài)^[13]為：

θ^（k+1）=θ^（k）+K（k+1）（y（k+1）－φ_t（k+1）θ^（k））

K（k+1）=P（k）φ（k+1）/（λ+φ_t（k+1）P（k）φ（k+1））P（k+1）=（λ－K（k+1）φ_t（k+1））P（k）/λ，（7）

式中：y為系統(tǒng)輸出；K為增益矩陣；t為運(yùn)行時(shí)間；θ^為最佳估計(jì)系數(shù)矩陣；φ_t為θ對(duì)應(yīng)的估計(jì)向量；P為輸入向量；λ為遺忘因子，表示對(duì)舊數(shù)據(jù)的遺忘速度，λ=1為沒有遺忘，λ=0為全部遺忘，通常λ取0.95～1或0.98～1^[10]。

采用遞推最小二乘法識(shí)別二階RC模型參數(shù)如圖2所示。

由圖2可知：采用最小二乘法辨識(shí)的參數(shù)更接近電池運(yùn)行狀態(tài)；電化學(xué)極化電阻、濃差極化電阻在前200 s和1 500 s左右變化較大，后期逐漸穩(wěn)定收斂，電化學(xué)極化電阻在2 500 s有部分波動(dòng)；2個(gè)電阻器總體穩(wěn)定性較好；電化學(xué)極化電容波動(dòng)幅度大于濃差極化電容波動(dòng)幅度；開路電壓波動(dòng)較小，且電壓逐漸降低；電池內(nèi)阻波動(dòng)范圍較大，在第1 000 秒左右出現(xiàn)最小電阻。分析原因?yàn)殚_始測(cè)量時(shí)，電化學(xué)極化電阻、濃差極化電阻及對(duì)應(yīng)的電容與真實(shí)值相差較大，導(dǎo)致前期波動(dòng)較大，后期由于系統(tǒng)逐漸修正，參數(shù)逐漸趨于平穩(wěn)。

2 不同方法的SOC估值對(duì)比

2.1 KF與EKF算法

KF利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，根據(jù)系統(tǒng)觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，觀測(cè)數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中噪聲和干擾影響。

EKF算法通過泰勒級(jí)數(shù)展開式，將非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，并使用KF算法對(duì)等效線性系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，彌補(bǔ)了卡爾曼濾波算法的局限性，更好估計(jì)電池SOC。使用EKF計(jì)算第k次循環(huán)二階RC模型的空間狀態(tài)方程^[14]為：

X_k+1=1000exp（－t′/τ₁）000exp（－t′/τ₂）X_k+－t′/Q_kt′/C₁t′/C₂I_k+ω_k，（8）

式中：η為效率，Q_k為第k次循環(huán)時(shí)的電池容量，ω_k為第k次循環(huán)時(shí)過程噪聲產(chǎn)生的測(cè)量誤差矩陣。

將狀態(tài)方程進(jìn)行矩陣離散化后，得觀測(cè)方程

U_L，k=U_OC，k－IR₀－U_1，k－U_2，k+U_v，k，（9）

式中U_v，k為觀測(cè)噪聲產(chǎn)生的測(cè)量誤差。

2.2 開路電壓法估計(jì)SOC

開路電壓與電池SOC估值Q_SOC呈一定關(guān)系，選取電動(dòng)汽車常見的DST工況估計(jì)SOC。根據(jù)文獻(xiàn)[15]通用測(cè)試部分，在20 ℃環(huán)境中對(duì)額定容量為20 A·h的ICR18650鋰離子電池進(jìn)行開路電壓法測(cè)量，采樣周期為2 s，以1 A恒流放電，電池靜置30 min 后，記錄開路電壓和對(duì)應(yīng)的Q_SOC，電壓每下降0.02 V，電池靜置30 min，直至開路電壓到達(dá)放電截止電壓，放電電壓隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示。采用MATLAB 的cftool工具擬合采樣數(shù)據(jù)，開路電壓與Q_SOC特征曲線如圖4所示。

由圖4可知：經(jīng)過濾波處理后的曲線精準(zhǔn)且有較好的收斂性。結(jié)合開路電壓與Q_SOC特征曲線關(guān)系，Q_SOC與開路電壓擬合多項(xiàng)式為：

U_OC=1 979Q⁹_SOC－9 369Q⁸_SOC+18 770Q⁷_SOC－20 730Q⁶_SOC+13 780Q⁵_SOC－5 654Q⁴_SOC+1 416Q³_SOC－207.5Q²_SOC+16.62Q_SOC+3.06。（10）

2.3 SOC估值對(duì)比

基于最小二乘法識(shí)別的二階RC等效電路模型參數(shù)及式（10），結(jié)合KF、EKF算法計(jì)算Q_SOC，并與開路電壓法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算SOC估計(jì)誤差（EKF或KF計(jì)算Q_SOC與開路電壓法計(jì)算結(jié)果的差）。DST工況下，EKF和KF算法對(duì)應(yīng)的SOC估值及SOC估計(jì)誤差曲線如圖5所示。

由圖5可知：DST工況下，采用EKF算法與開路電壓法的曲線基本擬合，KF算法與開路電壓法的曲線在前8 000 s擬合較好，之后擬合度降低；不考慮初始測(cè)量的系統(tǒng)誤差，采用EKF算法計(jì)算SOC估值，誤差為-0.007～0.013；采用KF算法計(jì)算SOC估值，誤差為0.005～0.017。

DST工況下，2種算法均滿足文獻(xiàn)[16]規(guī)定的SOC誤差小于5%的要求；采用EFK算法，最大SOC估計(jì)誤差和誤差區(qū)間均小于KF算法，具有較好的準(zhǔn)確性和較高的精度。

3 結(jié)論

1）采用二階RC等效模型計(jì)算鋰離子電池等效電路，可準(zhǔn)確模擬電池在各種工況下的特性，保證計(jì)算精度，不增加計(jì)算的復(fù)雜程度。

2）采用遺忘因子遞推最小二乘法識(shí)別模型參數(shù)，更接近電池實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。

3）開路電壓與SOC估值之間有一定的函數(shù)關(guān)系，可通過開路電壓法確定擬合多項(xiàng)式。

4）DST工況下，采用EKF算法估算SOC的精度更高，收斂性更好。

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SOC estimation of power batteries for an electric vehicle

TANG Xu， YE Jinlu^*， XIAO Jintao， TANG daokuan， SONG Haitao， TAN Xianlin

School of Mechanical Engineering， Guangxi University， Nanning 530004， China

Abstract：In order to accurately evaluate the state of charge （SOC） of lithium-ion batteries for an electric vehicle， a second-order resistance capacitance equivalent circuit model is constructed. The parameters of the equivalent circuit model are identified using recursive least squares method， and the functional relationship between the open circuit voltage and SOC under dynamic stress test （DST） conditions is obtained through open circuit voltage discharge test. The SOC is estimated by open circuit voltage method， Kalman filter method， and extended Kalman filter method， and their errors are compared and analyzed under DST condition. The results show that the Kalman filter and extended Kalman filter algorithms are in good agreement with the SOC estimation results of the open circuit voltage method. The maximum SOC estimation error of the Kalman filtering method is 0.017， and the maximum SOC estimation error of the extended Kalman filtering method is 0.013， both of which meet the standard requirement of SOC estimation error not exceeding 0.050， however， the accuracy of the extended Kalman filtering algorithm is higher.

Keywords：electric vehicle; lithium ion battery; SOC estimation; error

（責(zé)任編輯：胡曉燕）