一種基于AK-MCS-K的失效概率函數(shù)估計(jì)方法

宋海征 周長聰 李磊 林華剛 岳珠峰

摘要：

針對可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中失效概率函數(shù)求解復(fù)雜、計(jì)算量大等問題，提出一種求解失效概率函數(shù)的高效方法。所提方法的基本思路是利用自主學(xué)習(xí)Kriging方法構(gòu)造輸入變量全空間在失效邊界處的局部代理模型，進(jìn)而通過該局部代理模型結(jié)合Monte Carlo模擬法計(jì)算在指定分布參數(shù)樣本下結(jié)構(gòu)的失效概率，然后基于Kriging方法擬合分布參數(shù)樣本點(diǎn)與對應(yīng)結(jié)構(gòu)失效概率之間的函數(shù)關(guān)系，最終建立用Kriging模型表達(dá)的失效概率函數(shù)的隱式函數(shù)。為了檢驗(yàn)所提方法的精度和效率，給出了兩個算例，對比了所提方法與已有的求解失效概率函數(shù)方法的計(jì)算結(jié)果。算例結(jié)果表明，所提方法適用于求解復(fù)雜的功能函數(shù)問題，并在滿足精度要求的基礎(chǔ)上顯著降低了計(jì)算量。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)可靠性；失效概率函數(shù)；自主學(xué)習(xí)Kriging方法；代理模型

中圖分類號：TB114.3

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.05.003

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

An Estimation Method of Failure Probability Function Based on AK-MCS-K

SONG Haizheng1，2? ZHOU Changcong1，2? LI Lei1，2? LIN Huagang1，2? YUE Zhufeng1，2

1.School of Mechanics，Civil Engineering and Architecture，Northwestern Polytechnical University，

Xian，710072

2.State Key Laboratory of Clean and Efficient Turbomachinery Power Equipment，

Northwestern Polytechnical University，Xian，710072

Abstract： An efficient method for solving the failure probability function was proposed to address the difficulties of solving the failure probability function in reliability optimization design， such as complexity and large amount of computation. The basic idea of the proposed method was to utilize the adaptive Kriging method to construct a local surrogate model of the full space of input variables at the failure boundary. The local surrogate model was then combined with the Monte Carlo simulation method to calculate the failure probability of the structures under the specified distribution parameter samples. The functional relationship between the sample points of the distribution parameters and the structural failure probability was then fitted by the Kriging method. Finalization of the implicit function of the failure probability function expressed in terms of the Kriging model. In order to test the accuracy and efficiency of the proposed method， two examples were given to compare the computational results of the proposed method with those of the existing methods for solving failure probability functions. The results of examples show that the proposed method is suitable for solving complicated functional function problems and significantly reduces the amount of computation while satisfying the accuracy requirements.

Key words： structural reliability; failure probability function; adaptive Kriging method; surrogate model

收稿日期：20231229

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金（20220015053005） ，陜西省自然科學(xué)基金（2021JQ-072）

0? 引言

工程實(shí)際中往往存在著大量由于加工制造誤差、外部載荷差異以及人為因素而導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)的不確定性，基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)逐漸成為一種有效的分析手段［1-2］。工程中，一般輸入隨機(jī)變量的分布形式是已知的，但其分布參數(shù)通常是未知的。結(jié)構(gòu)失效概率與分布參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式被稱為失效概率函數(shù)［3-5］。在可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常需要計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同分布參數(shù)下的結(jié)構(gòu)失效概率值。求得結(jié)構(gòu)失效概率函數(shù)后，可將結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一般確定性優(yōu)化問題，從而顯著提高優(yōu)化的效率［6-8］。

然而，失效概率函數(shù)的求解是非常不易的。最直接的策略是在不同的分布參數(shù)值下進(jìn)行多次可靠性分析，得到逐點(diǎn)的失效概率，該方法被稱為雙循環(huán)Monte Carlo模擬（double-loop Monte Carlo simulation，DLMCS）法［3］。然而，在復(fù)雜的工程背景下，DLMCS需要重復(fù)多次對功能函數(shù)進(jìn)行評估，其計(jì)算量往往是不能接受的，一般將DLMCS法計(jì)算結(jié)果作為測試其他新方法的參考。AU［9］提出了一種單循環(huán)Monte Carlo模擬（single-loop Monte Carlo simulation，SLMCS）法，基于貝葉斯規(guī)則和擴(kuò)展可靠性思想，將失效概率函數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為擴(kuò)展失效概率和分布參數(shù)的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)的求解問題，提高了失效概率函數(shù)的求解效率。CHING等［10］對AU［9］提出的方法進(jìn)行了擴(kuò)展，核心思想是利用最大熵原理估計(jì)設(shè)計(jì)參數(shù)的后驗(yàn)分布，進(jìn)而估計(jì)失效概率函數(shù)。YUAN［4］提出了一種“加權(quán)方法”，其基本思想是用一次可靠性分析中所產(chǎn)生樣本的顯示函數(shù)表示為失效概率函數(shù)。SONG等［11］提出了一種基于一次線抽樣信息就能得到失效概率函數(shù)的局部近似方法。此外，基于代理模型的方法也被用于失效概率函數(shù)的估計(jì)，該類方法的基本思想是在設(shè)計(jì)參數(shù)空間中選擇一些預(yù)定義的插值點(diǎn)，并利用代理模型構(gòu)建近似值，從而逼近失效概率函數(shù)［12］。KAYMAZ［13］提出采用Kriging法、支持向量機(jī)法等去逼近失效概率函數(shù)。JENSEN［14］提出采用線性多項(xiàng)式逼近失效概率函數(shù)的對數(shù)，并進(jìn)一步求解失效概率函數(shù)。LING等［3］基于貝葉斯規(guī)則和擴(kuò)展可靠性理論提出一種自主學(xué)習(xí)Kriging結(jié)合Monte Carlo模擬（MCS）法估計(jì)失效概率函數(shù)的方法。

一種基于AK-MCS-K的失效概率函數(shù)估計(jì)方法——宋海征? 周長聰? 李? 磊等

中國機(jī)械工程 第35卷 第5期 2024年5月

為了解決已有方法存在的計(jì)算量較大、計(jì)算效率低下及計(jì)算精度較差等問題，本文提出了一種基于自主學(xué)習(xí)Kriging結(jié)合Monte Carlo模擬法和Kriging（adaptive Kriging and Monte Carlo simulation and Kriging， AK-MCS-K）的失效概率函數(shù)估計(jì)法。該方法首先在輸入變量全空間內(nèi)通過自主學(xué)習(xí)Kriging方法構(gòu)造靠近失效域邊界處的局部Kriging模型，然后將該模型作為功能函數(shù)的粗略估計(jì)并結(jié)合Monte Carlo 模擬法計(jì)算分布參數(shù)樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)失效概率，最后利用Kriging法擬合分布參數(shù)樣本點(diǎn)與結(jié)構(gòu)失效概率之間的函數(shù)關(guān)系，此時將得到的Kriging模型視為失效概率函數(shù)的隱式表達(dá)。

1? 失效概率函數(shù)

1.1? 失效概率函數(shù)的表達(dá)

在工程設(shè)計(jì)問題中，假定某結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為Y=g（X），其n維輸入變量表示為X=（X1，X2，…，Xn）T，通常輸入變量的分布形式已知，但是其分布參數(shù)（如均值和方差）需要設(shè)計(jì)。假設(shè)n維輸入變量的分布參數(shù)為θ=（θ1，θ2，…，θd）T（d為分布參數(shù)的個數(shù)），考慮θ為不確定性變量。當(dāng)分布參數(shù)θ固定時，其條件聯(lián)合概率密度函數(shù)為fX（x|θ）（x為當(dāng)分布參數(shù)θ取固定值時的樣本，每個樣本均有多維元素），結(jié)構(gòu)的失效域定義為F={x∶g（x）≤0}，此時系統(tǒng)的失效概率可表示為

Pf（θ）=P（F|θ）=∫…∫RnIF（x）fX（x|θ）dx（1）

其中，IF（x）表示失效域內(nèi)指示函數(shù)，當(dāng)x∈F時，IF（x）=1，否則IF（x）=0。可以看到，結(jié)構(gòu)的失效概率隨著分布參數(shù)θ的變化而變化，也即失效概率可看作分布參數(shù)θ的函數(shù)，此時Pf（θ）被認(rèn)為是失效概率函數(shù)。

以失效概率為約束條件的優(yōu)化問題可以表示為

min f（θ）

s.t.Pfi{gi（θ）≤0}≤P*fi? ?i=1，2，…，p1

hj（θ）≤0j=1，2，…，p2

gk（θ）=0k=1，2，…，p3

θL≤θ≤θUθ∈Rn（2）

式（2）被稱為可靠性優(yōu)化問題。其中，θ為未知的分布參數(shù)向量（即優(yōu)化模型中的設(shè)計(jì)變量）；f（θ）表示目標(biāo)函數(shù)；Pfi為第i個失效概率約束，P*fi為第i個失效概率閾值；p1為失效概率約束的個數(shù)；hj、gk分別為確定性的不等式約束和等式約束；p2、p3分別為不等式約束和等式約束的個數(shù)；θL、θU分別為θ的下限和上限。如果在優(yōu)化前求得結(jié)構(gòu)的失效概率函數(shù)Pf（θ），則上述可靠性優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為一般的確定性優(yōu)化問題，這無疑可以顯著提高優(yōu)化的效率。

1.2? 失效概率函數(shù)的求解

1.2.1? DLMCS法

雙循環(huán)Monte Carlo模擬（DLMCS）法是求解失效概率函數(shù)最直接的方法，其基本思想是：首先將輸入變量的分布參數(shù)離散化，然后針對每個分布參數(shù)樣本點(diǎn)求解對應(yīng)的失效概率，最后利用插值法求解結(jié)構(gòu)的失效概率函數(shù)。求解步驟如下：

（1）在分布參數(shù)空間中抽取N個分布參數(shù)樣本。

（2）針對每個樣本點(diǎn)θi（i=1，2，…，N），根據(jù)其條件概率密度函數(shù)fX（x|θi）生成M個輸入變量樣本（x（i）1，x（i）2，…，x（i）M）T，其中，θi為分布參數(shù)θ的一組固定值。

（3）計(jì)算M個輸入變量的功能函數(shù)值g（x（i）j）（i=1，2，…，N;j=1，2，…，M）。

（4）計(jì)算逐點(diǎn)的失效概率函數(shù)估計(jì)值，其表達(dá)式如下：

P^f（θi）=1M∑Mj=1IF（x（i）j）（3）

利用DLMCS法只是得到了失效概率函數(shù)在某些分布參數(shù)樣本點(diǎn)處的離散值，并不是顯示的失效概率函數(shù)表達(dá)式。該方法計(jì)算失效概率函數(shù)的計(jì)算量為NDLMCS=N×M。在實(shí)際工程應(yīng)用中，DLMCS法的計(jì)算量很大，往往難以接受，但其計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，通常用作檢驗(yàn)其他新方法的標(biāo)準(zhǔn)解。

1.2.2? SLMCS法

單循環(huán)Monte Carlo模擬（SLMCS）法的出現(xiàn)是為了解決DLMCS法計(jì)算量過大的問題的?；谪惾~斯規(guī)則，SLMCS法將失效概率函數(shù)Pf（θ）轉(zhuǎn)換成如下式所示：

Pf（θ）=Pθ（θ|F（x，θ））×P{F（x，θ）}fΘ（θ）（4）

其中，F(xiàn)（x，θ）表示當(dāng)x和θ同時為隨機(jī)變量時組成的空間（x，θ）上的失效域；fΘ（θ）表示分布參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；Pθ（θ|F（x，θ））表示分布參數(shù)θ的條件概率密度函數(shù)；P{F（x，θ）}表示當(dāng)x和θ同時為隨機(jī)變量時的擴(kuò)展失效概率，可由下式表示為

P{F（x，θ）}=∫F（x，θ）fX（x|θ）dxdθ（5）

由式（4）可知，通過求得Pθ（θ|F（x，θ））和P{F（x，θ）}后，很容易得到失效概率函數(shù)Pf（θ）?；谪惾~斯規(guī)則和擴(kuò)展可靠性思想，求解失效概率函數(shù)Pf（θ）的計(jì)算量僅存在于計(jì)算擴(kuò)展失效概率P{F（x，θ）}中，因此SLMCS法能夠顯著降低失效概率函數(shù)求解時的計(jì)算量。但在工程實(shí)際中，SLMCS法仍然需要多次調(diào)用功能函數(shù)以保證擴(kuò)展失效概率P{F（x，θ）}的準(zhǔn)確性，在復(fù)雜工程問題上，其計(jì)算量依然很難接受。

針對SLMCS方法計(jì)算量依然較大的問題，采用自主學(xué)習(xí)Kriging結(jié)合Monte Carlo模擬法（AK-MCS）對其進(jìn)行了改進(jìn)。AK-MCS法通過采用自主學(xué)習(xí)Kriging法構(gòu)造一個收斂的Kriging模型，替代SLMCS法中分布參數(shù)的離散過程，減少擴(kuò)展失效概率的計(jì)算量，并最終降低了失效概率函數(shù)求解時的計(jì)算量。由于構(gòu)造Kriging模型所需要的樣本點(diǎn)數(shù)目遠(yuǎn)小于樣本池中樣本的數(shù)目，因此AK-MCS方法的高效性可以得到保證。

2? 基于AK-MCS-K的失效概率函數(shù)估計(jì)

2.1? 基本原理

本文提出了一種基于AK-MCS-K方法估計(jì)失效概率函數(shù)的新方法。利用Monte Carlo模擬法構(gòu)造分布參數(shù)的大容量樣本池S（θ），針對S（θ）中每個分布參數(shù)樣本進(jìn)行抽樣，進(jìn)而構(gòu)造輸入變量的全空間樣本池S。在諸多代理模型中，Kriging模型是一種估計(jì)方差最小的無偏估計(jì)模型，具有全局近似與局部隨機(jī)誤差相結(jié)合的特點(diǎn)，因此本文利用樣本池S中的部分樣本構(gòu)造收斂的Kriging模型。Kriging近似表達(dá)為多項(xiàng)式與高斯過程之和，其表達(dá)式如下：

gk（X）=pT（X）β+z（X）（6）

其中，gk（X）表示未知的Kriging模型；pT（X）為回歸函數(shù)向量；β為未知系數(shù)向量；z（X）表示高斯過程，其均值為零，協(xié)方差為

Cov（z（xi），z（xj））=σ2R［R（xi，xj）］（7）

其中，σ2為過程方差；R為相關(guān)矩陣；R（xi，xj）表示任意兩個樣本點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)，i，j=1，2，…，m，m為訓(xùn)練樣本點(diǎn)個數(shù)，其中高斯函數(shù)為常用的相關(guān)函數(shù)，如下式所示：

R（xi，xj）=∏nk=1exp（－θk（x（k）i－x（k）j）2）（8）

其中，n為輸入變量的維數(shù)；θk（k=1，2，…n）為未知的相關(guān)參數(shù)；x（k）i、x（k）j分別為xi和xj的第k個元素。

超參數(shù){β，σ2，θ}的估計(jì)表示為{β^，σ^2，θ^}，可通過最大似然估計(jì)獲得，因此對于全空間樣本池S中的每一個樣本x，其均值和方差分別由下式計(jì)算：

g^k（x）=pT（x）β^+rT（x）R－1（g－Pβ^）（9）

σgk（x）=σ^2［1－rT（x）R－1r（x）+（r（x）R－1P－

p（x））T（PTR－1P）－1（r（x）R－1P－p（x））］（10）

rT（x）=（R（x，x1），R（x，x2），…，R（x，xm））T

其中，rT（x）為x與訓(xùn)練樣本點(diǎn)之間的相關(guān)函數(shù)向量；g為訓(xùn)練樣本點(diǎn)的響應(yīng)值組成的列向量；P為單位列向量。

相對于其他代理模型，Kriging法一個顯著的優(yōu)勢是在給出預(yù)測值的同時能夠給出預(yù)測的方差，因此本文建立了一種自主學(xué)習(xí)的Kriging模型。首先通過少量的訓(xùn)練樣本集訓(xùn)練粗糙的模型，然后將剩余樣本作為候選樣本集，通過自主學(xué)習(xí)函數(shù)選擇候選樣本集中符合要求的樣本點(diǎn)加入到訓(xùn)練樣本集中，最后更新Kriging模型，直到模型精度達(dá)到要求。

失效概率的計(jì)算過程中，判斷極限狀態(tài)函數(shù)的正負(fù)極為重要。準(zhǔn)確計(jì)算失效概率的關(guān)鍵是利用代理模型精確逼近失效面，即g（x）=0。本文的自主學(xué)習(xí)Kriging法中，在候選樣本集中篩選樣本點(diǎn)時需滿足以下條件：到失效面的距離越近，符號誤判的風(fēng)險越大，即要求|g^k（x）|較小或σgk（x）較大，或者兩者均較大。在本文中采用了U學(xué)習(xí)函數(shù)作為自主學(xué)習(xí)Kriging法的學(xué)習(xí)函數(shù)，如下式所示：

U（x）=|g^k（x）σgk（x）|（11）

U學(xué)習(xí)函數(shù)綜合考慮了Kriging模型的預(yù)測值到失效面的距離和預(yù)測值的標(biāo)準(zhǔn)差。由式（11）可看出應(yīng)該選擇使U學(xué)習(xí)函數(shù)值最小的樣本點(diǎn)及對應(yīng)的真實(shí)函數(shù)值加入到訓(xùn)練樣本集中，以更新當(dāng)前Kriging模型。ECHARD等［15］提出，通常情況下可選擇min（U（x））≥2作為Kriging模型自主學(xué)習(xí)更新過程的收斂條件。

利用樣本池S中的部分樣本構(gòu)造收斂的Kriging模型，命名為Kriging-Ⅰ。以Kriging-Ⅰ替代原功能函數(shù)判斷極限狀態(tài)函數(shù)的正負(fù)。在Kriging-Ⅱ的構(gòu)建中，首先在樣本池S（θ）中抽取Nθ個分布參數(shù)樣本，利用Kriging-Ⅰ計(jì)算Nθ個分布參數(shù)樣本處的結(jié)構(gòu)失效概率，得到Nθ組（θi，P^fi）（i=1，2，…，Nθ），然后利用該Nθ組數(shù)據(jù)構(gòu)造符合精度要求的Kriging-Ⅱ。Kriging-Ⅱ即為結(jié)構(gòu)失效概率函數(shù)的隱式表達(dá)式。

由于構(gòu)造Kriging-Ⅰ時所需要的訓(xùn)練樣本點(diǎn)的數(shù)目遠(yuǎn)小于樣本池中的樣本數(shù)目，構(gòu)造Kriging-Ⅱ時的訓(xùn)練樣本點(diǎn)的響應(yīng)僅是Kriging-Ⅰ模型的仿真結(jié)果，因此AK-MCS-K法的高效性可以保證。

2.2? 基本步驟

基于AK-MCS-K法估計(jì)失效概率函數(shù)的計(jì)算步驟如下：

（1）給定每個分布參數(shù)的概率密度函數(shù)fΘs（θs）（s=1，2，…，d）。理論上fΘs（θs）的選擇不影響失效概率函數(shù)Pf（θ）的計(jì)算結(jié)果，因此可以假設(shè)θ服從某一簡單分布，在本文中假定其服從均勻分布。

（2）由聯(lián)合概率密度函數(shù)fΘ（θ）生成nθ個分布參數(shù)樣本（θ1，θ2，…，θnθ）T。

（3）針對每個分布參數(shù)θi，根據(jù)fX（x|θi）生成n個輸入變量xij（j=1，2，…，n），并組合成輸入變量全空間樣本池S={x1，x2，…，xnθ}，將其用矩陣形式可表示為

S=x1x2xnθ=x11x12…x1nx21x22…x2nxnθ1xnθ2…xnθn（12）

（4）從候選樣本池S中選出輸入變量X的m個初始訓(xùn)練樣本Xt=（xt1，xt2，…，xtm）T，計(jì)算相應(yīng)的功能函數(shù)值gt={g（xt1），g（xt2），…，g（xtm）}。

（5）由（Xt，gt）構(gòu)造（或更新）Kriging-Ⅰ模型，記為gk1（X）。

（6）利用gk1（X）對候選樣本池S中所有樣本的功能函數(shù)值進(jìn)行預(yù)測，得到預(yù)測值{gk1（x1），gk1（x2），…，gk1（xnθn）}和標(biāo)準(zhǔn)差{σgk1（x1），σgk1（x2），…，σgk1（xnθn）}

（7）計(jì)算樣本池S中所有樣本點(diǎn)的U學(xué)習(xí)函數(shù)值，即

Uxj=|gk1（xj）|σgk1（xj）（13）

（8）滿足停止條件minj=1，2，…，nθnUxj≥2時停止更新Kriging-Ⅰ模型，執(zhí)行步驟（9）；否則，加入新的訓(xùn)練樣本點(diǎn)xu=argminj=1，2，…，nθnU（xj），令Xt←Xt∪xu，gt←gt∪g（xu），m←m+1，并返回步驟（5）。

（9）由聯(lián)合概率密度函數(shù)fΘ（θ）生成Nθ個分布參數(shù)樣本（θ1，θ2，…，θNθ）T，并利用步驟（8）中的Kriging-Ⅰ模型替代原功能函數(shù)并結(jié)合MCS法進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算每個分布參數(shù)樣本點(diǎn)θi處的結(jié)構(gòu)失效概率PfΘ（θi）。

（10）根據(jù)步驟（9）生成的Nθ組（θi，PfΘ（θi））（i=1，2，…，N）構(gòu)造符合要求的Kriging-Ⅱ模型，記為gk2。此時，gk2即為失效概率函數(shù)fΘ（θ）的隱式表達(dá)式。

3? 算例

本節(jié)中，采用極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度、隨機(jī)變量的維度和復(fù)雜程度不同的結(jié)構(gòu)作為算例進(jìn)行失效概率函數(shù)的估計(jì)。為驗(yàn)證AK-MCS-K的精度及效率，分別采用本文方法和DLMCS、SLMCS、AK-MCS法求解失效概率函數(shù)。SLMCS法和AK-MCS法結(jié)合一階最大熵（first-order maximum entropy，F(xiàn)-MaxEnt）法擬合失效概率函數(shù)，以下分別記為SLMCS+F-MaxEnt和AK-MCS+F-MaxEnt。將DLMCS法的計(jì)算結(jié)果視為精確解。本文選取的算例均假設(shè)均值是變化的，即將均值作為未知的分布參數(shù)。為對比各種方法的優(yōu)劣，本文定義了逐點(diǎn)相對誤差（point-by-point relative error，PPRE）EPPRE和平均相對誤差（mean relative error，MRE）EMRE，其表達(dá)式分別如下：

EPPRE=P^f（θj）－Pf（θj）Pf（θj）? j=1，2，…，M（14）

EMRE=1M∑Mj=1P^f（θj）－Pf（θj）Pf（θj）（15）

其中，M為計(jì)算EPPRE和EMRE時分布參數(shù)θ中采樣點(diǎn)的個數(shù)； Pf（θj）表示將分布參數(shù)θ固定在θj時用DLMCS法估計(jì)的失效概率；P^f（θj）表示將分布參數(shù)θ固定在θj時用其他方法估計(jì)的失效概率。逐點(diǎn)相對誤差EPPRE和平均相對誤差EMRE越小時，表明計(jì)算結(jié)果越精確。

3.1? 高非線性振子系統(tǒng)

高非線性振子系統(tǒng)是一個六變量算例，該系統(tǒng)如圖1所示。

該系統(tǒng)的功能函數(shù)為

g（c1，c2，mo，r，t1，F(xiàn)a）=3r－2Famoω20sin（ωot12）（16）

ωo=（c1+c2）/mo

式中，c1、c2為兩個彈簧的剛度；mo為振子的質(zhì)量；r為初始位置；t1、Fa分別為沖擊時長和沖擊幅值；ωo為該振子系統(tǒng)的頻率。

上述6個輸入變量均服從正態(tài)分布，且變量間相互獨(dú)立，其分布參數(shù)信息如表1所示。

（1）假設(shè)剛度的均值μc1為設(shè)計(jì)變量（即θ1=μc1），其中μc1∈［0.8，1.2］，μc2=0.1。首先從分布參數(shù)空間中均勻抽取10個采樣點(diǎn)，利用DLMCS法計(jì)算逐點(diǎn)的失效概率，每個采樣點(diǎn)處生成105個樣本進(jìn)行失效概率的計(jì)算，此時DLMCS法的計(jì)算量為10×105=106。隨后利用SLMCS+F-MaxEnt法生成5×104個分布參數(shù)樣本估計(jì)失效概率函數(shù)，然后利用AK-MCS+F-MaxEnt法和AK-MCS-K法對失效概率函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。其中，AF-MCS+F-MaxEnt法中候選樣本池大小為5×104，初始訓(xùn)練點(diǎn)為50個；AK-MCS-K法的樣本池大小為105，初始訓(xùn)練樣本為50個。利用四種方法求得的失效概率函數(shù)如圖2所示，分布參數(shù)采樣點(diǎn)處誤差如圖3所示。采樣點(diǎn)處失效概率均值、平均相對誤差和功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)結(jié)果如表2所示。

由圖2和圖3可看出，相對于SLMCS+F-MaxEnt法和AK-MCS+F-MaxEnt法，AK-MCS-K法在求解失效概率函數(shù)時誤差更小，對失效概率函數(shù)的擬合效果更佳。從表2中計(jì)算結(jié)果可看出，AK-MCS-K法和AK-MCS+F-MaxEnt法的計(jì)算量相當(dāng)，相對于DLMCS法和SLMCS+F-MaxEnt法均顯著降低了計(jì)算量。

（2）假設(shè)剛度的均值μc1和μc2均為設(shè)計(jì)參數(shù)（即θ1=μc1，θ2=μc2），其中μc1∈［0.8，1.2］，μc1∈［0.08，0.12］。首先在兩個設(shè)計(jì)參數(shù)空間中分別抽取10個采樣點(diǎn)，則初始采樣點(diǎn)為N=10×10=100個，利用DLMCS法計(jì)算了逐點(diǎn)的失效概率。對于每個采樣點(diǎn)，生成了105個樣本點(diǎn)進(jìn)行失效概率的計(jì)算，此時DLMCS法的總計(jì)算量為100×105=107。然后利用SLMCS+F-MaxEnt法對失效概率函數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，生成的總樣本量為5×104。最后利用AF-MCS+F-MaxEnt法和AK-MCS-K法對失效概率函數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。其中，AK-MCS+F-MaxEnt法中候選樣本池大小為5×104，AK-MCS-K法的樣本池大小為106，初始訓(xùn)練樣本均為50個。利用DLMCS法和本文所提出的AK-MCS-K法求得的失效概率函數(shù)分別如圖4和圖5所示，利用四種方法在采樣點(diǎn)處失效概率均值、平均相對誤差和功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

由圖4和圖5的對比可看出，AK-MCS-K法對失效概率函數(shù)的擬合情況較好，從表3中的計(jì)算結(jié)果可以直觀看出雖然AK-MCS-K法相比于

DLMCS3.4129×10-2106

SLMCS+F-MaxEnt3.3596×10-26.3654×10-45×104

AK-MCS+F-MaxEnt3.4250×10-25.8080×10-420+52

AK-MCS-K3.3699×10-28.7223×10-420+49

AK-MCS+F-MaxEnt法和SLMCS+F-MaxEnt法的誤差稍大，但在所能接受的范圍內(nèi)，且AK-MCS-K法和AK-MCS+F-MaxEnt法均在滿足精度要求的同時顯著降低了計(jì)算量。

綜上，根據(jù)高非線性振子系統(tǒng)算例結(jié)果可看出，AK-MCS-K法擬合失效概率函數(shù)時誤差較小，且顯著降低了計(jì)算量。

3.2? 十桿桁架結(jié)構(gòu)

十桿鋁桁架結(jié)構(gòu)如圖6所示，所有水平桿和豎直桿的長度為L，點(diǎn)載荷分別為F1、F2、F3，每根桿的彈性模量均為E，截面面積為Ai（i=1，2，…，10），15個輸入變量服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立。輸入變量的分布參數(shù)信息如表4所示，其有限元分析結(jié)果如圖7所示。根據(jù)有限元的分析結(jié)果，該結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可定義為

g=0.0032－|Δ2|（17）

其中，Δ2=Δ（L，Ai，E，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3）（i=1，2，…，10）為節(jié)點(diǎn)2處的位移（單位為m），該位移是輸入變量的隱式函數(shù)，可以通過有限元模擬獲得。

（1）假設(shè)長度L的均值為設(shè)計(jì)參數(shù)（即θ1=μL），且μL∈［0.8，1.0］。橫截面積A1的均值為μA1=0.001。四種方法求得的失效概率函數(shù)如圖8所示，分布參數(shù)采樣點(diǎn)處誤差如圖9所示，采樣點(diǎn)處失效概率均值、均值相對誤差和功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)如表5所示。由圖8和圖9可看出AK-MCS-K法擬合失效概率函數(shù)的誤差較小，擬合效果更佳。從表5中的計(jì)算結(jié)果來看，AK-MCS-K法和AK-MCS+F-MaxEnt法的計(jì)算量相當(dāng)，但擬合誤差相比AK-MCS+F-MaxEnt法和SLMCS+

F-MaxEnt法都較小，表明AK-MCS-K法具有優(yōu)越性。

（2）假設(shè)長度L的均值μL和橫截面積A1的均值μA1均為設(shè)計(jì)參數(shù)（即θ1=μL，θ2=μA1），其中μL∈［0.8，1.0］，μA1∈［0.0005，0.0015］。雙變量情況下DLMCS法和AK-MCS-K法估計(jì)失效概率函數(shù)分別如圖10和圖11所示，四種方法計(jì)算的失效概率函數(shù)結(jié)果如表6所示。由圖10

和圖11可看出，AK-MCS-K法對失效概率函數(shù)的擬合情況較好，從表6中的計(jì)算結(jié)果可直觀看出，AK-MCS-K法相對于SLMCS+F-MaxEnt法和AK-MCS+F-MaxEnt法的誤差均較小，同時AK-MCS-K法與AK-MCS+F-MaxEnt法的計(jì)算量相當(dāng)，這兩種方法均顯著降低了失效概率函數(shù)求解時的計(jì)算量。

綜上，根據(jù)十桿桁架算例結(jié)果可看出，AK-MCS-K法對失效概率函數(shù)的擬合效果更好，且計(jì)算量較小，表明AK-MCS-K法適用于求解復(fù)雜功能函數(shù)的失效概率函數(shù)問題。

4? 結(jié)論

針對可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中失效概率函數(shù)的求解難題，本文提出了一種基于自主學(xué)習(xí)Kriging方法結(jié)合Monte Carlo模擬法（MCS）和Kriging高效求解失效概率函數(shù)的新方法（AK-MCS-K法）。通過自主學(xué)習(xí)Kriging方法在輸入變量全空間內(nèi)擬合失效邊界，并替代原模型判斷極限狀態(tài)函數(shù)的正負(fù)。通過MCS法計(jì)算分布參數(shù)空間中各采樣點(diǎn)的失效概率，最后再次利用Kriging方法進(jìn)行失效概率函數(shù)的擬合。從算例結(jié)果中可以看出，AK-MCS-K法在保證精度的基礎(chǔ)上，其計(jì)算效率相比于DLMCS法和SLMCS+F-MaxEnt法均有大幅提高。AK-MCS-K法在估計(jì)復(fù)雜非線性功能函數(shù)的失效概率函數(shù)時有較好表現(xiàn)，為失效概率函數(shù)的求解提供了新思路，也為可靠性優(yōu)化效率的提升打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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（編輯? 胡佳慧）

作者簡介：

宋海征，男，1996年生，博士研究生。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化、靈敏度分析等。E-mail：haizhengsong@mail.nwpu.edu.cn。

林華剛（通信作者），男，副教授。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動力學(xué)分析、可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。E-mail：huagangl@126.com。