聚焦電表內(nèi)阻的測量

馮占余

電學(xué)實驗題是高考物理試題中的重要部分，是對考生觀察能力、分析能力、動手能力、設(shè)計能力等綜合素質(zhì)進(jìn)行考查的一個必要命題環(huán)節(jié)。電學(xué)實驗涉及的內(nèi)容多，范圍廣。下面就對電學(xué)實驗中的熱點問題之一———電表內(nèi)阻的測量方法進(jìn)行盤點，供同學(xué)們參考。

一、電流表內(nèi)阻的測量

1.半偏法。

基本原理：如圖1 所示，先閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)電阻箱R1 的阻值使電流表G的指針滿偏，再閉合開關(guān)S2，調(diào)節(jié)電阻箱R2 的阻值使電流表G 的指針半偏。在R1?R2 的條件下，可認(rèn)為電流表G 的內(nèi)阻Rg=R2。但因為R2 的并入，電路中的總電阻減小，導(dǎo)致電路中的總電流增大，所以當(dāng)流經(jīng)電流表G 的電流為Ig/2 時，有Ig/2 +IR2 >Ig，即IR2>Ig/2，根據(jù)并聯(lián)電路知識可知，必有R2

例1 某同學(xué)欲將一個量程為0～1 mA 的毫安表A 改裝成量程為0～5 V 的電壓表。該同學(xué)先用如圖2所示的電路測量毫安表A 的內(nèi)阻，實驗步驟如下：A.將滑動變阻器的阻值調(diào)到最大，斷開開關(guān)S2，閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)滑動變阻器的阻值，使毫安表A的指針滿偏;B.閉合開關(guān)S2，保持滑動變阻器的阻值不變，調(diào)節(jié)電阻箱R 的阻值，使毫安表A 的指針半偏;C.記下電阻箱R 的示數(shù)為60.0 Ω。

（1）毫安表A 內(nèi)阻的測量值為_____Ω（結(jié)果保留3位有效數(shù)字），該測量值_____（選填“>”“<”或“=” ）毫安表A 內(nèi)阻的真實值。

（2）若取毫安表A 內(nèi)阻的測量值進(jìn)行計算，為將毫安表A改裝成量程為0～5 V 的電壓表，可將毫安表A_____（選填“串聯(lián)”或“并聯(lián)”）一個阻值為_____Ω 的定值電阻R0。

（3）正確改裝完畢后，該同學(xué)用如圖3 所示的電路對改裝后的電壓表進(jìn)行校正，結(jié)果在滑動變阻器的滑片從左到右滑動的每個位置，改裝后的電壓表示數(shù)總是比同量程的標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示數(shù)_____（選填“偏大”或“偏小”）。

解析：（1）本實驗中用半偏法測量毫安表A 的內(nèi)阻，故毫安表A 內(nèi)阻的測量值等于電阻箱R 的示數(shù)60.0 Ω;該測量值小于毫安表A 內(nèi)阻的真實值。

（2）將毫安表改裝成電壓表，表頭分擔(dān)的最大電壓一定，只能串聯(lián)電阻才能實現(xiàn)分壓，故要串聯(lián)一個定值電阻，使其滿足U=Ig（Rg+R），解得R=4 940 Ω。

（3）毫安表內(nèi)阻的測量值Rg 偏小，導(dǎo)致按照改裝公式計算出的串聯(lián)電阻偏大，因此在實際電路中流過毫安表的電流I 偏小，從而使得改裝后的電壓表測量的電壓出現(xiàn)偏小的情況。

答案：（1）60.0 < （2）串聯(lián) 4 940 （3）偏小

2.等效替代法。

基本原理：如圖4 所示，電流表A 的量程比電流表G 的量程大幾倍，先閉合開關(guān)S和S1，調(diào)節(jié)電阻箱R1 的阻值使電流表A 的指針指向一定值I，再斷開開關(guān)S1，接通開關(guān)S2，調(diào)節(jié)電阻箱R2 的阻值使電流表A的指針仍然指向定值I，則Rg=R2。

例2 為了測量電流表Al 的內(nèi)阻，采用如圖5所示的電路，其中電流表A1 的量程為0～300 μA，內(nèi)阻約為100 Ω（待測）;標(biāo)準(zhǔn)電流表A2的量程為0～200 μA;R1 為電阻箱，阻值范圍為0～999.9 Ω;E 為電源，電動勢為3 V，內(nèi)阻不計;R2 為滑動變阻器，S1 為開關(guān)，S2為單刀雙擲開關(guān)。按電路圖連接好電路后，適當(dāng)調(diào)節(jié)滑動變阻器R2 和電阻箱R1，先將單刀雙擲開關(guān)S2 扳到觸點1，閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)滑動變阻器R2，使兩塊電流表的讀數(shù)均為150 μA，再將單刀雙擲開關(guān)S2 扳到觸點2，調(diào)節(jié)電阻箱R1，使標(biāo)準(zhǔn)電流表A2 的讀數(shù)仍為150 μA，若此時電阻箱R1 各旋鈕的位置如圖6所示。

（1）電流表A1 的內(nèi)阻Rg =_____。

（2）為了保證兩塊電流表的安全使用，限流電阻R3 的阻值應(yīng)選（ ）。

A.100 Ω B.150 Ω

C.10 kΩ D.15 kΩ

（3）滑動變阻器R2 的最大阻值應(yīng)選（ ）。

A.2 kΩ B.5 kΩ

C.200 Ω D.500 Ω

解析：（1）根據(jù)等效替代法的原理得Rg=R1=22.8 Ω。

（2）因為標(biāo)準(zhǔn)電流表A2 的量程為0～200 μA，所以電路中的總電阻至少應(yīng)為R =3 V/200 μA=15 kΩ。因為電阻箱R1 和電流表內(nèi)阻之和最多只有1 000多歐，所以限流電阻R3 的阻值應(yīng)選D。

（3）測量時，電路中的總電阻R =3 V/150 μA=20 kΩ，因此滑動變阻器R2 的最大阻值應(yīng)選B。

答案：（1）22.8 Ω （2）D （3）B

3.伏安法。

基本原理：如圖7 所示，閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)電阻箱R1 的阻值，記下電流表的示數(shù)I，電壓表的示數(shù)U，則Rg=U-IR1/I 。

例3 電流表A 的內(nèi)阻在0.1 Ω～0.2 Ω 之間，現(xiàn)要測量其準(zhǔn)確值，可選用的器材如下：

A.待測電流表A（量程為0～0.6 A）

B.電壓表Vl（量程為0～3 V，內(nèi)阻為2 kΩ）

C.電壓表V2（量程為0～15 V，內(nèi)阻約為10 kΩ）

D.滑動變阻器R1（最大阻值為10 Ω）

E.定值電阻R2（阻值為5 Ω）

F.電源E（電動勢為4 V，內(nèi)阻不計）

G.開關(guān)S及導(dǎo)線若干

（1）電壓表應(yīng)選_____。

（2）畫出實驗電路圖。若測得電壓表的示數(shù)為U，電流表的示數(shù)為I，則電流表A 內(nèi)阻的表達(dá)式為RA=_____。

解析：（1）儀器的選擇。電源的電動勢為4 V，若選擇量程為0～15 V 的電壓表V2，則電壓表的最大示數(shù)不足滿偏的1/3，讀數(shù)誤差較大，因此應(yīng)選量程為0～3 V 的電壓表V1。

（2）電路的設(shè)計。因為有電壓表和電流表，要測電流表的內(nèi)阻，所以首先想到的便是將電壓表直接接在電流表的兩端，根據(jù)歐姆定律求出電流表的內(nèi)阻。但本題中電流表的內(nèi)阻很小，電流表兩端的電壓也很小（最大為0.12 V），即便用量程為0～3 V 的電壓表測量也無法準(zhǔn)確讀數(shù)，因此應(yīng)將阻值為5 Ω 的定值電阻R2 與電流表A 串聯(lián)，這樣根據(jù)歐姆定律算出的電阻便是定值電阻與電流表內(nèi)阻之和，即RA =（U/I）-R2。實驗電路圖如圖8所示。

4.并聯(lián)分流法。

基本原理：如圖9 所示，閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)電阻箱R1 和R2 的阻值，使電流表G 和A 的示數(shù)分別為I1 和I2，根據(jù)并聯(lián)電路知識得I1Rg = （I2 -I1）R2，整理得Rg=（I2-I1）R2/I1 。

例4 實際電流表有內(nèi)阻，可等效為理想電流表與定值電阻的串聯(lián)。測量實際電流表內(nèi)阻r 的電路如圖10所示。供選擇的儀器如下：①待測電流表G1 （量程為0～5 mA，內(nèi)阻約為300 Ω），②電流表G2 （量程為2 mA～10 mA，內(nèi)阻約為100 Ω），③定值電阻R1（阻值為300 Ω），④定值電阻R2 （阻值為10 Ω），⑤滑動變阻器R3（阻值范圍為0～1 000 Ω），⑥滑動變阻器R4 （阻值范圍為0～20 Ω），⑦干電池（電動勢為1.5 V），⑧ 開關(guān)S 及導(dǎo)線若干。

（1）定值電阻應(yīng)選_____，滑動變阻器應(yīng)選_____。（填寫對應(yīng)器材的序號）

（2）補(bǔ)全實驗步驟：① 按電路圖連接電路，_____;②閉合開關(guān)S，移動滑片P 至某一位置，記錄電流表G1 和G2 的讀數(shù)I1、I2;③_____;④以I2 為縱軸，I1 為橫軸，作出相應(yīng)圖像，如圖11所示。

（3）根據(jù)I2-I1 圖像的斜率k 及定值電阻，寫出待測電流表內(nèi)阻的表達(dá)式為_____。

解析： （1）根據(jù)電路連接特點可知，電流表G2 測量的是流過定值電阻和電流表G1 的總電流，若定值電阻選阻值為10 Ω 的R2，則易使流過電流表G2 的總電流超過其滿偏值，故定值電阻應(yīng)選R1;分壓式接法用小阻值的滑動變阻器R4 即可。

（2）在閉合開關(guān)S前，應(yīng)將滑動變阻器的滑片P 移到最左端以保護(hù)儀表;為了減小實驗誤差，應(yīng)多次移動滑片P，記錄多組電流表G1 和G2 的讀數(shù)I1、I2。

（3）根據(jù)歐姆定律得I1r1=（I2-I1）R1，整理得I2 =（R1+r1/R1）I1，即k=R1+r1/R1 ，解得r1=（k-1）R1。

答案：（1）③ ⑥ （2）①將滑動變阻器的滑片P 移到最左端 ③多次移動滑片P，記錄多組電流表G1 和G2 的讀數(shù)I1、I2（3）r1=（k-1）R1

二、電壓表內(nèi)阻的測量

1.半偏法。

基本原理：如圖12 所示，R1 為滑動變阻器，R2為電阻箱，閉合開關(guān)S 前，將滑動變阻器的滑片P 移到最右端，并將電阻箱R2的阻值調(diào)至零。閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)滑片P，使電壓表的指針指到滿刻度，保持滑片P 不動，調(diào)節(jié)電阻箱R2 的阻值，使電壓表的指針指到刻度盤的中央，記下此時電阻箱R2 的阻值，在R1?R2 的條件下，近似認(rèn)為RV=R2。用該方法測出的電壓表內(nèi)阻偏大。

例5 為了測量一個量程為0～3 V 的直流電壓表的內(nèi)阻RV （約為幾千歐），采用如圖13所示的電路進(jìn)行實驗。

（1）該實驗中需要進(jìn)行的步驟羅列如下，合理的順序是_____。（用步驟前的字母表示）

A.閉合開關(guān)S

B.將電阻箱R0 的阻值調(diào)至零

C.調(diào)節(jié)滑片P，使電壓表的示數(shù)為3 V

D.斷開開關(guān)S

E.調(diào)節(jié)電阻箱R0 的阻值，使電壓表的示數(shù)為1.5 V，讀出此時電阻箱R0 的阻值

F.把滑動變阻器的滑片P 移到a 端

（2）若在步驟E中，電阻箱R0的示數(shù)如圖14所示，則R0 的阻值為_____Ω，電壓表內(nèi)阻RV 的測量值為_____Ω，由于系統(tǒng)誤差，測量值_____（選填“偏大”或“偏小”）。

解析：（1）合理的實驗步驟順序是先將電阻箱R0 的阻值調(diào)至零，把滑動變阻器的滑片P 滑到a 端，再閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)滑片P，使電壓表的示數(shù)為3 V，然后調(diào)節(jié)電阻箱R0 的阻值，使電壓表的示數(shù)為1.5 V，讀出此時電阻箱R0 的阻值，最后斷開開關(guān)S。

（2）根據(jù)電阻箱的讀數(shù)規(guī)則可知，電阻箱R0 的阻值為2 900 Ω。本實驗測量電壓表內(nèi)阻的原理是半偏法，則電壓表內(nèi)阻RV 的測量值等于電阻箱的示數(shù)2 900 Ω。采用半偏法測量電壓表內(nèi)阻時，由于系統(tǒng)誤差，測量值偏大。

答 案：（1）BFACED （2）2 900 2 900偏大

2.伏安法。

基本原理：伏安法測電阻的原理是部分電路歐姆定律，根據(jù)R=U/I可知，只要用電表測出通過待測電壓表的電流及其兩端電壓，即可求出電壓表的內(nèi)阻。

例6 現(xiàn)要較準(zhǔn)確地測量一個量程為0～3 V，內(nèi)阻大約為3 kΩ 的電壓表V1 的內(nèi)阻RV，實驗室提供的器材如下：電流表A1（量程為0～0.6 A，內(nèi)阻約為0.1 Ω），電流表A2（量程為0～1 mA，內(nèi)阻約為100 Ω），電壓表V2（量程為0～15 V，內(nèi)阻約為15 kΩ），定值電阻R1（阻值為200 Ω），定值電阻R2（阻值為2 kΩ），滑動變阻器R3 （最大阻值為100 Ω，最大電流為1.5 A），電源E1（電動勢為6 V，內(nèi)阻約為0.5 Ω），電源E2（電動勢為3 V，內(nèi)阻約為0.5 Ω），開關(guān)S，導(dǎo)線若干。

（1）選用部分器材，甲、乙兩同學(xué)分別設(shè)計了如圖15甲和乙所示的兩個電路。 在圖甲的電路中，電源選擇E1，定值電阻應(yīng)該選擇_____;在圖乙的電路中，電源選擇E2，電流表應(yīng)該選擇_____。（填寫對應(yīng)器材的符號）

（2）根據(jù)如圖15甲所示電路，多次測量得到多組電壓表V1 和V2 的示數(shù)U1、U2，用描點法作出U1-U2 圖像，若圖像的斜率為k1，定值電阻的阻值為R，則電壓表V1 的內(nèi)阻RV=_____;根據(jù)如圖15乙所示電路，多次測量得到多組電壓表V1 和電流表A 的示數(shù)U1'、I，用描點法作出U1'-I 圖像，若圖像的斜率為k2，則電壓表V1 的內(nèi)阻RV'=_____。（用題中所給字母表示）

（3）從實驗測量精度的角度分析，用圖_____（選填“甲”或“乙”）電路較好，原因是_____。

解析：（1）在圖15甲的電路中，電源選擇E1，電源電動勢為6 V，定值電阻起到串聯(lián)分壓作用，應(yīng)該選擇阻值為2 kΩ 的定值電阻R2。在圖15乙的電路中，電源選擇E2，電源電動勢為3 V，通過電壓表的最大電流約為1 mA，所以應(yīng)該選擇量程為0～1 mA 的電流表A2。

（2）在圖15甲的電路中，定值電阻兩端電壓為U2-U1，通過定值電阻（電壓表V1）的電流I=U2-U1/R ，根據(jù)歐姆定律得RV =U1/I = RU1/U2-U1，變形為U1=（RV/R+RV）U2。根據(jù)RV/R+RV =k1 得RV= （k1/1-k1）R;在圖15乙的電路中，根據(jù)歐姆定律得U1'=IRV'，則 RV'=U1 '/I =k2。

（3）用甲、乙兩個電路進(jìn)行實驗都沒有因儀器儀表而引起的系統(tǒng)誤差，但是用如圖15甲所示電路測量時，電壓表V2 兩端電壓的變化范圍約為0～5 V，用量程為0～15 V 的電壓表V2 進(jìn)行測量，相對誤差較大，因此用如圖15乙所示電路測量較好。