基于案例引導的可靠性理論教學模式探析

吳興征 王瑞凱 宋鵬彥

doi：10.11835/j.issn.1005-2909.2024.03.018

歡迎按以下格式引用：吳興征，王瑞凱，宋鵬彥.基于案例引導的可靠性理論教學模式探析［J］.高等建筑教育，2024，33（3）：144-153.

修回日期：2022-04-15

基金項目：河北省省級研究生專業(yè)學位教學案例庫項目“工程結構可靠度案例教學”（KCJSZ2022006）；河北省自然科學基金面上項目“考慮參數不確定性的基樁幾何可靠性算法與試驗研究”（E2019201296）

作者簡介：吳興征（1971—），男，河北大學建筑工程學院副教授，博士，主要從事巖土、防洪與海岸工程中不確定性模型研究，（E-mail） xingzhengwu@163.com；（通信作者）王瑞凱（1993—），男，衡水學院電子信息工程學院助教，碩士，主要從事可靠性理論研究，（E-mail）ruikaiw@163.com。

摘要：常規(guī)可靠性理論教學存在重視公式推導而輕視案例分析的現狀，課程教學效果不佳。文章探索用案例教學法講授該課程知識，著重強調案例教學理念與編程實踐促學的重要性。結合4個典型工程案例，如懸臂梁、海堤、基樁、板樁墻等構筑物，說明可靠性理論教學實施的步驟與方法。每個案例各有側重，由淺入深地引出重要知識點，通過編程實踐引導學生進行實例求解。基于案例啟發(fā)式的教學模式可激發(fā)學生探求可靠性理論的學習熱情，從而實現與專業(yè)問題相互銜接。

關鍵詞：案例；可靠性理論；教學模式；編程

中圖分類號：TU 473? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? 文章編號：1005-2909（2024）03-0144-10

《工程結構可靠性設計統(tǒng)一標準》（GB 50153-2008）［1］實施多年，可靠性理論日漸成為較多高校土木工程專業(yè)三、四年級本科生或研究生的選修課程之一［2-3］。通過講授可靠性理論的基本概念和求解方法，幫助學生認識土木工程中客觀存在的不確定性現象［4］，力求掌握不確定性分析的建模方法。為了全面培養(yǎng)學生終身學習能力和實際問題處理能力，全新教學方法亟待提出。

可靠性理論是一門既具有理論性，又兼有較強應用性的課程。不僅要求學生具備土木工程專業(yè)基礎知識，還需要學生具有足夠的數學知識積累，如高等數學、概率論與數理統(tǒng)計、隨機過程等。多數選課學生不具備類似基礎知識而對可靠性理論產生陌生感，從而表現出學習吃力、學習意愿不強等問題［5］。這也是影響學生學習可靠性理論的外因。

難以有效開展可靠性教學的內因主要有：（1）講授可靠性求解算法時與實際工程案例結合不夠緊密，難以激發(fā)學生的求知欲；（2）教學偏重理論講解和算法推導，缺少與編程演練相結合，學生缺乏學習動力，也無法在解算過程中獲得成就感。

在有限課時內讓學生掌握可靠性原理與方法，并自編程序分析與解決實際問題，是可靠性理論教學必須著力思考的問題。根據多年的教學經驗，從實際工程問題的求解出發(fā)，提出以案例引導的課程教學方法。結合具體工程應用實例對相關計算理論深入講解，引導學生開展實證學習。由淺入深地引出知識點并輔以編程演練，有助于培養(yǎng)學生解決不確定性問題的能力。

一、課程特點及教學現狀

（一） 課程特點

（1） 理論抽象且方法繁多?？煽啃岳碚撜n程教學主要內容包括概率密度分布、極限狀態(tài)方程構建、可靠指標的定義與求解算法。其共同特點是抽象且難以理解。求解算法是可靠性理論課程的核心內容，通常包括一次二階矩法、均值一次二階矩法、改進一次二階矩法與一階可靠性法（first order reliability method，亦簡稱為FORM）等。面對眾多算法，初學者難以在有限的授課學時內把握它們所蘊含的數學基礎與原理，教師嘗試講解清楚各種算法之間的異同需要花費大量時間。

（2） 算法難以實現手工驗算。工程中常用的一階可靠性法，計算過程繁瑣，需通過多步迭代才能得到收斂的結果；手工計算易出錯且不可移植。

（3） 計算成果缺少圖形展示。求解算法得到的數值結果具有一定的抽象性，缺少直觀的圖形解釋。

（二） 教學現狀

（1） 理論講解與計算實施脫節(jié)?？煽啃岳碚撛从诠こ虒嵺`的統(tǒng)計分析與經驗總結，部分理論公式涉及迭代或優(yōu)化求解，計算工作量大。目前教學中比較重視理論知識的講授，局限于理論公式的推導與代入，但對計算程序實施并未給予足夠重視。

（2） 算例缺乏實際工程背景。教材中給出的算例多是高度簡化的，缺乏實際的工程背景，難以充分激發(fā)學生學習可靠性理論的興趣，學生難以與當前的研究課題進行有效銜接。部分教材的課后習題過于理想化與公式化，缺乏實際案例分析。

（3） 學生求知興趣不高。可靠性理論的學習需要以數理統(tǒng)計、數值計算方法、編程等基礎課程為基礎，要求學生具有較好的數學功底。部分學生甚至不清楚所學課程與從事專業(yè)的關聯性，學習目標不明確，投入的時間與精力不足。

（4） 生源基礎參差不齊。由于地域不同且各生源高校間先修課程的教學內容有差異，剛接觸該課程的學生對基礎知識掌握程度不一，給可靠性理論課程的教學計劃與教學組織帶來較大的困難。

（5） 新版教材匱乏。與可靠性理論教學相關的教材更新速度較慢，在一定程度上制約了教學的有效開展。

二、案例啟發(fā)教學法的特點

案例教學法是一種富有創(chuàng)意和實效的教學策略，它以教師與學生互動為基本形式，通過實際工程案例引導將復雜理論場景化，借助編程工具進行可靠性分析實現理論學習的生動化。該方法強調學生的參與。

案例教學實施三個階段：課前準備、課堂實施和課后評估。課前準備階段做好教學設計，精心選擇案例并進行初步編程。在教師的引導下，采用互動與討論式的教學手段提高學生的參與意識。教師提出問題，與學生充分互動，并引導學生編寫求解代碼，對學生發(fā)言與編程求解進行點評，從而提供分析問題的思路或視角。課后評估階段主要針對作業(yè)完成情況和案例分析成績進行評價?；诎咐龑У目煽啃岳碚摻虒W有如下特點。

（一） 教學內容的案例化

教學案例可分為講解型與探究型。講解型案例通常只有一個核心論題；但探究型案例涉及面較寬，且案例通常能說明一個理論或算法。所選案例要有突出的目的性與代表性，圍繞案例的起因、求解過程、安全評價等方面進行。表1為與可靠性理論課程教學大綱中規(guī)定的重點內容相關的幾個案例。

緒論教學環(huán)節(jié)，重點介紹客觀存在的觀測數據、數據離散性的描述方法，以及邊緣分布擬合等內容。協(xié)助學生梳理具有顯著離散性的實測數據集，尤其是針對同一結構物或構件進行多次重復性測試的情況，類似成果更具有真實性?？勺寣W生充分意識到不確定性問題發(fā)生在實踐中。在介紹荷載的統(tǒng)計分析時，可結合簡單的懸臂梁案例進行講解，著重介紹一階可靠性法中的Ang和Tang算法［6］；結合海堤漫頂案例對Low和Tang算法［7］、隨機變量相關性處理及聯合概率密度函數構建進行介紹。在結構抗力的統(tǒng)計分析這一教學環(huán)節(jié)中，可結合基樁靜載響應成果，采用全新的幾何可靠性可視算法［8-9］進行講解。在介紹結構可靠性分析這一重要章節(jié)中，可針對板樁墻探究型案例，采用隨機模擬法求解，并著重分析多種失效模式的關聯性。

（二） 實際應用的關聯化

在教學過程中，教師應注重應用實例與復雜概念的銜接。結合表1中懸臂梁、海堤、基樁和板樁墻等實際案例，充分與多種可靠性算法融合講解，著力激發(fā)學生探求可靠性理論的學習熱情。介紹工程背景與力學機理時，適當運用多媒體教學工具，展示圖文音像等信息，并深入分析案例中蘊含的數據離散性來源與處理方法。

（三） 教學過程的編程化

在課程教學過程中，要求學生在初步了解基本概念的同時，借助各種編程語言的內部函數及現有的可靠性算法求解器［10］自行編寫代碼，開展多種算法的求解。從而實現在編程實踐環(huán)節(jié)掌握并強化可靠性理論的知識點。

三、案例教學實質及授課思路

（一） 案例教學實質

案例教學的實質是講授者本著理論聯系實際的宗旨，針對相關教學內容，遵照教學目的，以案例為基本素材，將學生引入特定的真實工程情境中，鼓勵學生積極參與，通過師生的雙向交流，讓學生充分理解復雜理論。

（二） 案例分析與講授

每個案例講授可控制在兩個學時之內。基于可靠性理論，結構物需要完成預定功能，由功能函數或極限狀態(tài)方程來描述。若為構筑物的抗力或允許承載，為作用效應或實際荷載。以構筑物的正常使用（承載能力）極限狀態(tài)作為分析對象，二者構建的極限狀態(tài)方程（功能函數）為：

（1）

結合特定案例分析，抗力以及作用效應可取決于多種影響因素，根據實際情況將某些因素視作隨機變量。選擇已建或新建工程項目作為案例進行深入剖析，由淺顯知識點入手，逐步深入。工程案例應包括：a.工程背景與機理分析、荷載與輸入參數（土層、地質、水位、氣象）的收集與給定；b.繪制計算簡圖，確定結構物失效模式，構建極限狀態(tài)方程；c.可靠指標的求解算法展示；d.輸出結果判斷與案例評價。

（1） 案例1：懸臂梁抗彎性。

問題：矩形截面鋼筋混凝土受彎懸臂梁，其截面寬度、高度以及跨度已知，如圖1所示，試計算該構件用于住宅或辦公樓時發(fā)生撓曲變形或強度屈服的可靠指標［11］。將懸臂梁構件所受到的垂直荷載Pv與水平荷載Ph作為隨機變量，分別由給定的邊緣概率密度函數來描述。

功能函數：若受彎構件發(fā)生撓度失穩(wěn)，以構件撓度的實測值接近其限值為達到正常使用極限狀態(tài)的標志，可建立極限狀態(tài)方程。此外，懸臂梁構件若發(fā)生強度屈服，相應的極限狀態(tài)方程可寫為懸臂梁的最大屈服強度應力與實際應力之間的關系，亦可構建極限狀態(tài)方程。

算法：一階可靠性法基于隨機變量服從正態(tài)分布的假設而構建。當用于非正態(tài)隨機變量的情況時，采用Ang和Tang建議的一階可靠性法時需考慮概率轉換（當量正態(tài)化）等內容［6］。

關聯知識與延伸：作為第一個案例，不宜給學生灌輸過多的理論或概念。引導學生實現對荷載的統(tǒng)計特性以及非正態(tài)變量的處理，提供與演示Ang和Tang［6］算法的求解代碼讓學生自行嘗試。教學過程中引導學生思考幾個問題：a.非正態(tài)變量的當量正態(tài)化進行方式；b.若這些變量均服從正態(tài)分布時，求解的簡化處理方式；c.其他可視作隨機變量的參數；d.列舉懸臂梁在土木工程中實際的應用場景。

教學中引導學生積極思考并發(fā)表觀點，教師進行總結與評論。例如強調荷載比、配筋率、構件幾何尺寸、混凝土保護層厚度等對可靠指標產生影響；隨著構件裝配化建造精度的提高，幾何尺寸可被視作常量。通過該算例，向學生闡明可靠指標求解時涉及的迭代算法增加了計算實踐的繁雜性，強調編程實施的必要性。

（2） 案例2：海堤漫頂。

問題：海堤是防洪工程體系的重要組成部分，用于抵御風暴潮引起的海水漫頂，有效保護內陸的生命財產安全。海堤的防護通常與水位Hw、近岸有效波高Wh和平均波浪周期Tm在內的海洋風暴條件有關。圖2為防洪海堤的示意圖。由于近海波多通過衛(wèi)星或雷達測量，實現了海洋學中觀測數據的長期記錄跟蹤，開展海堤安全評價對海岸防災減災具有重要意義。

功能函數：海堤的極限狀態(tài)方程可通過臨界溢流量qc與海堤在一定時間段內的每延米的溢流量qw之差表示［8］。有限的越浪量不會造成大面積的洪災，但漫頂會引起堤頂侵蝕以及下游坡的沖刷從而最終造成海堤破壞。溢流量取決于波浪爬高、風壅高度、堤頂高程、水位等因素，其中，波浪爬高又與波浪高度以及周期密切相關。溢流過程由風暴潮位和波浪共同作用引致，在時間和體積上是較隨機的現象，故將水位Hw、波高Wh和周期Tm視作隨機變量。

數據：海堤斷面位于英國Norfolk地區(qū)，共整理了十年內該海浪要素的7 030組觀測數據［8］。圖3為三個隨機變量間的相依關系以及各個變量的核概率密度分布。

算法：結合該算例，重點講授其他一階可靠性算法。該算法的幾類演變方法，如修正一次二階矩法或JC法［12］、Low和Tang的［7］求解模式等，需要重點講授。

關聯知識與延伸：重點剖析可靠性算法的幾個要點，尤其是非正態(tài)分布的處理以及雙變量聯合概率密度函數的構建與算法原理。在多元隨機變量聯合分布中，各變量間存在一定的相關性，且各變量的邊緣分布類型也不盡相同。對于隨機變量的聯合概率分布，可由聯結函數Copula構造［13］。授課中，對學生強調此研究是可靠性研究的熱點，引導學生深入探究。

結合該典型工程案例，教師從問題提出、計算分析和成果評價等方面引導學生全面了解基于可靠性理論的求解過程。在課堂上與學生一起討論離散性對海堤穩(wěn)定性的影響，尤其是聯合分布的尾部特征，充分調動學生分析和思考問題的積極性。考慮該海堤其他潛在失效模式，如邊坡滑動失穩(wěn)、管涌、沖刷等，也值得學生探討。

（3） 案例3：基樁承載性能。

問題：樁基礎通過樁側摩阻力和樁端阻力將上部荷載傳遞到深部巖土層中，有效提高多層建筑地基的承載能力，減小地基沉降并確保上部結構安全。受到同一場地內地層空間變異、樁體施工與測量誤差等一系列因素的影響，多根基樁承載后的沉降數據是離散的。

以山東省濟南市一棟28層公寓樓場區(qū)內預制方形樁的荷載-位移數據進行分析［14］。該場地共計完成12根工程樁的檢測，最大加載為4 880 kN。樁的邊長為0.4 m，樁長22～28 m。圖4為豎向靜載試驗得到的荷載-位移曲線。采用冪函數進行每條測試曲線的擬合［9］，列式為：

（2）

荷載-位移關系是各層土體與樁之間摩阻特性的綜合反映，構建冪函數回歸方程后，由最初需要考慮樁周各層土體側摩阻與持力層端摩阻特性的多元隨機性，轉化為直接討論冪函數回歸參數間的不確定性，使得多元論題被簡化為二元變量間的問題。

由于同一場地下測試得到的12條曲線形態(tài)各異，描述這些曲線特性的回歸參數集必然具有離散性。圖5為冪函數回歸和集合的散點分布，且分別將二者視作一個隨機變量。若假定p1和p2均服從正態(tài)邊緣分布，且存在線性相關系數，則其特定置信水平下聯合分布（二元高斯分布或稱作二元正態(tài)分布）的概率密度等值線（probability density contour，簡稱PDC）為橢圓形狀［15］。

功能函數：基樁相應的正常使用極限狀態(tài)方程可表述為承載能力與上部結構傳至樁頂荷載之間的關系。式（2）中基樁抗力R可由p1sa p2定義，sa為基樁沉降量的容許位移值?；鶚秾嶋H荷載（作用效應）S可假定為常數或定值，可取為最大加載量值的1/2。

數據：基于國內外30余個場地下基樁荷載-位移曲線的回歸參數集［16］，讓學生嘗試特定場地下其他基樁承載能力的可靠性評估。

算法：從幾何上看，一階可靠性法中定義的可靠指標是在多元標準化空間中由坐標原點到臨界破壞面的最短距離，該指標亦稱為Hasofer-Lind指標［17］。常規(guī)的可靠性理論因構建于標準化空間內，公式推演較為深奧。本研究團隊開發(fā)的幾何可靠性算法［8-9］構建于隨機變量的原始物理空間內，更易于理解。根據幾何可靠性算法，對于二元正態(tài)聯合分布，該建筑場地下基樁（構筑物）承載能力的可靠指標將由單倍標準差橢圓和發(fā)散橢圓之間的比例關系給定，如圖5所示。極限狀態(tài)曲線由功能函數推求得到，將隨機變量所在區(qū)域分為安全域與失穩(wěn)域。

關聯知識與延伸：盡管該案例的功能函數看似簡單，但具體求解時會遇到較多知識點；a.其他隨機變量如何考慮，若考慮基樁所受荷載的隨機性，如分別將恒載與活載也視作隨機變量，它們與回歸參數集構成四元隨機問題，采用幾何可靠性算法進行求解的方式；b.非正態(tài)分布如何考慮。該算法因采用離散點近似表征各種構型，具有適用于各種非正態(tài)聯合分布的靈活性；c.剖析基樁的承載能力極限狀態(tài)與正常使用極限狀態(tài)［9］，其定義式異同點與關聯性值得師生互動研討；d.傳統(tǒng)定值安全系數由變量的期望均值（圖5）給定，無法考慮隨機變量的統(tǒng)計特性或規(guī)律。結合案例闡釋概率極限狀態(tài)設計有別于傳統(tǒng)確定性設計。概率極限狀態(tài)設計強調變量的觀測與統(tǒng)計，而確定性設計更多地依賴于經驗。極限狀態(tài)設計在構建極限狀態(tài)方程時為繼承確定性安全系數的定義式?？傊?，結合具體工程應用，對可靠性理論實施圖形化解譯，給予學生切實的掌控體驗，可克服常規(guī)可靠指標求解時采用各種方程的抽象感。

（4） 案例4：板樁抗傾覆性能。

問題：板樁結構多用于碼頭與基坑等支護體系中［10］，圖6為拉錨式板樁墻示意圖。板樁墻的抗彎強度和踢腳穩(wěn)定均與土體的抗剪特性密切相關。土性參數（粘聚力、內摩擦角、容重）的不確定性、墻后堆載、地下水位變化、板樁材料、拉桿抗拉強度等均會影響板樁結構可靠性。為了保證毗鄰建筑物的正常使用，板樁在其設計使用年限內應具有足夠的可靠性。

數據：若考慮土體剪切強度參數（粘聚力與內摩擦角）對板樁結構的影響，結合20余個場地下土體的抗剪強度參數集［16，18］，可進行相關問題的不確定性分析。

功能函數：考慮抵抗力矩與實際承受力矩之間的關系可構建踢腳（抗傾覆）穩(wěn)定的極限狀態(tài)方程。

算法：隨機抽樣法為估算失效概率的常用方法。失效概率是隨機模擬中功能函數小于零的次數與總模擬次數之比?？紤]隨機變量間的互相關性時，可采用基于聯結函數的抽樣法（Copula-based sampling method，簡稱CBSM）［13］求解失效概率。但該類方法存在計算結果不唯一且在失效概率較低情況下計算工作量大的缺點。授課教師應說明隨機抽樣法計算得到的是失效概率值，兩次計算可能會出現失效概率在數量級上的差異結果。而其他非抽樣類算法計算得到的是可靠指標，最常用的量值介于0～8之間。該指標與失效概率相比更易于被工程師接受。鼓勵學生采用非抽樣類方法完成該案例的求解，以便比較各種算法的計算成果。

關聯知識與延伸：該案例比較綜合，要引導學生區(qū)分哪些變量與抗力有關，哪些變量與作用效應有關。應該指出，板樁墻后的主動土壓力為作用效應，而板樁墻前的被動土壓力則為抗力。這些土壓力均因土體參數的不確定性而具有隨機性。授課過程中先對學生提出問題，然后讓學生選邊站隊并充分辯論，以明晰最終結論。

教師需向學生解釋該案例的相關應用場景，鼓勵學生通過文獻查閱更多實際案例。同一個板樁墻問題，可以是建筑基坑問題，也可以是碼頭支護問題。碼頭堆載因運輸發(fā)生變化，板樁水平向荷載還涉及波浪力。此外，板樁墻抗彎、拉桿抗拉、坑底抗隆起、整體滑動穩(wěn)定等也可作為失效模式進行分析，多種失效模式的關聯性需詳細剖析。

（三） 編程實施

提及的算法可采用Matlab、R、Python或Mathmatica語言進行編程實施，教學中盡可能地增加編程環(huán)節(jié)。教師運用編程平臺結合求解算法進行計算展示，統(tǒng)籌實施課程教學，保證課堂教學的有效組織。編程語言具有豐富的繪圖功能與科學計算函數，比如，算法中涉及的散點圖、曲線圖等均可由相應函數實施。采用高級編程語言，多數工程實例僅需20余行代碼即可完成所有計算與繪圖。編程實踐有助于培養(yǎng)與提高學生的自主創(chuàng)新與問題求解技能，在課堂實踐環(huán)節(jié)與課后作業(yè)鞏固方面均需有所側重。

講授時要給學生強調編程實施的優(yōu)勢在于方便修改任意參數，快速而準確地求解并進行參數敏感性分析。鼓勵沒有任何編程基礎的學生嘗試電子表格法編制Excel表實施，更能適應現代信息化社會需求。引導學生進行可靠性算法函數的編寫，以便更多成熟算法共享給工程師使用，讓學生在研學實踐中獲得成就感，激發(fā)他們對更復雜專業(yè)問題的探索興趣。

此外，教學實施中還可結合Visual Basic開發(fā)面向對象的基樁幾何可靠性分析軟件［19］。學生通過菜單化操作該認知工具，深化對可靠性理論的理解。

四、常見問題的討論與分析

（一） 案例教學實施對教師的要求

案例教學對授課教師的綜合素質要求較高，需要將案例提升到理論層次，且要熟練掌握編程技能。在課前要準備充分，預習教學素材、熟悉案例、歸納重點與難點，以及認真編寫教案。

（二） 源代碼準備

每個案例的編程及驗證一般較為耗時，但課堂時間非常有限，這要求教師提前準備與精心構思預備部分程序（源代碼）并提供給學生。強調采用豐富庫函數的高級編程語言的重要性，以便讓學生從繁瑣的基礎程序代碼中解放，更多地專注于可靠性算法的編程實踐。

（三） 教材選用

教師難以在同一本教材或者文獻中找到多學科關聯的素材，建議使用自行整理的講義進行授課。教師列出一系列參考資料，供學生課后深入閱讀參考。

（四） 案例教學法的缺點

案例教學較難通過案例說明整體原理，難以將獲得的概念與原理匯總于一個整體框架中。因此，要求學生通過深入學習，厘清各個知識點間的關聯性。課后教師需要強調延伸閱讀的重要性，使學生找到分析此案例的理論支持和必要知識點。

（五） 其他問題

教學中可引導學生采用多種算法求解同一問題，結合自己的專業(yè)背景進行選題，更容易讓學生實現由可靠性基本原理學習向探究自己專業(yè)課題的過渡。闡明不同問題對于隨機變量值域的要求不同。如漫頂問題與波浪條件的極大值密切相關，而土工強度問題則取決于強度參數的極小值。任何結構物的可靠性設計均基于觀測數據，若沒有更多重復性的實際觀測成果，再好的可靠性計算模型也將被束之高閣。

五、結語

結合可靠性理論課程實踐性和應用性強的特點，通過生動的工程案例提高學生的學習興趣。案例教學模式能促進學生有針對性地運用專業(yè)理論，提高其分析與解決實際不確定性問題的能力。從教學內容、編程環(huán)節(jié)、案例與理論的關聯度、教學方法等方面，對課程教學進行了全面的總結與思考。

課堂教學中結合多個不確定性評估的應用場景，針對可靠性方法的演示與編程實踐，讓學生熟悉編程環(huán)境并有助于消除學生的畏難疑慮。與常規(guī)教學方法相比，采用實際案例進行啟發(fā)式教學，實施簡潔且更易于實現深層次的概念延伸。盡管案例教學法使教學內容更加豐富而生動，避免了教師純粹理論性的說教，但是在實踐應用中也存在一些問題，需要在實踐中探索解決方案。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設部.工程結構可靠性設計統(tǒng)一標準：GB 50153—2008［S］.北京：中國計劃出版社，2009.

［2］ 李會軍，李宗利.工程結構可靠度分析課堂教學的改革與實踐［J］.黑龍江教育（高教研究與評估），2019（3）：1-3.

［3］ 張振浩，楊偉軍.“荷載與結構設計方法”課程教學方法研究［J］.中國電力教育，2012（11）：78-79，84.

［4］ 吳興征，方有亮，余莉，等.土工試驗教學中如何培養(yǎng)學生的不確定性思維［J］.高等建筑教育，2019，28（3）：122-130.

［5］ 賈傳果，李英民，夏洪流，等.荷載與結構設計課程教學問題及解決對策——以JCSS組合規(guī)則為例［J］.高等建筑教育，2014，23（4）： 92-95.

［6］ Ang H S， Tang W H. Probability Concepts in Engineering Planning and Design， Vol. II. Decision， Risk， and Reliability［M］. New York： John Wiley and Sons， 1984.

［7］ Low B K， Tang W H.Efficient spreadsheet algorithm for first-order reliability method［J］.Journal of Engineering Mechanics， 2007，133（12）：1378-1387.

［8］ Wu X Z. Geometric reliability analysis applied to wave overtopping of sea defences［J］.Ocean Engineering，2015，109： 287-297.

［9］ 吳興征，王瑞凱，辛軍霞.特定場地下土工構筑物的幾何可靠性分析［J］.巖土力學，2020，41（6）：2070-2080.

［10］ Wu X Z.Implementing statistical fitting and reliability analysis for geotechnical engineering problems in R［J］. Georisk： Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards，2017，11（2）：173-188.

［11］ Wu YT， Wang W. Efficient probabilistic design by converting reliability constraints to equivalent approximate deterministic constraints［J］. Journal of Integrated Design and Process Sciences， 1998， 2（4）：13–21.

［12］ Rackwitz R，Flessler B.Structural reliability under combined random load sequences［J］.Computers & Structures，1978，9（5）：489-494.

［13］ Wu X Z. Probabilistic slope stability analysis by a copula-based sampling method［J］.Computational Geosciences，2013，17（5）：739-755.

［14］ Zhou J L.Behavior of displacement concrete pile under compressive loads［J］.International Journal of GEOMATE， 2019，16（54）：200-208.

［15］ Wang B， Shi W Z， Miao Z L. Confidence analysis of standard deviational ellipse and its extension into higher dimensional euclidean space［J］.PLoS One，2015，10（3）：e0118537.

［16］ Wu X Z.GeoRiskR： data and functions for geotechnical risk assessment［EB/OL］.［2021-11-10］. https：//r-forge.r-project.org/R/？group_id=1777 or http：//xingzhengwu.com/downl/GeoRiskR2.1.pdf.

［17］ Hasofer A M， Lind N C. Exact and invariant second-moment code format［J］.Journal of the Engineering Mechanics Division， 1974， 100（1）： 111-121.

［18］ Wu X Z.Modelling dependence structures of soil shear strength data with bivariate copulas and applications to geotechnical reliability analysis［J］.Soils and Foundations，2015，55（5）：1243-1258.

［19］ 吳興征.基樁靜載數據處理與可靠性分析軟件開發(fā)及應用［J］.工程質量，2021，39（3）： 10-16.

A teaching model for the reliability theory by illustrative case studies

WU Xingzheng1， WANG Ruikai2， SONG Pengyan1

（1.College of Civil Engineering and Architecture， Hebei University， Baoding 071002， P.R.China；

2.College Electronics & Information， Hengshui University， Hengshui 053010， P.R.China）

Abstract： Formula derivation is emphasized and case study is neglected in the traditional teaching for the reliability theory， resulting in low teaching efficacy. The teaching technique through illustrative case studies is proposed， and the importance of both case teaching concept and learning promoted by programming is stressed. Four typical case studies， such as the cantilever beam， sea dike， pile foundation， and sheet pile wall， are implemented to explore the procedures and methods for the teaching of reliability theory. Each case study has its own emphasis on the teaching content， leading to key knowledge components from the easy to the difficult， which allows students to immerse themselves in the solution of examples through programming practice. The teaching model based on case heuristics is easy to stimulate students enthusiasm for exploring the reliability theory， and it is easy to realize the connection with professional problems.

Key words： case; reliability theory; teaching model; programming

（責任編輯? 鄧? 云）