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    厘清由來 把握特點(diǎn) 熟練運(yùn)用

    2024-05-29 10:44:30古作軍丁建生
    初中生世界·七年級 2024年4期
    關(guān)鍵詞:乘方底數(shù)乘法

    古作軍 丁建生

    第八章 冪的運(yùn)算

    領(lǐng)? 銜? 人:丁建生

    組稿團(tuán)隊:南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)

    “冪的運(yùn)算”是在同學(xué)們學(xué)了乘方運(yùn)算基礎(chǔ)上要學(xué)的新內(nèi)容,也為學(xué)習(xí)下一章“整式乘法與因式分解”打下基礎(chǔ)。我們要想學(xué)好本章內(nèi)容,重點(diǎn)要學(xué)好冪的運(yùn)算性質(zhì),而要掌握這些性質(zhì),關(guān)鍵在于真正理解性質(zhì)是怎么來的,有什么特點(diǎn),如何運(yùn)用。

    一、學(xué)會推理,理解性質(zhì)的由來

    冪的性質(zhì)從形式上來說就是幾個公式,但我們不能只機(jī)械地記住其結(jié)論,還要理解它們是怎么推導(dǎo)出來的。對于每條性質(zhì)的探究,教材內(nèi)容都是按照“特殊、具體數(shù)的計算→發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想→結(jié)論一般化、抽象化驗證”的思路呈現(xiàn)的。

    以探究同底數(shù)冪的乘法為例,先探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪(如102×108、104×105),再探究底數(shù)是具體數(shù)值、指數(shù)是用字母表示的數(shù)的冪(如10m×10n、2m×2n),然后大膽猜想am×an=am+n。接下來就是對此猜想進(jìn)行證明,方法是回到定義中去。由冪的定義可知,am、an分別表示m個a相乘、n個a相乘,那么am×an就是(m個a相乘)×(n個a相乘),顯然等于(m+n)個a相乘,再由乘方的定義,結(jié)果就可以寫成am+n。

    再如,在探究同底數(shù)冪的除法的過程中,也是先從探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪開始的,如23÷23、23÷24,我們先后規(guī)定了零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義,并體會“規(guī)定”的合理性。有了“規(guī)定”,冪的指數(shù)范圍才擴(kuò)展到一切整數(shù)。當(dāng)然,在此過程中,我們還會意識到“零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于零”這個基本條件存在的意義。

    事實上,數(shù)學(xué)中許多結(jié)論的得出都會經(jīng)歷從特殊到一般的思考過程。同學(xué)們?nèi)绻@樣的思路來學(xué)習(xí)本章內(nèi)容,將能體會到數(shù)學(xué)知識是如何形成、生長的。

    二、分析結(jié)構(gòu),理解性質(zhì)的特點(diǎn)

    我們分析性質(zhì)am×an=am+n、am÷an=am-n以及(am)n=amn的特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)這三個式子的結(jié)構(gòu)是:等號左邊是同底數(shù)冪的乘、除、乘方運(yùn)算,而等號右邊是指數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算且底數(shù)保持不變,這實際上是將同底數(shù)冪的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成冪指數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算。它們有一個很重要的前提——“同底數(shù)”。因此,我們在對如25×(-2)7、a4×(-a)5、(s-t)3×(t-s)n等這些形式的冪進(jìn)行運(yùn)算時,必須先將底數(shù)“統(tǒng)一”。

    此外,在性質(zhì)(ab)n=an·bn中,等號左邊是先算積、后進(jìn)行乘方(可稱為積的冪),等號右邊是先進(jìn)行乘方、再算積(可稱為冪的積)。我們弄清了這里面的先后順序,就不會把(a+b)2想當(dāng)然地寫成a2+b2了。

    看來,只有把性質(zhì)的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)掌握清楚了,我們在應(yīng)用時才不會混淆知識,否則,必將錯誤百出。

    三、正反互通,理解性質(zhì)的運(yùn)用

    同學(xué)們在運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)時,一般都會熟練地從等號左邊向等號右邊進(jìn)行運(yùn)用。而從右邊到左邊,大家也應(yīng)該嫻熟運(yùn)用,做到能根據(jù)解決問題的需要,迅速將am+n、am-n、amn、anbn寫成am×an、am÷an、(am)n、(ab)n的形式,真正實現(xiàn)“正反互通”。如此,解決問題時才會得心應(yīng)手。

    下面三個問題的解決都得益于冪的運(yùn)算性質(zhì)(公式)的反向運(yùn)用,感興趣的同學(xué)可以嘗試做一做。

    例1 計算0.1252023×82024。

    在這個式子中,兩個冪的底數(shù)不同,我們首先想到將它們化成底數(shù)相同或指數(shù)相同的冪。觀察0.125與8,它們的積為1,于是,我們可將82024改寫為82023×81。

    解:原式=0.1252023×82024

    =0.1252023×82023×81

    =(0.125×8)2023×8

    =8。

    例2 已知10a=5,10b=3,求102a-

    103b。

    我們觀察已知式和所求式,可得102a=(10a)2,103b=(10b)3。此時,只需要將10a=5,10b=3整體代入即可。

    解:102a-103b

    =(10a)2-(10b)3

    =52-33

    =-2。

    例3 已知3×9m×27m=316,求m。

    我們看到,已知條件中,等號右邊冪的底數(shù)是3、指數(shù)為16,等號左邊是三個冪的乘積、底數(shù)不同。但9=32,27=33,于是9m=(32)m=32m,27m=33m。等號左邊就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘積,結(jié)果是31+5m,這時底數(shù)是3,指數(shù)是1+5m,比較等號左右兩邊,很快得到1+5m=16,即m=3。

    解:因為3×9m×27m

    =3×(32)m×(33)m

    =3×32m×33m

    =31+5m,

    所以31+5m=316。

    所以1+5m=16。

    所以m=3。

    同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一定要明白知識的來龍去脈,知其然,更知其所以然;認(rèn)識知識的本質(zhì)屬性,靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題,做到學(xué)、思、用結(jié)合。這樣,我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上才會越走越遠(yuǎn)、越學(xué)越好!

    (作者單位:南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué))

    一、學(xué)會推理,理解性質(zhì)的由來

    冪的性質(zhì)從形式上來說就是幾個公式,但我們不能只機(jī)械地記住其結(jié)論,還要理解它們是怎么推導(dǎo)出來的。對于每條性質(zhì)的探究,教材內(nèi)容都是按照“特殊、具體數(shù)的計算→發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想→結(jié)論一般化、抽象化驗證”的思路呈現(xiàn)的。

    以探究同底數(shù)冪的乘法為例,先探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪(如102×108、104×105),再探究底數(shù)是具體數(shù)值、指數(shù)是用字母表示的數(shù)的冪(如10m×10n、2m×2n),然后大膽猜想am×an=am+n。接下來就是對此猜想進(jìn)行證明,方法是回到定義中去。由冪的定義可知,am、an分別表示m個a相乘、n個a相乘,那么am×an就是(m個a相乘)×(n個a相乘),顯然等于(m+n)個a相乘,再由乘方的定義,結(jié)果就可以寫成am+n。

    再如,在探究同底數(shù)冪的除法的過程中,也是先從探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪開始的,如23÷23、23÷24,我們先后規(guī)定了零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義,并體會“規(guī)定”的合理性。有了“規(guī)定”,冪的指數(shù)范圍才擴(kuò)展到一切整數(shù)。當(dāng)然,在此過程中,我們還會意識到“零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于零”這個基本條件存在的意義。

    事實上,數(shù)學(xué)中許多結(jié)論的得出都會經(jīng)歷從特殊到一般的思考過程。同學(xué)們?nèi)绻@樣的思路來學(xué)習(xí)本章內(nèi)容,將能體會到數(shù)學(xué)知識是如何形成、生長的。

    二、分析結(jié)構(gòu),理解性質(zhì)的特點(diǎn)

    我們分析性質(zhì)am×an=am+n、am÷an=am-n以及(am)n=amn的特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)這三個式子的結(jié)構(gòu)是:等號左邊是同底數(shù)冪的乘、除、乘方運(yùn)算,而等號右邊是指數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算且底數(shù)保持不變,這實際上是將同底數(shù)冪的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成冪指數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算。它們有一個很重要的前提——“同底數(shù)”。因此,我們在對如25×(-2)7、a4×(-a)5、(s-t)3×(t-s)n等這些形式的冪進(jìn)行運(yùn)算時,必須先將底數(shù)“統(tǒng)一”。

    此外,在性質(zhì)(ab)n=an·bn中,等號左邊是先算積、后進(jìn)行乘方(可稱為積的冪),等號右邊是先進(jìn)行乘方、再算積(可稱為冪的積)。我們弄清了這里面的先后順序,就不會把(a+b)2想當(dāng)然地寫成a2+b2了。

    看來,只有把性質(zhì)的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)掌握清楚了,我們在應(yīng)用時才不會混淆知識,否則,必將錯誤百出。

    三、正反互通,理解性質(zhì)的運(yùn)用

    同學(xué)們在運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)時,一般都會熟練地從等號左邊向等號右邊進(jìn)行運(yùn)用。而從右邊到左邊,大家也應(yīng)該嫻熟運(yùn)用,做到能根據(jù)解決問題的需要,迅速將am+n、am-n、amn、anbn寫成am×an、am÷an、(am)n、(ab)n的形式,真正實現(xiàn)“正反互通”。如此,解決問題時才會得心應(yīng)手。

    下面三個問題的解決都得益于冪的運(yùn)算性質(zhì)(公式)的反向運(yùn)用,感興趣的同學(xué)可以嘗試做一做。

    例1 計算0.1252023×82024。

    在這個式子中,兩個冪的底數(shù)不同,我們首先想到將它們化成底數(shù)相同或指數(shù)相同的冪。觀察0.125與8,它們的積為1,于是,我們可將82024改寫為82023×81。

    解:原式=0.1252023×82024

    =0.1252023×82023×81

    =(0.125×8)2023×8

    =8。

    例2 已知10a=5,10b=3,求102a-

    103b。

    我們觀察已知式和所求式,可得102a=(10a)2,103b=(10b)3。此時,只需要將10a=5,10b=3整體代入即可。

    解:102a-103b

    =(10a)2-(10b)3

    =52-33

    =-2。

    例3 已知3×9m×27m=316,求m。

    我們看到,已知條件中,等號右邊冪的底數(shù)是3、指數(shù)為16,等號左邊是三個冪的乘積、底數(shù)不同。但9=32,27=33,于是9m=(32)m=32m,27m=33m。等號左邊就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘積,結(jié)果是31+5m,這時底數(shù)是3,指數(shù)是1+5m,比較等號左右兩邊,很快得到1+5m=16,即m=3。

    解:因為3×9m×27m

    =3×(32)m×(33)m

    =3×32m×33m

    =31+5m,

    所以31+5m=316。

    所以1+5m=16。

    所以m=3。

    同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一定要明白知識的來龍去脈,知其然,更知其所以然;認(rèn)識知識的本質(zhì)屬性,靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題,做到學(xué)、思、用結(jié)合。這樣,我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上才會越走越遠(yuǎn)、越學(xué)越好!

    (作者單位:南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué))

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