拼圖研究整式的乘法

趙維坤

小學(xué)里，我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形面積等圖形的面積計(jì)算，發(fā)現(xiàn)圖形的面積可以用一個(gè)表達(dá)式表示。下面，我們利用面積的表達(dá)式進(jìn)行新的研究。

請(qǐng)制作若干張3種類型的紙片：邊長(zhǎng)為a的正方形、邊長(zhǎng)為b的正方形和長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形（如圖1）。下面，我們利用這些紙片拼圖，探究整式的乘法。

用6張長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，我們可以拼出不同的圖形（圖2—圖5）。

以圖2為例，這個(gè)圖形可以看成長(zhǎng)為3a、寬為2b的大長(zhǎng)方形，面積是3a·2b；也可以看成6個(gè)小長(zhǎng)方形的和，面積是6ab。所以3a·2b=6ab，其余圖形類似。

用不同的方法計(jì)算圖形的面積，所得結(jié)果相等，從而有單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的討論。反過(guò)來(lái)，對(duì)于2a·4b，我們能通過(guò)拼出如圖6的圖形，得到它的結(jié)果為8ab，所以2a·4b=8ab。

對(duì)于2a（3a+b），我們?nèi)匀挥脙蓚€(gè)因式代表長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，拼出長(zhǎng)為（3a + b）、寬為2a的長(zhǎng)方形（如圖7）。它由6個(gè)邊長(zhǎng)為a 的正方形和2個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b 的長(zhǎng)方形拼成，所以它的面積可以表示為6a2+2ab。所以2a（3a+b）=6a2+2ab。

根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，2a（3a-b）可用長(zhǎng)為（3a-b）、寬為2a 的長(zhǎng)方形表示。如何得到（3a-b）2呢？在3a的基礎(chǔ)上減去b，我們可以采用覆蓋的方法（如圖8），未被遮蓋的部分等于大的長(zhǎng)方形的面積減去遮住的面積，所以，2a（3a-b）=6a2-2ab。

（a+b）（3a+b）可用長(zhǎng)為（3a+b）、寬為（a+b）的長(zhǎng)方形表示（如圖9），它由3個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形及4個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形拼成，面積可以表示為3a2+4ab+b2，所以（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2。

類似地，（a+b）（3a-b）可用一邊為（a+b）、另一邊為（3a-b）的長(zhǎng)方形的面積來(lái)表示（如圖10），未被遮住的面積又可表示為3a2+3ab-ab-b2，所以（a+b）（3a-b）=3a2+2ab-b2。

我們除了用紙片直觀地得出單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的結(jié)果，還可以從運(yùn)算的角度解釋這些結(jié)果的合理性。例如，利用乘法交換律，將a與4交換，并將2與4相乘，即可得到2a·4b=8ab；利用乘法分配律，可得到2a（3a+b）=2a·3a+2a·b=6a2+2ab；同樣，利用乘法分配律，將（a+b）看作一個(gè)整體，有（a+b）（3a+b）=（a+b）·3a+（a+b）·b=a·3a+b·3a+a·b+b·b=3a2+4ab+b2。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）