因式分解之十字相乘法

費(fèi)小羅

小伙伴們，你們一定聽過十字繡吧。十字繡起源于中國唐宋時(shí)期，興于明清，后傳遍世界各地，以“十字”交叉針法為主。你們一定很好奇，十字繡與因式分解有什么不解之緣呢？且聽我娓娓道來。

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中，有這樣一種類型，如：

（a+3）（a+4）=a2+4a+3a+12=a2+7a+12；

（a+3）（a-4）=a2-4a+3a-12=a2-a-12；

（a-3）（a+4）=a2+4a-3a-12=a2+a-12；

（a-3）（a-4）=a2-4a-3a+12=a2-7a+12。

小伙伴們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：結(jié)果中的二次項(xiàng)系數(shù)由原來兩個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)相乘得來，一次項(xiàng)系數(shù)由原來兩個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)相加得來，最后的常數(shù)由原來兩個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)相乘得來，即（a+p）（a+q）=a2+qa+pa+pq=a2+（p+q）a+pq（如圖1）。這個(gè)規(guī)律就是因式分解的“十字相乘法”，與十字繡中的“十字”交叉針法有異曲同工之妙。

下面，我嘗試運(yùn)用“十字相乘法”對(duì)多項(xiàng)式a2+7a+12進(jìn)行因式分解。

該多項(xiàng)式為二次三項(xiàng)式，很明顯，不能運(yùn)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。我將上述兩個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”（如圖2）。

兩個(gè)整數(shù)相乘，結(jié)果為12，有6種情況，即12=（+1）×（+12）=（-1）×（-12）=

（+2）×（-6）=（-2）×（+6）=（+3）×（+4）=（-3）

×（-4）。但上述6種情況中，相加得7的兩個(gè)整數(shù)只有（+3）和（+4），所以a2+7a+12=（a+3）（a+4），如圖3。

“十字相乘法”有個(gè)口訣：拆兩邊，湊中間，豎著拆，橫著寫。如因式分解a2-a-12，先“拆兩邊”，對(duì)“頭、尾”分解：a2通常拆成a×a，-12拆成（+3）×（-4）等；再“湊中間”，即把上面拆解的系數(shù)進(jìn)行交叉相乘后的值，再相加，看看哪種情況等于中間項(xiàng)的系數(shù)。（+3）+（-4）恰好等于-1，故a2-a-12=（a+3）（a-4）（如圖4）。

上文列舉的多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)都為1，那如果多項(xiàng)式二次項(xiàng)系數(shù)不為1呢？如多項(xiàng)式2a2-5a-12。其實(shí)啊，方法是一樣的，只是“兩邊”拆分的種類多一點(diǎn)，“湊中間”時(shí)多試試就行。對(duì)于多項(xiàng)式2a2-5a-12，2a2通常拆成2a×a或a×2a，-12拆成（-1）×（+12）或（+1）×（-12）或（-2）×（+6）或（+2）×（-6）或（-3）×（+4）或（+3）×（-4）。按圖3的方式，我們通過多次“組合”，便得到想要“湊”的數(shù)，如圖5。所以2a2-5a-12=（2a+3）（a-4）。

小伙伴們，用“十字相乘法”因式分解，除了掌握方法外，還需要一點(diǎn)耐心，特別是遇到多種組合時(shí)，要耐心地多試幾次哦，這樣才能尋找到我們要的“湊中間”的數(shù)。另外，還有一種“十字相乘法”的進(jìn)階：雙十字相乘法，如3x2+4xy-4y2+8x-8y-3，感興趣的小伙伴可以進(jìn)一步探究哦。在探究過程中，你肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

教師點(diǎn)評(píng)

數(shù)學(xué)無處不在。小作者在生活中仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)十字繡與“十字相乘法”在名稱和“外形”上的相似之處，發(fā)現(xiàn)并描述了“十字相乘法”的原理，雙向逆推，還用圖標(biāo)生動(dòng)形象地把“十字相乘法”可視化，值得大家學(xué)習(xí)。

（指導(dǎo)教師：鄭勝輝）