楊樂：他的名字被載入世界數(shù)學(xué)史冊

邵紅能

曾經(jīng)被華羅庚、陳省身親切地稱為“師弟”，少年時就立志使自己名字成為某一數(shù)學(xué)定理的命名，他，就是數(shù)學(xué)圈內(nèi)家喻戶曉的人物——楊樂。早在20世紀70年代，楊樂就在函數(shù)論領(lǐng)域取得了國際領(lǐng)先、與陳景潤的工作一起被美國數(shù)學(xué)代表團認為是當時中國兩項最主要、國際一流的數(shù)學(xué)成就。

楊樂（1939—2023），江蘇南通人，著名數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院首任院長、數(shù)學(xué)所研究員及博士生導(dǎo)師，其主要研究領(lǐng)域為復(fù)分析。他在“整函數(shù)、亞純函數(shù)的值分布理論”上有著突出的貢獻，特別在函數(shù)模分布論、輻角分布論、正規(guī)族等方面取得的一系列研究成果，被國內(nèi)外同行、學(xué)者廣泛引用。憑借突出的學(xué)術(shù)成果，楊樂曾獲全國科學(xué)大會獎、國家自然科學(xué)獎、國家科技進步獎、華羅庚數(shù)學(xué)獎、陳嘉庚數(shù)理科學(xué)獎、何梁何利獎等眾多大獎。

刻苦努力研究函數(shù)論

楊樂從小勤奮好學(xué)、刻苦努力。1950年，他考入江蘇省南通中學(xué)。初二時，楊樂對代數(shù)和幾何產(chǎn)生了濃厚的興趣；初三時，他立志要考上北京大學(xué)并準備一生從事數(shù)學(xué)研究。中學(xué)6年，2000余天，楊樂幾乎每天都會完成一二十道題目，此外，還閱讀了大量課外參考書籍，嘗試解決經(jīng)典難題。

楊樂1956年考入北京大學(xué)；1962年考取中國科學(xué)院研究生，師從著名數(shù)學(xué)家熊慶來。熊慶來是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)，帶過許多優(yōu)秀的學(xué)生，比如錢三強、華羅庚、嚴濟慈、趙九章等。20世紀60年代，70多歲的熊慶來抱病指導(dǎo)楊樂和張廣厚從事函數(shù)值分布研究。在熊慶來的指導(dǎo)下，讀研的頭3個月，楊樂就完成論文《亞純函數(shù)及函數(shù)組合的重值》，后發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報》上。1966年，楊樂從事數(shù)學(xué)研究工作。同年5月，因中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所的研究工作完全中斷，楊樂雖已完成博士論文，卻未能正常畢業(yè)。在此后四五年的時間里，楊樂沒有機會再碰數(shù)學(xué)書本，只能抽象地思考一些數(shù)學(xué)問題。1971年，周恩來總理親自過問中國科學(xué)院的工作，并肯定基礎(chǔ)理論研究的重要性，楊樂逐漸恢復(fù)研究工作。

此后，楊樂再次與張廣厚合作，首次發(fā)現(xiàn)函數(shù)值分布理論中的兩個主要概念“虧值”和“奇異方向”之間的具體聯(lián)系，為國際數(shù)學(xué)界所矚目，后來他們的這一研究成果被命名為“楊—張定理”或“楊—張不等式”。1977年2月26日，《人民日報》頭版刊發(fā)重要報道《楊樂、張廣厚研究函數(shù)理論獲得重要成果》。

1978年4月，經(jīng)中央批準，楊樂、張廣厚走出國門進行個人學(xué)術(shù)交流。1978年初，年輕的數(shù)學(xué)家楊樂和張廣厚接到瑞士阿爾弗雷德·胡貝爾教授的邀請信函，赴瑞士參加國際函數(shù)論會議。瑞士蘇黎世聯(lián)邦高等工業(yè)學(xué)校（歐美著名的大學(xué)）曾經(jīng)是大科學(xué)家愛因斯坦和愛克斯光發(fā)明人倫琴執(zhí)教的地方。楊樂、張廣厚到那里會見了幾十位國際知名數(shù)學(xué)家。在這個會議上，他們宣讀了兩篇學(xué)術(shù)報告，一篇是張廣厚的《關(guān)于整函數(shù)與亞純函數(shù)的虧值、漸近值和茹利雅方向之間關(guān)系的研究》報告，另一篇是楊樂的《整函數(shù)與亞純函數(shù)值分布論的某些結(jié)果》報告。1980年3月，美國普渡大學(xué)為歡迎楊樂、張廣厚訪美舉行了一次國際函數(shù)論會議，籌備該會時，著名函數(shù)論專家居壘欣與魏茨曼在給美國科學(xué)基金會的報告中寫道：“楊樂、張廣厚在北京領(lǐng)導(dǎo)著一個成果豐碩、欣欣向榮的學(xué)派。”

1980年，楊樂當選為中國科學(xué)院院士，是當時最年輕的院士。1982年，楊樂在國內(nèi)外高水平的數(shù)學(xué)雜志上共發(fā)表了6篇高質(zhì)量的論文。1983年，楊樂受到瑞典、芬蘭、聯(lián)邦德國邀請，前去作學(xué)術(shù)報告。1984年，楊樂應(yīng)邀到美國普林斯頓高等研究院訪問，并從事研究工作，成為中國數(shù)學(xué)界的驕傲，為國際數(shù)學(xué)界所關(guān)注。

“楊—張定理”實現(xiàn)年少夢想

“做了很多習題，接觸了許多定理。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的很多定理是以外國數(shù)學(xué)家的名字命名的，難道中國人就不能為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展作貢獻嗎？”楊樂自問。

20世紀50年代，正值國民經(jīng)濟恢復(fù)時期，國內(nèi)百廢待興，各個專業(yè)領(lǐng)域均需要大量人才，特別是重點建設(shè)項目，更急需工程師與科研人員。此時的楊樂，已經(jīng)察覺到自己對數(shù)學(xué)的熱愛，他下定決心，要將自己的所知、所學(xué)，與國家的建設(shè)需求聯(lián)系起來。

1956年，不滿17歲的楊樂考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)系。大學(xué)后半期，由于社會大環(huán)境的變化，搞學(xué)術(shù)研究被視為走“白專”路線。楊樂懷揣著小筆記本，躲進偏僻人少的教室，繼續(xù)學(xué)習數(shù)學(xué)。下放到湖北蒲圻的工地勞動時，他也不忘帶上心愛的數(shù)學(xué)書，每天干完繁重的體力活，當別人在工棚里打撲克、聊天時，他就在一旁研究數(shù)學(xué)。

長期以來，數(shù)學(xué)家對值分布論的研究構(gòu)成兩個重要領(lǐng)域，一個領(lǐng)域稱為“模分布”，研究整函數(shù)和亞純函數(shù)在整個平面上的值分布，其中的一個深刻概念稱為“虧值”；另一個領(lǐng)域稱為“幅角分布”，研究整函數(shù)與亞純函數(shù)在某些方向附近的值分布，其中的基本概念稱為“奇異方向”（如波萊爾方向）。這兩個領(lǐng)域各自都有大量的研究成果，但以往人們總認為虧值與奇異方向是兩個完全不同的概念，彼此不存在什么聯(lián)系。楊樂和張廣厚研究的項目是函數(shù)值分布理論。他們的合作研究第一次揭示了在這兩個基本概念之間存在著明確的、緊密的聯(lián)系，并對這種聯(lián)系給出了定量的表述。他們的定理指出：對于絕大多數(shù)亞純函數(shù)（即有窮正級），其虧值數(shù)目絕不能超過其奇異方向數(shù)目。對于整函數(shù)，結(jié)論還可以加強，即其虧值數(shù)絕不能超過其奇異方向數(shù)的一半，他們還舉例說明上述結(jié)果是最佳的。這一研究結(jié)果是突破性的，為值分布研究提出了新的方向。他們在這方面的研究，同時成功地解決了著名數(shù)學(xué)家海曼提出的一個問題，讓國際同行大為驚嘆。

1973年，他倆作了一次報告，初步介紹關(guān)于整函數(shù)和亞純函數(shù)值分布理論的某些結(jié)果，立即引起大家的高度重視和稱贊。我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊聽了報告后，極為興奮，認為他們的成果為函數(shù)研究開辟了一個新的方向。楊樂和張廣厚研究的函數(shù)值分布理論，像曠野幽谷中的一株梅花在風雪中怒放。1978年4月，在蘇黎士國際函數(shù)論大會上，楊樂報告了他們的研究成果，被與會的數(shù)學(xué)家稱為“驚人的成果”。美國出版的一份有關(guān)數(shù)學(xué)研究的報告評價說，他們的成果“既新穎又深刻”，與哥德巴赫猜想研究一樣是純粹數(shù)學(xué)方面“第一流的工作”。國際數(shù)學(xué)界把他們的這些成果稱為“楊—張定理”或“楊—張不等式”。

1987年，在倫敦舉辦的國際函數(shù)論大會上，楊樂被推舉為第一次大會的主席。

楊樂實現(xiàn)了年少時的夢想。

前沿學(xué)術(shù)探索數(shù)學(xué)核心力量

1964年，楊樂和張廣厚研究了函數(shù)論的一個問題，用法語寫成的論文于次年9月發(fā)表在《中國科學(xué)》。他們當時并不知道，1964年9月，在地球的另一端，英國帝國大學(xué)教授、函數(shù)權(quán)威學(xué)者瓦特·海曼在倫敦主持了一個國際函數(shù)論會議，在會上提出并收集了函數(shù)論中值得研究的問題，并出版成冊。而楊樂他們的這篇論文恰好解決了其中一個核心問題。

對此，2009年，楊樂在接受《科學(xué)時報》記者的采訪時回憶道：“當我們在研究這一問題并獲得結(jié)果時，國際學(xué)術(shù)界恰巧也正在提出這一問題但尚無研究工作，大家彼此完全不知道。我們當時與西方隔絕，這是殊途同歸?！闭缜拔乃?，1966年，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所的學(xué)術(shù)研究工作完全被中斷，直至1971年，周恩來總理過問中國科學(xué)院的工作，才開始可以作一點研究。據(jù)楊樂回憶，他們從那時才能到圖書館查文獻。在1969年出版的國際頂尖數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)學(xué)報》上，他們發(fā)現(xiàn)了美國函數(shù)論專家David Drasin的一篇論文，這篇論文引用了楊樂和張廣厚發(fā)表在1965年發(fā)表在《中國科學(xué)》上的論文內(nèi)容，而且說他們的結(jié)果解決了海曼的一個猜想。但其時的楊樂并不知道海曼的問題是什么，因為館里根本沒有進口這本書。

1975年，楊樂通過遠在美國的親屬復(fù)印了海曼的這本書，這才知道，他們在1964年秋天討論這個問題的時候，國際函數(shù)論界也同時提出這個問題。實際上，他們的研究結(jié)果的一個推論就解決了海曼的問題。David Drasin在《數(shù)學(xué)學(xué)報》上的這一長篇論文在思想和內(nèi)容上也基本上沒有超過楊樂和張廣厚1965年發(fā)表在《中國科學(xué)》上的論文。這時，他們才明白，在那個與世隔絕的年代，熊慶來老師帶領(lǐng)他們進入了函數(shù)論研究的前沿。

楊樂與張廣厚在解析函數(shù)的研究中取得一系列創(chuàng)造性的成果，如對整函數(shù)與亞純函數(shù)虧值與波萊爾方向間的聯(lián)系作了深入研究，最先發(fā)現(xiàn)并建立了這兩個基本概念之間的具體聯(lián)系；在亞純函數(shù)奇異方向進行深入研究，引進了新的奇異方向并對奇異方向的分布給出了完備的解答；對全純與亞純函數(shù)族的正規(guī)性問題進行系統(tǒng)研究，建立了正規(guī)性與不動點間的聯(lián)系；引進虧函數(shù)的概念，證明了有窮下級亞純函數(shù)的虧函數(shù)至多是可數(shù)的；與英國學(xué)者合作解決了著名數(shù)學(xué)家立特沃德的一個猜想；精確估計整函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的總虧量與虧值數(shù)目。

1974年，著名函數(shù)論專家、英國皇家學(xué)會會員奧福德教授來華訪問，要求見楊樂和張廣厚。會見時，楊樂作了一個報告，扼要介紹了成果，奧福德教授非常震驚。返回英國后，他在倫敦的函數(shù)論研討班上進行介紹，受到海曼教授的重視和關(guān)注。不久，海曼邀請楊樂赴英國訪問，可惜因故無法成行。

1976年5月，美國科學(xué)院派代表團來到中國。團長麥克萊思和其他9名團員都是國際知名的數(shù)學(xué)家，其中有華裔學(xué)者伍鴻熙。伍鴻熙認為，在國際上，函數(shù)值分布理論是具有決定性的關(guān)鍵工作之一。他用了相當高的形容詞來描述楊樂、張廣厚的工作和成果水準。麥克萊思當即表示說：“非常漂亮，非常有趣，是具有決定性的研究之一?！丙溈巳R思回國后，把這件事報告給美國的著名數(shù)學(xué)權(quán)威阿爾福斯等。當發(fā)現(xiàn)中國的青年數(shù)學(xué)家在亞純函數(shù)研究方面作出的卓越成果時，他們大為震驚：在人類歷史上最早誕生完整的十進制體系的中國，在世界上最早給出圓周率精確計算的中國，而今，一個年輕的中國數(shù)學(xué)家又在精深的函數(shù)論領(lǐng)域領(lǐng)先于世界了。

楊樂的學(xué)術(shù)論文與專著為國內(nèi)外學(xué)者廣泛引用，不少同行學(xué)者發(fā)展其方法，推廣其定理。海曼等3位著名專家1984年在《倫敦數(shù)學(xué)會會刊》上列舉復(fù)分析領(lǐng)域中亟待研究的重要問題，其中第一個問題就是要推廣楊樂1982年建立的一條定理。

在楊樂眾多的研究成果中，還應(yīng)提及的是楊樂對李特伍德猜想的研究。英國數(shù)學(xué)大師李特伍德1930年提出的一個猜想，歷半個多世紀懸而未決，而楊樂與海曼合作的研究“角域內(nèi)全純函數(shù)的增長與取值”宣告了李特伍德猜想的解決。后來，楊樂對于亞純函數(shù)導(dǎo)數(shù)總虧量的估計又給出了當時國際上最好的結(jié)果。楊樂在國內(nèi)倡導(dǎo)了有界平均振動函數(shù)（BMO）、復(fù)動力系統(tǒng)等若干國際上熱門的前沿研究領(lǐng)域。所有這些，形成了楊樂對復(fù)分析系統(tǒng)的貢獻。他的專著《值分布論及其新研究》，總結(jié)了當時國內(nèi)外值分布論研究的最新進展與成果，大多數(shù)內(nèi)容首次被寫入書中，已成為該領(lǐng)域的權(quán)威性文獻。

楊樂一輩子學(xué)數(shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、教授數(shù)學(xué)，把一生都獻給了數(shù)學(xué)。2022年7月，第九屆世界華人數(shù)學(xué)家大會授予楊樂數(shù)學(xué)貢獻獎，以表彰楊樂在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的突出成就及其為推動中國數(shù)學(xué)發(fā)展作出的重大貢獻。文