學(xué)霸充能：破解加減法豎式謎題

2月6日 ? 星期二 ? 天氣：中雪

今天是假期奧數(shù)課的最后一次課，剛一上課老師就宣布了這個好消息。因為要過年了，大家總要休息休息。就在我想要蹦起來歡呼的時候，一摞卷子傳到了我的桌子上。我心想：“這還叫休息嗎？也許老師家的休息日都是這么過的吧？”

仔細(xì)一看全是豎式，不禁竊喜，我是未來的超級高智商陸大科學(xué)家，怎能被這小小的豎式難倒？這不是我二年級做的題嗎？只聽見學(xué)霸精靈說：可不要輕敵！加減法豎式雖然很基礎(chǔ)，卻十分考驗?zāi)愕木C合能力。你一定要重點(diǎn)掌握首末位分析和進(jìn)位錯位分析的方法。另外，你還要學(xué)會運(yùn)用枚舉法，否則你會惹上大禍。說完學(xué)霸精靈又一次失去了能量。

天啊，讓豎式來得更猛烈些吧！

1492年，哥倫布率領(lǐng)船隊發(fā)現(xiàn)了“新大陸”，到達(dá)“新大陸”的當(dāng)晚，他們舉行了盛大的慶?；顒印Ｔ谘鐣顭狒[的時候，哥倫布舉杯說道：“今年是1492年，我們要永遠(yuǎn)記住這個數(shù)字。我現(xiàn)在給大家出一道和1492有關(guān)的數(shù)學(xué)題，誰能答出來，誰就會獲得豐厚的獎賞?！?/p>

哥倫布的問題是這樣的：把圖中的豎式填寫完整，使得填入的數(shù)字之和最大。答對的船員會得到與這個最大值數(shù)量相同的金幣。最后，一名聰明的船員拿到了金幣。請問：這個船員得到了多少枚金幣？

一星

1.

方法一：先看個位，□+8的個位數(shù)字是2，則個位的□=4，□+8=12，向十位進(jìn)了1。

再看十位，8+□+1的個位數(shù)字是2，則十位的□=3，8+□+1=12，向百位進(jìn)了1。

最后看百位，百位數(shù)字加1要進(jìn)位，只能是9+1=10，所以加數(shù)的百位數(shù)字為9。

方法二：發(fā)現(xiàn)百位往千位有進(jìn)位，不然不會加出來得一個四位數(shù)。

再根據(jù)“兩數(shù)相加，至多進(jìn)1”，就可以判斷和的千位是1。

同理，十位往百位也有進(jìn)位，否則加數(shù)的百位即使是9，也不可能往千位進(jìn)1。

由此可知，百位就是9加上進(jìn)位1得“10”。從而得出十位填3，個位填4。

2.

先看個位，7-6=□，所以空格中填1。再看十位，13一□=8，所以空格中填5，向百位借1。

然后看百位，12-1-6=□，所以空格中填5，向 千位借1。

因為借位最多借1，所以被減數(shù)的萬位一定是1。

考慮到被減數(shù)的百位向千位借了1，所以被減數(shù)的前兩位一定是10，減數(shù)的千位是9。

這個豎式包括加法和減法兩個部分。

首先可以確定前面兩個數(shù)位的空格：和的千位是1，百位向千位進(jìn)了1，一個加數(shù)的百位是9，和的百位是0，十位向百位進(jìn)了1，所以十位上的空格中不是0。那么就只能是9了，且個位向十位進(jìn)1。個位要向十位進(jìn)1，同1相加的只能是9，因而個位上最下面的空格中為0。

先來看個位上的空格。由于10-□=5，所以空格中填5。向十位借1。觀察千位和百位，可以確定百位上的空格中填9，且十位向前借1。然后觀察十位上的空格，可知兩個空格中數(shù)字的和是18，所以這兩個空格中的數(shù)都只能是9。

43枚

要使填入的6個數(shù)字之和最大，就應(yīng)該盡量使每個數(shù)位上的加法都向前進(jìn)1。

先看個位，個位要往前進(jìn)1，兩個空格中數(shù)的和就應(yīng)該是12。

同理，由于個位往十位上進(jìn)1，十位上兩個空格中數(shù)的和就應(yīng)該是18。

同理，百位上空格中數(shù)字之和應(yīng)該是13.從而最大值為12+18+13=43。

所以，那個最聰明的船員拿到了43枚金幣。

二星

1.

先看個位，□+3個位數(shù)字是2，說明□=9，□+3=12，向十位上進(jìn)了1。

再看十位，3+□+1的個位數(shù)字是3，說明□=9，3+□+1=13，也向百位上進(jìn)了1。

最后看百位，□+3+1=5，所以□=1。

38

先看百位，十位往百位最多進(jìn)2，因此第一個加數(shù)的百位至少是4，至多是6，那么就只能是5，而且十位向百位進(jìn)1。

再看十位，個位往十位最多進(jìn)2，最少進(jìn)1，所以十位兩個方框的和等于12或者13，但1、3、5、7、9中沒有任何兩個數(shù)的和等于13，因此只能是12，可知個位往十位進(jìn)2。

因此，這6個口中所填數(shù)的和為：5+12+21=38。

例如：

和的百位數(shù)○是十位相加進(jìn)上來的，所 以○一定表示1。

十位上只有一個□，而只有當(dāng)□取9，且個位往十位上進(jìn)1時，才能滿足算式。

所以□表示9，個位向十位進(jìn)1。那么△表示的就一定是8了。

4.

先看被減數(shù)萬位，由于空格中最大只能填5，且下面差的萬位也是5，因此，被減數(shù)萬位的空格中應(yīng)該填5。

個位上的減法沒有借位，再看十位，兩個數(shù)的差是2，那么這兩個數(shù)只能是4和2或者3和1。

這兩種情形十位都沒有向百位借1.然后看百位。由于十位沒有向百位借1，所以7下面的空格中應(yīng)填4。

由于每個數(shù)字只能填一次，且4已經(jīng)用過了，所以十位上的兩個空格中不可能填4和2，只能填3和1.剩下最后一個空格中填2。

三星

1243 ? ?765

兩個算式都是四位數(shù)加三位數(shù)，而第二個算式中的加數(shù)恰好是第一個算式中加數(shù)反著寫。所以和的千位數(shù)字主要是由四位的加數(shù)來確定的。

因此第一個算式中的“奧”只能取1或2，而第二 ?個算式中的“克”只能取2或3。

再結(jié)合百位不難看出，第一個算式和的百位為0，而“林”和“運(yùn)”是兩個不同的數(shù)，相加不可能是0，所以百位一定要向千位進(jìn)1，從而“奧”只能是1。

從第二個算式，可知“運(yùn)”代表7，從第一個算式， 可得“林”代表2。

用同樣的方法可求出其他的漢字所代表的數(shù)字，最后得到如下算式：

最小4800；最大6600

（1）算式的結(jié)果要最小，則加數(shù)的最高位要最小，且最高位盡量沒有進(jìn)位，那么兩個加數(shù)的千位均為2，兩個加數(shù)的百位最小為2和4；又根據(jù)奇偶分析，得個位三個數(shù)字之和為20，十位三個數(shù)字之和為18，則和的百位為8；經(jīng)嘗試，發(fā)現(xiàn)有2種填法符合，所以算式的結(jié)果最小是4800。

（2）算式的結(jié)果要最大，則加數(shù)的最高位要盡量大，又根據(jù)奇偶分析，得個位三個數(shù)字之和為20，十位三個數(shù)字之和為18，且8+8+2=18，則百位不向千位進(jìn)位；若個位是8、8、4，十位數(shù)字只能是4、6、8或6、6、6，發(fā)現(xiàn)結(jié)果最大是6600；若個位是8、6、6，十位數(shù)字只能是4、6、8，發(fā)現(xiàn)，結(jié)果最大是4800；所以算式的結(jié)果最大是6600。