從動(dòng)腦思考轉(zhuǎn)為動(dòng)手思考的代數(shù)變形

趙建平 方秀娟

摘要：文章以巧用拼圖因式分解為例，思考如何將初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的動(dòng)腦思考一步步轉(zhuǎn)向動(dòng)手思考，再?gòu)膭?dòng)手操作里逆向抽象出簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)模型，從不同紙片的拼接或者疊放的探究來(lái)解決代數(shù)變形問(wèn)題，對(duì)基本圖形的拼接、疊加和優(yōu)化，將初中數(shù)學(xué)中的十字相乘法分解因式巧妙轉(zhuǎn)化為拼圖游戲課.通過(guò)抓住面積不變的關(guān)鍵點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作并深度思考，從而在圖形的變化探尋中感受代數(shù)式變形的奧秘，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)其核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：動(dòng)腦思考；動(dòng)手思考；代數(shù)變形；拼圖建構(gòu)；語(yǔ)言轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0053-03

浙教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)教材中的因式分解，針對(duì)十字相乘法的教學(xué)篇幅很少而且內(nèi)容很淺，但高中及后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)這方面的要求卻比較高.為更好掌握十字相乘法分解因式，嘗試用拼圖游戲的思路來(lái)設(shè)計(jì)本課，讓學(xué)生在抽象的代數(shù)變形中將動(dòng)腦思考轉(zhuǎn)變?yōu)榭刹僮鞯膭?dòng)手思考[1].

1 設(shè)計(jì)動(dòng)腦思考解決不了的劣構(gòu)問(wèn)題

七年級(jí)學(xué)生對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式還不能因式分解，教材中只對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的整式采用十字相乘法分解，課前設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生不能解決的問(wèn)題，利用“挖坑”的學(xué)習(xí)法激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引發(fā)其動(dòng)手思考.

例1把多項(xiàng)式3a2+7ab+2b2因式分解.

在學(xué)生一籌莫展時(shí)，直接給出圖片信息作為輔助.已有面積分別為a×a，b×b，a×b的A型、B型、C型紙片若干，拼成圖形如右圖所示，根據(jù)圖片信息，思考能否幫助完成剛才的因式分解問(wèn)題.

觀察圖1可以得出，長(zhǎng)方形恰由3個(gè)A型、2個(gè)B型的正方形紙片以及7個(gè)C型的長(zhǎng)方形紙片構(gòu)成，面積即為3a2+7ab+2b2，同時(shí)長(zhǎng)方形的面積也可以表示為（3a+b）（a+2b），即為長(zhǎng)與寬的乘積，所以3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）.根據(jù)因式分解時(shí)定義，此即為因式分解的結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在回憶已有的因式分解方法（提取公因式法、公式法等）的基礎(chǔ)上，思考當(dāng)遇到已有的知識(shí)不能解決的問(wèn)題時(shí)如何更進(jìn)一步地探究.圖形信息的轉(zhuǎn)換之間，可以直接讀出代數(shù)語(yǔ)言作為結(jié)論，圖形的語(yǔ)言信息究竟還可以有哪些規(guī)律性的結(jié)論幫助我們進(jìn)行代數(shù)上的分解，觸發(fā)了對(duì)以上拼圖問(wèn)題的進(jìn)一步的思考.

2 搭建可操作性強(qiáng)的動(dòng)手思考平臺(tái)

通過(guò)有啟發(fā)的嘗試與探究，巧用拼圖解決了較為簡(jiǎn)單的二次三項(xiàng)式因式分解后，通過(guò)層層推進(jìn)有梯度的三個(gè)學(xué)生活動(dòng)在拼圖中進(jìn)行技巧探尋，從而搭建了許多動(dòng)手思考的平臺(tái)，讓學(xué)生利用提供的“支架”進(jìn)行深度思考.

例2按要求完成下列活動(dòng)：

活動(dòng)1：回憶完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2對(duì)應(yīng)的幾何圖形.

分析學(xué)習(xí)過(guò)程中其實(shí)已經(jīng)涉及圖形語(yǔ)言與代數(shù)信息的關(guān)聯(lián)探討.圖2是邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，可以拆解成1個(gè)a×a，1個(gè)b×b的正方形以及2個(gè)a×b的紙片.該公式從左往右看為整式乘法，從右往左看即為因式分解，所以若能倒推先得到圖形的面積構(gòu)成及拼法，就能通過(guò)從外圍邊長(zhǎng)反推因式分解結(jié)果.

活動(dòng)2：如圖3，思考1個(gè)a×a、4個(gè)b×b的正方形以及4個(gè)a×b的紙片還可以拼成怎樣的規(guī)則圖形，得到怎樣的等式.

活動(dòng)3：想要拼得再大一點(diǎn)的正方形，至少還需要不同類型的紙片多少?gòu)?，?duì)于不同小正方形的紙片數(shù)量各有什么要求？（各類正方形紙片數(shù)量都是平方數(shù)1，4，9，……）

活動(dòng)4：有3張A型（a×a），4張B型（b×b），5張C型（a×b）紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接），求拼成的正方形邊長(zhǎng)的最大值.

分析在得到了拼成正方形所需的小正方形數(shù)量上的規(guī)律后，范圍內(nèi)只有1張A型、4張C型紙片的數(shù)量是滿足要求的，深化學(xué)生對(duì)于拼圖過(guò)程中數(shù)量規(guī)律的理解.

活動(dòng)5：分別選取適當(dāng)數(shù)量的A型（a×a）、B型（b×b）、C型（a×b）紙片，拼出一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為（a+2b）和（a+b）的長(zhǎng)方形，求需要A型、B型、C型紙片各自的張數(shù)，并思考如何擺放.

設(shè)計(jì)意圖：從拼成正方形推廣到更為普遍的長(zhǎng)方形，一步步探究拼圖過(guò)程中的數(shù)量規(guī)律（正方形數(shù)量各為平方數(shù)）和位置規(guī)律（相等邊貼著放，正方形對(duì)角放，定邊長(zhǎng)再平移）.基本拼圖規(guī)律的總結(jié)，讓之后深入運(yùn)用與問(wèn)題思考有跡可循.

3 拓展多維開放的動(dòng)手思考空間

通過(guò)不同的動(dòng)手嘗試與思考，解決拼圖過(guò)程的思維阻焊點(diǎn).本課例中設(shè)計(jì)三個(gè)有深度問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生多角度去思考，拓展了更加開放的動(dòng)手思考的空間，讓學(xué)生進(jìn)行從圖形變化到代數(shù)變形的自我建構(gòu)[2]，從而利用“支架”進(jìn)行深度思考.

例3完成下列問(wèn)題：

問(wèn)題1：思考a2+5ab+6b2的因式分解結(jié)果.

分析1張a×a，6張b×b的正方形紙片擺放位置需要先確定，后者就有1×6，6×1，2×3，3×2幾種不同位置情況，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，當(dāng)填補(bǔ)部分需要a×b的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)剛好為5個(gè)時(shí)可以判斷該種擺放方式符合要求.利用分類討論的思想進(jìn)行具體分析.顯然，第三、四兩種情況剛好滿足拼圖要求.此時(shí)因式分解的結(jié)果為a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）或a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b）.

設(shè)計(jì)意圖：圖5通過(guò)分類討論面積為a2與b2的正方形的擺放位置去湊剩余部分滿足中間項(xiàng)5ab的做法，類比于用十字相乘法因式分解中的“拆兩頭，湊中間”來(lái)驗(yàn)證的思想.

問(wèn)題2：能否用適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型卡片，拼成一個(gè)面積為2a2+3ab+3b2的長(zhǎng)方形.

分析圖6不論兩類正方形的位置怎么擺放，所需要面積為a×b的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)都不能剛好為三個(gè)，因此無(wú)法用拼圖所得.

設(shè)計(jì)意圖：若二次三項(xiàng)式無(wú)法進(jìn)行因式分解，進(jìn)而對(duì)應(yīng)面積的長(zhǎng)方形不可能通過(guò)拼圖所得.發(fā)現(xiàn)了這一因式分解的驗(yàn)證依據(jù)，進(jìn)一步引申對(duì)長(zhǎng)方形面積的思考：即用來(lái)拼圖的正方形與長(zhǎng)方形紙片張數(shù)有一定的數(shù)量要求.通過(guò)問(wèn)題循序漸進(jìn)地拋出與解決，慢慢引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并探究拼圖過(guò)程中的規(guī)律.

問(wèn)題3：若取A型、B型、C型卡紙片若干張（三種紙片都要取到），拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為4a2+mab+b2，求m的值．

設(shè)計(jì)意圖：小組合作的形式，讓學(xué)生發(fā)散性地對(duì)得到的知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證與思考，在組內(nèi)合作討論、組間交流學(xué)習(xí)過(guò)程中，進(jìn)一步深化對(duì)應(yīng)用性知識(shí)的理解.

4 反思與建構(gòu)動(dòng)手思考后的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)小組合作及動(dòng)手操作中積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，提煉拼圖與解決問(wèn)題中的爬坑經(jīng)驗(yàn).本課例中的問(wèn)題思考，正是反思與建構(gòu)動(dòng)手思考后的理論感悟，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)上遷移應(yīng)用[3].

例4問(wèn)題思考：對(duì)下列多項(xiàng)式a2-ab-2b2進(jìn)行因式分解.

分析回憶平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2對(duì)應(yīng)圖形的由來(lái)，如圖7，若長(zhǎng)方形的面積表達(dá)式中出現(xiàn)負(fù)號(hào)，巧用割補(bǔ)法把不規(guī)則圖形通過(guò)先切割、再找等邊進(jìn)行拼接組成規(guī)則圖形即可得到a2-ab-2b2=（a+b）（a-2b）.

設(shè)計(jì)意圖：負(fù)號(hào)的引入，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想平方差公式推導(dǎo)過(guò)程中割補(bǔ)法的運(yùn)用.從不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的化歸思想，以及從遇到問(wèn)題到方法找尋的思考探究過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合、層層遞進(jìn)的美妙感.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)先給學(xué)生設(shè)計(jì)用動(dòng)腦思考無(wú)法直接解決的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突后創(chuàng)新，再搭建讓學(xué)生操作的動(dòng)手思考平臺(tái)，進(jìn)而逐步啟發(fā)與拓展多維的動(dòng)手思考空間，最后進(jìn)行理論提煉后積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.本課例通過(guò)拼圖，利用給定面積的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想中用拼圖進(jìn)行因式分解，通過(guò)“外拼”與“內(nèi)割”總結(jié)不同類圖形的拼接規(guī)律，巧借拼圖將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言進(jìn)行了結(jié)合，讓多維的圖形變化歸一成簡(jiǎn)約的代數(shù)變形表達(dá)，從而在數(shù)學(xué)動(dòng)手操作中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的初中數(shù)學(xué)教學(xué)變革[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（1）：2-5.

[2] 陶明.PISA數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)與我國(guó)數(shù)學(xué)教育測(cè)評(píng)比較探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2021（7）：90-92.

[3] 陸卓濤，安桂清.學(xué)科實(shí)踐的內(nèi)涵、價(jià)值與實(shí)現(xiàn)路徑[J].課程·教材·教法，2022（9）：73-77.

［責(zé)任編輯：李璟］