趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)的樽海鞘群與蝴蝶混合優(yōu)化算法

黃鑫宇 馬寧 付偉 季偉東 亓文鳳

摘 要：針對蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）易陷入局部最優(yōu)，且收斂速度慢和尋優(yōu)精度低等問題，提出了一種趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)的樽海鞘群與蝴蝶混合優(yōu)化算法（hybrid optimization algorithm for salp swarm and butterfly with reverse mutation towards optimization learning，OMSSBOA）。引入柯西變異對最優(yōu)蝴蝶個體進(jìn)行擾動，避免算法陷入局部最優(yōu)；將改進(jìn)的樽海鞘群優(yōu)化算法（salp swarm algorithm，SSA）嵌入到BOA，平衡算法全局勘探和局部開采的比重，進(jìn)而提高算法收斂速度；利用趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)策略擴(kuò)大算法搜索范圍并提升解的質(zhì)量，進(jìn)而提高算法的尋優(yōu)精度。將改進(jìn)算法在10種基準(zhǔn)測試函數(shù)上進(jìn)行仿真實驗，結(jié)果表明，改進(jìn)算法具有較好的尋優(yōu)性能和魯棒性。

關(guān)鍵詞：蝴蝶優(yōu)化算法；樽海鞘群優(yōu)化算法；柯西變異；趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)；領(lǐng)導(dǎo)者策略

中圖分類號：TP301?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-3695（2024）03-012-0721-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.07.0328

Hybrid optimization algorithm for salp swarm and butterfly with

reverse mutation towards optimization learning

Huang Xinyu，Ma Ning，F(xiàn)u Wei，Ji Weidong，Qi Wenfeng

（School of Computer Science & Information Engineering，Harbin Normal University，Harbin 150025，China）

Abstract：To address the problems of the butterfly optimization algorithm，such as include vulnerability to local optima，low optimization accuracy and slow convergence speed，this paper proposed a hybrid optimization algorithm for salp swarm and butterfly with reverse mutation towards optimization learning.The algorithm introduced Cauchy mutation to disturb the optimal butterfly individual to avoid the algorithm falling into local optimization.Embedding the improved salp swarm algorithm（SSA） into BOA，it adjusted the proportion of global exploration and local mining，thereby enhancing the algorithms convergence speed.Using the reverse mutation towards optimization learning strategy，it enhanced the algorithms search space and improved the quality of solutions，consequently bolstering its overall optimization accuracy.The experimental results obtained from conducting simulations on 10 benchmark functions，show the exceptional optimization performance and robustness of the improved algorithm.

Key words：butterfly optimization algorithm；salp swarm algorithm；Cauchy mutation；reverse mutation towards optimization learning；leadership strategy

0 引言

通常情況下，優(yōu)化算法可以分為基于梯度和基于非梯度兩類?；谔荻鹊乃惴ɡ眠B續(xù)或部分連續(xù)的目標(biāo)函數(shù)以及它的梯度信息來調(diào)整搜索方向和步長，以實現(xiàn)優(yōu)化過程的調(diào)整。由于找到一個可解決各種復(fù)雜問題的目標(biāo)函數(shù)極其困難，所以無須任何連續(xù)目標(biāo)函數(shù)的非梯度方法開始作為可替代的搜索技術(shù)被廣泛使用，其中最重要的方法之一是元啟發(fā)式算法。在過去的十年里，受自然現(xiàn)象、社會行為或物理規(guī)則所啟發(fā)的元啟發(fā)式技術(shù)已廣泛流行。

蝴蝶優(yōu)化算法（BOA）是Arora等人［1］于2019年提出的一種模擬蝴蝶覓食和交配行為的新群智能優(yōu)化算法，在理想狀態(tài)下，BOA中每只蝴蝶均具備可相互吸引彼此香味以及朝著香味最濃的蝴蝶移動從而散發(fā)更多香味的兩個特點。研究表明，BOA在求解非約束常規(guī)數(shù)學(xué)函數(shù)方面具有顯著的性能，但也存在群智能優(yōu)化算法的共性問題，如全局勘探能力差且易陷入局部最優(yōu)。針對這些問題，很多學(xué)者對此不斷進(jìn)行改進(jìn)。Long等人［2］引入基于logistic模型的動態(tài)慣性權(quán)重作為第一策略，對位置更新方程進(jìn)行了修正。Bendahmane等人［3］引入了一種基于交叉算子的新變體xBOA，在全局位置更新時進(jìn)行突變，提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。Xia等人［4］引入正弦余弦算子在局部位置更新時進(jìn)行突變，從而提高了算法的局部開采能力。Mortazavi等人［5］開發(fā)一種新的模糊決策策略，并引入一種新的輔助概念“虛擬蝴蝶”，以提高標(biāo)準(zhǔn)BOA的尋優(yōu)性能。Fan等人［6］在BOA基礎(chǔ)上引入新的香味系數(shù)，并在全局勘探和局部開采階段引入新的迭代和更新策略，以此來提高算法的搜索精度和減少算法的迭代次數(shù)。Li等人引入反向?qū)W習(xí)策略以提高BOA種群多樣性。Xu等人將BOA同黑寡婦算法進(jìn)行混合，從而避免算法陷入局部最優(yōu)。徐杰等人通過拉丁超立方抽樣種群初始化策略提高BOA的全局勘探能力。劉慧等人通過將BOA和粒子濾波算法結(jié)合，解決粒子多樣性減少等問題。上述算法均使得BOA的整體性能有所提升，但算法仍需花費大量時間去搜索全局最優(yōu)解，對于BOA易早熟收斂、勘探和開采比例不平衡等問題還需要進(jìn)行更多深入研究。

1 蝴蝶優(yōu)化算法及其局限性

1.1 蝴蝶優(yōu)化算法

蝴蝶優(yōu)化算法受蝴蝶覓食和交配行為的啟法，在蝴蝶飛行的過程中，蝴蝶會根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)產(chǎn)生一定強(qiáng)度的香味，且蝴蝶之間能夠感知和區(qū)分不同的香味濃度。假設(shè)蝴蝶產(chǎn)生的香味濃度與它們的適應(yīng)度值成正比，蝴蝶個體的適應(yīng)度值會隨著位置更新而發(fā)生相應(yīng)變化。當(dāng)一只蝴蝶探測到比自身香味更濃烈的蝴蝶個體時，它就會向其所在方向移動，該階段被稱為全局勘探。相反，如果蝴蝶探測不到該區(qū)域有比自身香味更濃烈的蝴蝶個體時，就會在該區(qū)域隨機(jī)移動，該階段被稱為局部開采。香味濃度的計算公式為

fi=cIa（1）

其中：f為香味的感知強(qiáng)度；c為感官模態(tài)；I為刺激濃度，受蝴蝶個體適應(yīng)度值影響；a為依賴于模態(tài)的冪指數(shù)。在BOA中，通常設(shè)置a=0.1，c=0.01。在極端的情況下，a=1表示第i只蝴蝶散發(fā)的香味信息可以全部被種群內(nèi)的其他蝴蝶個體感知，a=0表示第i只蝴蝶散發(fā)的香味信息不能被其他蝴蝶感知。

蝴蝶的搜索模式分為兩個階段：

a）全局勘探階段。蝴蝶個體在飛行過程中散發(fā)香味，且每只蝴蝶會根據(jù)嗅到的香味濃度朝濃度最強(qiáng)的蝴蝶個體趨近。該階段位置更新公式定義為

2 趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)樽海鞘群與蝴蝶混合優(yōu)化算法

2.1 柯西變異

傳統(tǒng)的BOA是通過自身香味在搜索范圍里彼此交互信息來尋找食物源，這些香味與其適應(yīng)度具有相關(guān)性。由1.2節(jié)可知，在BOA全局勘探過程中，如若最好的蝴蝶被困在任何局部最小值中，將會有近80%的蝴蝶被其吸引，從而陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致算法過早收斂。為解決蝴蝶個體的盲目跟隨性問題，在BOA全局勘探階段引入柯西變異?？挛髯儺愔饕每挛鞣植己瘮?shù)生成的隨機(jī)數(shù)來實現(xiàn)其變異操作。Cauchy分布函數(shù)為

圖2為柯西分布函數(shù)的概率密度圖像，圖中柯西分布為厚尾分布，其概率密度函數(shù)呈長尾狀態(tài)，這種厚尾性表明柯西變異策略具有較高概率跳出局部最優(yōu)解，并為其繼續(xù)探索全局最優(yōu)解提供了可能性?？挛鞣植己瘮?shù)在峰值處有較高的概率密度，但隨著距離峰值越遠(yuǎn)，概率密度下降的速度相對較慢，趨向于零的速度也較慢。這種特性使得柯西分布能夠生成與原點相距較遠(yuǎn)的隨機(jī)數(shù)，具有較強(qiáng)的擾動能力，變異后的個體也具備快速跳出局部極值的能力。利用柯西分布函數(shù)特征對最優(yōu)蝴蝶個體（g*）進(jìn)行柯西變異，增加其跳出局部極值的能力，避免其成為局部最優(yōu)解而吸引其他蝴蝶個體陷入局部區(qū)域。當(dāng)其跳出當(dāng)前位置成功轉(zhuǎn)移到其他位置后，被其吸引的其他蝴蝶個體可以在新區(qū)域內(nèi)搜索是否存在更優(yōu)的解，一定程度上緩解了蝴蝶個體的盲目性，提高了BOA的收斂精度。本文根據(jù)式（6）對最優(yōu)蝴蝶個體（g*）進(jìn)行變異處理。受文獻(xiàn)的啟發(fā)，將慣性權(quán)重因子ω同柯西變異相結(jié)合，用來調(diào)節(jié)變異的擾動程度，Tmax為最大迭代次數(shù)。

2.2 改進(jìn)的樽海鞘群算法

通過柯西變異策略對最優(yōu)蝴蝶個體（g*）進(jìn)行擾動，大大減少了由BOA中最優(yōu)蝴蝶個體（g*）被困在局部最小值導(dǎo)致的其他蝴蝶個體被其吸引陷入局部最優(yōu)的情況。柯西變異策略的引入雖提高了BOA跳出局部最優(yōu)的能力，但整體性能提高幅度不大。因此要想從根本上提高算法性能，還要著重于平衡全局勘探和局部開采在搜索過程中所占的比重。在群智能優(yōu)化算法中，算法在迭代初期通過進(jìn)行全局勘探廣泛搜索整個解空間，從而確定全局最優(yōu)解的大致范圍，局部開采需要在算法確定全局最優(yōu)解大致位置后，對其所在的局部區(qū)域進(jìn)行精準(zhǔn)搜索和調(diào)整，從而快速找到全局最優(yōu)解。在BOA中，由于切換概率P預(yù)定的常數(shù)值不變，算法在搜索過程中很容易出現(xiàn)搜索錯誤現(xiàn)象，即算法在通過全局勘探已經(jīng)確定全局最優(yōu)解的大致范圍后的情況下，仍然選擇進(jìn)行全局勘探，而非局部開采。在算法搜索過程中，局部開采所占比重過少會導(dǎo)致算法找到全局最優(yōu)解的時間過長甚至找不到全局最優(yōu)解。為解決由于切換概率P恒定而引起B(yǎng)OA進(jìn)行全局勘探和局部開采比重不平衡的問題，本文將改進(jìn)后的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略嵌入BOA的局部開采階段，利用領(lǐng)導(dǎo)者策略具備的動態(tài)調(diào)整性來平衡BOA進(jìn)行全局勘探和局部開采的比重，減少算法的尋優(yōu)時間，提高算法的收斂速度。

樽海鞘群算法（salp swarm algorithm，SSA）是Mirjalili等人［12］于2017年提出的一種用于解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的新型算法。該算法的主要思想來源于樽海鞘的群聚行為，且算法的適應(yīng)度值取決于食物資源的質(zhì)量。在全局勘探階段，SSA選取適應(yīng)度最高的個體作為領(lǐng)導(dǎo)者，而領(lǐng)導(dǎo)者通常會選擇一條最短路徑，帶領(lǐng)其他樽海鞘前往食物源，這一過程就是算法尋找全局最優(yōu)解的過程。在局部開采階段，領(lǐng)導(dǎo)者可以引導(dǎo)群體成員集中在具有潛力的區(qū)域進(jìn)行更深入的搜索和利用，以加快優(yōu)化過程的收斂速度。這種局部開采方式有助于集中資源和精力來發(fā)現(xiàn)更優(yōu)的局部解，并在全局和局部之間實現(xiàn)平衡。SSA與BOA通過恒定概率P改變搜索狀態(tài)不同，其領(lǐng)導(dǎo)者策略具備動態(tài)調(diào)整性，能根據(jù)當(dāng)前環(huán)境條件和群體狀態(tài)適時地調(diào)整全局勘探和局部開采的比例。在搜索初始階段，領(lǐng)導(dǎo)者會更加側(cè)重于全局勘探，以探索更廣闊的解空間。在搜索后期，隨著迭代次數(shù)的增加，領(lǐng)導(dǎo)者逐漸增加局部開采的比例，以便更加精準(zhǔn)地尋找最優(yōu)解。

近幾年，SSA開始用于同其他群智能優(yōu)化算法進(jìn)行混合，混合后算法兼?zhèn)涠邇?yōu)點，可以更好地提高算法尋優(yōu)性能。如Fan等人將SSA的收斂因子引入鯨魚優(yōu)化算法的包圍獵物階段，從而提高算法的開采能力。試想將SSA和BOA兩種算法進(jìn)行混合，利用SSA中領(lǐng)導(dǎo)者策略的動態(tài)調(diào)整性改善BOA中切換概率P恒定導(dǎo)致的算法搜索比重不平衡的問題，從而達(dá)到提高算法的尋優(yōu)性能和收斂速度的目的。因此，本文將領(lǐng)導(dǎo)者策略嵌入到BOA局部開采階段后，有效增加了BOA進(jìn)行局部開采的比重，彌補了由BOA自身局限性導(dǎo)致算法在搜索過程中全局勘探所占比重大而局部開采所占比重小的問題，提高了算法整體的收斂速度。領(lǐng)導(dǎo)者策略具體位置更新公式為：在BOA局部開采（r3>p）的前提下，當(dāng)c3≤0.5時領(lǐng)導(dǎo)者執(zhí)行式（7）；當(dāng)c3>0.5時領(lǐng)導(dǎo)者執(zhí)行式（8）。

選取表1中典型多峰測試函數(shù)進(jìn)行消融測試，以證明改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略具備有效性。測試中種群數(shù)量為30，迭代次數(shù)為500。圖3（a）為在BOA中僅加入領(lǐng)導(dǎo)者策略（SSBOA）和BOA的收斂曲線對比。如圖3（a）所示，與BOA相比，SSBOA具備更好的收斂精度和更少的迭代次數(shù)，這表明領(lǐng)導(dǎo)者策略所具備動態(tài)調(diào)整性在嵌入BOA中后可以有效平衡全局勘探和局部開采的比重，減少算法搜索到全局最優(yōu)解的時間。圖3（b）為在BOA中僅加入改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略（BSSBOA）同BOA的收斂曲線對比。如圖3（b）所示，同SSBOA相比，BSSBOA搜索到全局最優(yōu)解所用的迭代次數(shù)更少，這表明引入尋優(yōu)者策略后，領(lǐng)導(dǎo)者在最優(yōu)解附近優(yōu)先搜索可以加快算法的收斂速度。

綜上所述，將改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略同BOA進(jìn)行混合，改善了算法全局勘探與局部開采效率不平衡的問題，進(jìn)而提升了算法的整體性能。

2.3 趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)

標(biāo)準(zhǔn)BOA中，蝴蝶的位置更新方式是通過在每次迭代時計算蝴蝶個體適應(yīng)度值并與上一次迭代時的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，選擇適應(yīng)度值最好的蝴蝶個體進(jìn)入下一次迭代，但蝴蝶個體位置更新較隨機(jī)且位置變化幅度不大，這便會導(dǎo)致算法后期收斂速度較慢。眾所周知，群智能優(yōu)化算法的迭代過程是通過搜索區(qū)域的變換來尋找最優(yōu)解的過程，其中反向?qū)W習(xí)（opposition-based learning，OBL）［14］是實現(xiàn)區(qū)域變換搜索的一種模式。反向?qū)W習(xí)的中心思想是求出問題中可行解的反向解，并對可行解和反向解同時進(jìn)行評估，篩選出其中適應(yīng)度值最優(yōu)的解進(jìn)行下一次迭代，以保證種群質(zhì)量。如若對蝴蝶個體位置進(jìn)行變異干擾的同時擴(kuò)大BOA的搜索范圍，便可達(dá)到提高解的質(zhì)量和算法收斂速度的目的。因此本文根據(jù)遺傳算法［15］中的變異概率思想和文獻(xiàn)的啟發(fā)，在BOA全局勘探階段引入趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)策略對BOA中的蝴蝶個體進(jìn)行干擾，從而確保適應(yīng)度值最優(yōu)的蝴蝶個體順利進(jìn)入下一次迭代。為了更清晰地解釋反向?qū)W習(xí)的概念，對反向解和反向?qū)W習(xí)進(jìn)行如下定義：

定義1 反向解。假設(shè)在［a，b］上存在一個實數(shù)x，則實數(shù)x的反向解可以表示為=a+b-x。

定義2 反向?qū)W習(xí)。在反向解定義的基礎(chǔ)上，可以得出反向?qū)W習(xí)定義如下：假設(shè)P=（x1，x2，…，xi，…，xn）為一個N維向量空間的點，且xi∈［ai，bi］，i∈［1，2，…，n］，根據(jù)反向解的定義可知，P的反向解為=（1，2，…，i，…，n），其中i=k（ai+bi）-xi，k為［0，1］隨機(jī)分布的一般化系數(shù)。設(shè)適應(yīng)度函數(shù)為f，如果f（）

反向?qū)W習(xí)策略的引入擴(kuò)大了BOA搜索范圍，但反向?qū)W習(xí)策略并不能做到對蝴蝶個體位置進(jìn)行精準(zhǔn)干預(yù)。首先群智能優(yōu)化算法中的收斂速度是指算法在運行過程中逐漸接近最優(yōu)解的速度，可近似通過蝴蝶個體向最優(yōu)解趨近過程中的這段距離來估算，在BOA位置更新方式中，蝴蝶個體是隨機(jī)生成的，這意味著在最優(yōu)解附近出生的蝴蝶個體的收斂速度一定有了大幅度的提升，但相比較其他隨機(jī)生成的蝴蝶個體來說，其距離不好估計，收斂速度也就無法預(yù)知；其次，在算法初期，反向?qū)W習(xí)通過生成反向解逐漸改進(jìn)當(dāng)前解，在一定程度上提升了解的質(zhì)量，在算法后期，由于反向解的生成位置相對固定且與可行解之間位置距離較遠(yuǎn)，BOA因種群多樣性較少，在迭代后期蝴蝶位置更新較隨機(jī)且蝴蝶位置更新幅度并不大，只依靠反向?qū)W習(xí)不能對蝴蝶個體位置更新進(jìn)行精準(zhǔn)干預(yù)。基于上述原因，本文將遺傳算法中變異概率融合在反向?qū)W習(xí)中，遺傳算法中變異的本質(zhì)是隨機(jī)對個體基因產(chǎn)生變異，從而提升解的質(zhì)量。將變異概率思想同反向?qū)W習(xí)結(jié)合后，變異反向?qū)W習(xí)可以產(chǎn)生隨機(jī)性更強(qiáng)的反向解，對蝴蝶個體位置進(jìn)行更精準(zhǔn)的干預(yù)，從而提升解的質(zhì)量，避免算法早熟收斂。為保證引入變異概率之后算法整體穩(wěn)定性不被影響，變異概率不宜設(shè)置過大，經(jīng)實驗測試得Pr設(shè)置為0.08時效果最好。具體表達(dá)公式如下：

當(dāng)b≤Pr時，通過變異反向?qū)W習(xí)進(jìn)行蝴蝶位置更新：

xtnew_i=lbi+R（ubi-xti） b≤Pr（11）

當(dāng)b>Pr時，通過一般反向?qū)W習(xí)進(jìn)行蝴蝶位置更新：

xtnew_i=lbi+（ubi-xti） b>Pr（12）

其中：Pr為變異概率，其取值為（0.01，0.10）；R和b為分布于（0，1）的隨機(jī)數(shù)；xtnew_i表示蝴蝶個體經(jīng)變異反向?qū)W習(xí)之后得到的新的位置。

變異反向?qū)W習(xí)的引入一定程度上提升了算法的整體性能，對傳統(tǒng)BOA中蝴蝶個體位置更新方式進(jìn)行有效優(yōu)化，但是變異反向?qū)W習(xí)不能保證每次新解的適應(yīng)度值都一定優(yōu)于變異前的可行解。因此，本文將通過變異反向?qū)W習(xí)擾動后的個體和當(dāng)前種群中最優(yōu)個體進(jìn)行凸組合，得到趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)個體，并更新其最新位置，以此保證適應(yīng)度值最優(yōu)的個體可以順利進(jìn)行下一次迭代。具體公式如式（13）所示，其中a2為［0，1］的隨機(jī)數(shù)。

xt+1i=a2×xtnew_i+（1-a2）×g*（13）

2.4 算法具體描述

OMSSBOA根據(jù)所提出的三種改進(jìn)策略。首先在全局勘探階段引入柯西變異策略，按照式（6）對最優(yōu)蝴蝶個體進(jìn)行擾動，按照式（2）對蝴蝶位置進(jìn)行更新，增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力；然后繼續(xù)在全局勘探階段引入趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)策略，按照式（11）～（13）更新蝴蝶位置，提高解的質(zhì)量，從而提高算法收斂精度；最后在局部開采階段引入改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略，按照式（7）（10）平衡BOA全局勘探和局部開采的比重，提高算法的收斂速度和尋優(yōu)性能。OMSSBOA具體步驟如圖4和算法2所示。

算法2 OMSSBOA算法

輸入：種群規(guī)模N，感官模態(tài)c，冪指數(shù)a，刺激濃度I，最大迭代次數(shù)Tmax，搜索空間維度dim，切換概率P，隨機(jī)數(shù)r3、b、c3，變異概率Pr。

輸出：全局最優(yōu)解。

初始化種群。

while（t≤Tmax）

for i=1：N

根據(jù)式（1）計算蝴蝶香味濃度；

end for

找出最優(yōu)蝴蝶個體位置；

for i=1：N

r3=rand（0，1）；b=rand（0，1）；c3=rand（0，1）；P=0.8；

Pr=0.08

if r3

根據(jù)式（6）對最優(yōu)個體進(jìn)行擾動；

根據(jù)式（2）對位置進(jìn)行更新；

if b>Pr then根據(jù)式（12）進(jìn)行位置更新；

else根據(jù)式（11）進(jìn)行位置更新；

end if

根據(jù)式（13）進(jìn)行位置更新；

else

if c3>0.5 then根據(jù)式（10）進(jìn)行位置更新；

else根據(jù)式（7）進(jìn)行位置更新；

end if

end if

end for

計算適應(yīng)度值，并更新最優(yōu)位置；

end while

輸出全局最優(yōu)解

2.5 時間復(fù)雜度

在原始BOA中，設(shè)種群規(guī)模為N，維度為d，最大迭代次數(shù)為Tmax，則原始BOA的時間復(fù)雜度為O（N×d×Tmax）。OMSSBOA是以BOA為基礎(chǔ)的改進(jìn)算法，故OMSSBOA的時間復(fù)雜度由算法步驟可知，引入柯西變異的時間復(fù)雜度為O（N×d×Tmax），引入改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略的時間復(fù)雜度為O（N×d×Tmax），引入趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)的時間復(fù)雜度為O（N×d×Tmax），因此OMSSBOA時間復(fù)雜度為O（N×d×Tmax），與原始BOA相同，可以判定OMSSBOA并未增加算法的計算負(fù)擔(dān)。

2.6 收斂性分析

假設(shè)蝴蝶個體的種群總數(shù)為N，解空間為S，全局最優(yōu)解為fgbest，迭代次數(shù)為t。群體智能優(yōu)化算法依靠概率1收斂于全局最優(yōu)解［18］的充分條件為：

條件1 設(shè)F為待求解函數(shù)，f為生成解函數(shù)，z為S中的一個點，其目的是保證F有一個下確界，τ為隨機(jī)生成向量。

如果F（f（z，τ））≤F（z），并且

τ∈S，則有F（f（z，τ））≤F（τ）。

定理1 OMSSBOA算法滿足條件1。

證明 在OMSSBOA算法中，函數(shù)f可以定義為

f（xgbest，gbest）=f（gbest）if f（xgbest）>f（gbest）

f（xgbest）if f（xgbest）

OMSSBOA在每一次迭代過程中都會選擇適應(yīng)度值最優(yōu)的解，所以算法滿足條件1。

條件2 S的任意可測集A，若D∈S且A的測度υ（A）>0，則∏∞j=0（1-μj（A））=0，其中υ（A）>0是A的n維閉包；μj（A）是由測度μj產(chǎn)生A的概率測度。

定理2 OMSSBOA算法滿足條件2。

證明 OMSSBOA的尋優(yōu)過程中都是在有限空間進(jìn)行的，并且柯西變異擾動、樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略以及趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)的引入均屬于獨立隨機(jī)過程，在整個迭代進(jìn)化過程中，改進(jìn)算法均采取保留精英個體的策略，故改進(jìn)算法具備收斂性且符合齊次馬爾可夫鏈。根據(jù)OMSSBOA位置更新方式可得，OMSSBOA通過趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)對當(dāng)前解進(jìn)行變異，確保適應(yīng)度值最優(yōu)個體進(jìn)入下次迭代，故隨著迭代一定具備Si（t+1）=S，t→∞，即存在D∈S有：

∏∞j=0（1-μj（A））=0，μj（A）=∑Nj=1μj（A）=1，limj→∞（1-∑Nj=1μj（A））j=0

所以O(shè)MSSBOA符合齊次馬爾可夫鏈且滿足條件2。

綜上所述，OMSSBOA滿足定理1和2，故其可以依靠概率1收斂到全局最優(yōu)解。

3 仿真實驗及分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

實驗采用Windows 10操作系統(tǒng)，并使用具有64位Intel CoreTM i5-8300H CPU @ 2.30 GHz的計算機(jī)配置。仿真軟件采用MATLAB 2018b版本。為了確保實驗的客觀性，本文設(shè)定了以下實驗參數(shù)：初始種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為500，感官模態(tài)c設(shè)置為0.01，冪指數(shù)a設(shè)置為0.1，切換概率參數(shù)P設(shè)置為0.8，變異概率參數(shù)Pr設(shè)置為0.08。

3.2 基準(zhǔn)測試函數(shù)

本文選擇了10個基準(zhǔn)測試函數(shù)來驗證OMSSBOA的改進(jìn)效果。F1～F4為單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)，單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)具有一個唯一的全局最優(yōu)解，沒有其他的局部最優(yōu)解，一般用于檢驗算法的收斂精度和收斂速度。F5～F10為多峰基準(zhǔn)測試函數(shù)，多峰基準(zhǔn)測試函數(shù)的特點是具有多個峰值，所以其具備多個局部最優(yōu)解，一般用于檢驗算法跳出局部最優(yōu)的能力。實驗中如若數(shù)據(jù)達(dá)到基準(zhǔn)測試函數(shù)的理論極值，則證明算法效果最好?；鶞?zhǔn)測試函數(shù)如表2所示。

3.3 實驗結(jié)果與分析

3.3.1 與原始算法對比

通常情況下，對比實驗選擇用平均值來衡量算法的尋優(yōu)性能，用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量算法的穩(wěn)定性和魯棒性，故將OMSSBOA同原始算法BOA和SSA分別在d=30、d=100及d=500條件下獨立運行30次，并將運行后所獲得的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，從而驗證OMSSBOA算法的整體性能。本文所有表格中均已用黑體標(biāo)注對比實驗結(jié)果的最優(yōu)解。

如表3數(shù)據(jù)所示，從尋優(yōu)性能的角度分析，在單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)中，OMSSBOA的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差在F1～F3中均達(dá)到了理論值0，除函數(shù)F4上OMSSBOA收斂精度略高于其他算法之外，OMSSBOA的收斂精度和穩(wěn)定性明顯高于BOA和SSA。在多峰基準(zhǔn)測試函數(shù)中，OMSSBOA在測試函數(shù)F6和F8上取得了理論值0，對于函數(shù)F7來說，OMSSBOA的收斂精度平均值為8.882E-16，相比于BOA高出7個精度，比SSA高出16個精度，且標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在0。在函數(shù)F9和F10上，OMSSBOA也表現(xiàn)出了很好的尋優(yōu)性能。雖然在函數(shù)F5上收斂精度略高于原始算法，但OMSSBOA的穩(wěn)定性和魯棒性更好，由此可以證明改進(jìn)的混合算法克服了BOA因搜索模式導(dǎo)致在多峰基準(zhǔn)函數(shù)中尋優(yōu)精度不高的局限性。從維度的角度分析，已知求解函數(shù)的復(fù)雜度同基準(zhǔn)測試函數(shù)的維度成正比，即復(fù)雜度越高，算法的尋優(yōu)過程越復(fù)雜，這便可能導(dǎo)致算法的收斂速度變慢。從實驗數(shù)據(jù)可以得出，隨著維度增高，收斂精度和穩(wěn)定性效果最好的是OMSSBOA，其次是BOA，最后是SSA。OMSSBOA在不同維度下實驗數(shù)據(jù)變化不大，說明OMSSBOA在高維度條件下同樣具備很好的尋優(yōu)性能。

綜上所述，OMSSBOA改善了蝴蝶最優(yōu)個體易陷入局部最優(yōu)值，平衡了算法的全局勘探和局部開采比重，提高了算法全局勘探的效率，一定程度上提高了BOA的尋優(yōu)性能，且有效改善了BOA的三個局限性。

3.3.2 與不同群智能算法對比

在搜索空間維度為d=30與d=500條件下，將OMSSBOA同灰狼優(yōu)化算法（GWO）、鯨魚優(yōu)化算法（WOA）和飛蛾撲火優(yōu)化算法（MFO）在基準(zhǔn)測試函數(shù)F1～F10上進(jìn)行尋優(yōu)對比。如表4實驗數(shù)據(jù)所示，從尋優(yōu)性能的角度分析，在單峰測試函數(shù)中，OMSSBOA平均收斂精度最高且穩(wěn)定性最好，其次是WOA。雖然OMSSBOA在函數(shù)F4上未取到理論極值0，但同MFO相比，OMSSBOA在d=500時高出其8個精度。雖然WOA和OMSSBOA在多峰測試函數(shù)F6、F8上均取得理論值0，但是OMSSBOA在多峰測試函數(shù)上的整體穩(wěn)定性要好且收斂精度略高于WOA。從維度的角度分析，OMSSBOA在d=30和d=500之間平均值和標(biāo)準(zhǔn)差變化最小，其次是WOA。因此OMSSBOA在低維和高維的條件下，其收斂效果均優(yōu)于其他群智能算法。

3.3.3 與其他改進(jìn)算法實驗結(jié)果對比

將OMSSBOA同RDSSA、CIBOA、CWBOA與MSBOA四種優(yōu)秀的改進(jìn)算法進(jìn)行對比，在對比實驗中嚴(yán)格按照控制單一變量的原則，使每個算法均在搜索空間維度為d=30的條件下獨立運行30次。

如表5實驗數(shù)據(jù)所示（表中“—”代表無數(shù)據(jù)），從尋優(yōu)性能的角度分析，在單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)中，CWBOA和MSBOA在F1、F2上取得理論值0，OMSSBOA在F1～F3上取得理論極值0。在F1～F3上OMSSBOA收斂精度和穩(wěn)定性最好。CIBOA在函數(shù)F4上性能最好且取得了理論極值0。在多峰基準(zhǔn)測試函數(shù)中，除RDSSA性能略低以外，其他改進(jìn)算法均在F6～F8上獲得了不錯的收斂精度，且OMSSBOA在函數(shù)F5、F9、F10的整體性能略優(yōu)于其他算法。故OMSSBOA同其他改進(jìn)算法相比，初步具備競爭性、可行性及有效性。

3.3.4 算法收斂速度分析

在d=30的條件下，將OMSSBOA、BOA、SSA、GWO、WOA、CWBOA、RDSSA獨立運行30次，得到的平均收斂速度曲線如圖5所示。

本文選取了函數(shù)F1、F2、F3、F4、F6、F7、F8、F9、F10的函數(shù)圖像。如圖5所示，對于單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)，在函數(shù)F1～F3中，OMSSBOA搜索到全局最優(yōu)解所需迭代次數(shù)最少。在函數(shù)F4中，OMSSBOA雖然下降速度很快，但RDSSA的收斂精度要優(yōu)于OMSSBOA。對于多峰基準(zhǔn)測試函數(shù)，BOA和SSA在多峰測試函數(shù)的條件下更易看出同其他算法相比，其下降速度更慢、更易陷入局部最優(yōu)。在函數(shù)F8中，WOA、CWBOA、RDSSA均取到理論極值0，但是RDSSA和OMSSBOA在算法初期下降速度更快，且OMSSBOA具備更快的收斂速度，在50代以內(nèi)搜索到最優(yōu)值。在函數(shù)F9和F10中，OMSSBOA雖未取得理論值，但相比其他算法具備更高的收斂精度。綜上所述，OMSSBOA改善了原始BOA和SSA在多峰測試函數(shù)中收斂精度不高、迭代時間長且易陷入局部最優(yōu)等問題，除函數(shù)F4中，OMSSBOA的性能略低于RDSSA以外，OMSSBOA在其他所給函數(shù)中均優(yōu)于其他算法，因此OMSSBOA初步具備可行性和競爭性。

3.3.5 消融實驗

將僅加入柯西變異策略（CBOA）、改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略（BSSBOA）、僅加入趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)策略（OLBOA）同OMSSBOA在維度為d=30的條件下獨立運行30次進(jìn)行消融實驗，進(jìn)一步判斷算法的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性。

由表6數(shù)據(jù)可知，從單峰測試函數(shù)方面分析，除OLBOA和OMSSBOA在函數(shù)F1～F3取得理論值外，CBOA和BSSBOA雖未達(dá)到理論值，但其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差同BOA相比均有一定程度的增加，CBOA在F1上的平均值提高了47個精度，這表明引入柯西變異策略對最優(yōu)蝴蝶個體進(jìn)行擾動可以避免其陷入局部最優(yōu)值，從而提高算法收斂精度。BSSBOA在F2上的平均值提高了118個精度，這表明引入改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略后，有效地平衡了BOA的全局勘探和局部開采的比例，提高了局部開采的效率。由OLBOA在表6中單峰函數(shù)的平均值均為效果最好數(shù)據(jù)可知，在全局勘探階段引入趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)，提高了算法的收斂精度，保證每一次種群迭代時均是最優(yōu)適應(yīng)度值個體參與下次循環(huán)，很大程度上提高了算法的尋優(yōu)性能。變異概率與反向?qū)W習(xí)的結(jié)合也沒有破壞算法的穩(wěn)定性和魯棒性，這一點可通過OLBOA的標(biāo)準(zhǔn)差在大部分測試函數(shù)上均可取得理論值來推斷。從多峰測試函數(shù)方面分析，尋優(yōu)性能依次是OMSSBOA>CBOA>BSSBOA>OLBOA，這表明柯西變異策略改善了BOA因其局限性造成的在多峰測試函數(shù)中過早收斂的問題，同其他兩種策略有效結(jié)合，最大化地提高了算法的收斂精度。

綜上所述，融合三種策略的OMSSBOA的整體尋優(yōu)性能很大程度上優(yōu)于BOA。

4 結(jié)束語

針對BOA算法的三個局限性，提出了一種趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)的樽海鞘群與蝴蝶混合優(yōu)化算法。首先，在全局勘探階段引入柯西變異策略對最優(yōu)蝴蝶個體進(jìn)行擾動，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力；其次，在局部開采階段引入改進(jìn)的樽海鞘群領(lǐng)導(dǎo)者策略平衡BOA全局勘探和局部開采的比重，對算法收斂速度慢的問題進(jìn)行改善；最后，在全局勘探階段引入趨優(yōu)變異反向?qū)W習(xí)策略，擴(kuò)大算法搜索范圍，解決蝴蝶個體位置更新較隨機(jī)且變化幅度不大的問題，保證每次迭代時蝴蝶個體的質(zhì)量。經(jīng)10種基準(zhǔn)測試函數(shù)仿真實驗表明，OMSSBOA能解決BOA因自身局限性導(dǎo)致的在進(jìn)行高維和多峰函數(shù)求解時尋優(yōu)性能不高的問題，具有可行性和競爭性。下一步的研究內(nèi)容是將OMSSBOA算法應(yīng)用于具體的工程實際問題中，提高OMSSBOA解決實際問題的能力。

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