例說(shuō)圖形的平移

陳瓊

抓住圖形平移的特點(diǎn)，掌握?qǐng)D 形平移的規(guī)律，有利于同學(xué)們提高 解題能力.

人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)七年級(jí)下冊(cè)第31頁(yè)第6題的內(nèi)容為：

如圖1，在一塊長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形草地上有一條彎曲的小路，小路的左邊 線向右平移1m就是它的右邊線.求這塊草 地的綠地面積.

解決此題較簡(jiǎn)單，將圖1中小路右邊 的圖形向左平移1m，則圖1中的小路左右 邊線重合，如圖2.比較圖1和圖2，可以發(fā)現(xiàn) 它們長(zhǎng)相差1m，寬均為bm，于是得到這塊 草地的綠地面積為（a-1）bm?.

問(wèn)題解答之后，圖 1留給我們一個(gè)思考 的空間.我們把圖1中 的折線標(biāo)上字母，其他 條件不變，如圖3.

思考1：如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部有哪些相等的線段？有哪些相等的角？

分析：根據(jù)平移的性質(zhì)，容易得到EF=EF1，F(xiàn)G=F1G1，GH=G1H1，HI = HI1LF= ∠F1，∠G=∠G1，∠H=∠H1。

思考2：如果連接FF1，GG1，HH1，那么FF1，GG1，HH1之間有何數(shù)量、位置關(guān)系？

分析：點(diǎn)F與F1，點(diǎn)G與G1，點(diǎn)H與H1 分別是平移過(guò)程中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)， 容易得到FF1=GG1=HH1，并且FF1//GG1//HH1.

思考3：如圖4，∠AEF，萊弗格，∠FGH，∠GHI，∠HIB之間有何數(shù)量關(guān)系？

分析：分別過(guò)點(diǎn)F，g，H作FP//AE，GQAE、HW//AE、而AE//BI，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到：AE//FP/GQ//HW//BI.所以AEF=LEFP， LFGQ= ∠ PFG， ∠QGH= ∠GHW，∠HIB=∠IHW.以上四式相加，得到：∠AEF + ∠FGQ+ ∠QGH + ∠HIB= ∠EFP+∠PFG+∠GHW+∠IHW.故∠AEF+∠FGH+∠HIB= ∠EFG+ ∠GHI.

需要說(shuō)明的是，可以將圖4 簡(jiǎn)化為一個(gè)基本模型，如圖5， 類(lèi)似得出一個(gè)有用的結(jié)論：如 圖5，如果AB//CD，那么人∠ABE+∠CDE=∠BED。

變式1：在一塊長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形草地上有一條彎曲的小路，小路的左邊 線向右平移1m就是它的右邊線，再修建一 條平行于長(zhǎng)邊，且寬為1m的小路，如圖6， 你能求出這塊草地的綠地面積嗎？

分析：能.先將圖6中彎曲小路右邊的 圖形向左平移1m，則小路的左右邊線重合， 再將水平小路上方的圖形向下平移1m，最 后得到一個(gè)長(zhǎng)為（a-1）m，寬為（b-1）m的長(zhǎng) 方形，如圖7.可得到這塊草地的綠地面積為（a-1）（b-1）m2.

思考：變式1中，水平小路的邊線與長(zhǎng) 方形的長(zhǎng)邊平行，如果水平小路的邊線與長(zhǎng) 方形的長(zhǎng)邊不平行，路口寬為1m，如圖8， 還能用上面的方法得出相同的結(jié)果嗎？

分析：如果水平小路的邊線與長(zhǎng)方形 的長(zhǎng)邊不平行，則彎曲小路與水平小路重疊 部分的面積不一定是1m?，故不能用上面的 方法得出相同的結(jié)果.借助于幾何畫(huà)板，按 照上面的平移方式，會(huì)發(fā)現(xiàn)在本圖中的綠地 面積小于（a-1）（b-1）m2.

上述質(zhì)疑釋惑的過(guò)程給我們一個(gè)啟示： 用整體思想方法解題時(shí)，對(duì)于條件或圖形結(jié) 構(gòu)類(lèi)似，但本質(zhì)有所不同的問(wèn)題，要仔細(xì)分 析，切記不要用原有的經(jīng)驗(yàn)想當(dāng)然地生搬硬套，謹(jǐn)防出錯(cuò).

變式2：在長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形 草地上，有一些小路，小路的邊線與長(zhǎng)方形的 邊平行或垂直，小路路口寬為1m，如圖9.你能求出這塊草地的綠地面積嗎？

分析：先將圖中小路右邊的圖形向左 平移1m，再將小路上方的圖形向下平移 1m，得到一個(gè)長(zhǎng)為（a-1）m，寬為（b-1）m的 長(zhǎng)方形.于是得到這塊草地的綠地面積為（a-1）（B- 1）m2。

思考：變式2中，如果小路的邊線與長(zhǎng) 方形的邊不平行或不垂直，小路路口寬仍為 1m，如圖10，還能用上面的方法得出相同的 結(jié)果嗎？

分析：如果小路的邊線與長(zhǎng)方形的邊 不平行或不垂直，則圖中的不同方向的小路 重疊部分有兩塊，其面積均不一定是1m?， 故不能用上面的方法得出相同的結(jié)果.借助 于幾何畫(huà)板，按照上面的平移方式，會(huì)發(fā)現(xiàn) 本圖中的綠地面積大于（a-1）（b-1）m?.

總之，解決圖形平移中的計(jì)算問(wèn)題時(shí)， 一定要把握?qǐng)D形平移過(guò)程中相關(guān)線段、角以 及面積的不變性規(guī)律，并且要善于區(qū)分相似 圖形結(jié)構(gòu)中的不同特征，以達(dá)到正確解決問(wèn) 題的目的.