基于改進(jìn)A*算法的安全路徑規(guī)劃

楊聿壬 郭江宇 董曉峰 趙陽(yáng)

摘要：由于傳統(tǒng)的A*算法存在搜索角度固定、經(jīng)過(guò)障礙物時(shí)過(guò)于靠近障礙物、易導(dǎo)致碰撞、轉(zhuǎn)向角度不夠平滑的問(wèn)題，提出一種改進(jìn)A*算法的安全路徑規(guī)劃方法。對(duì)A*算法中的搜索鄰域進(jìn)行擴(kuò)展，使搜索方向之間的夾角不再局限于45°；基于二維高斯分布設(shè)計(jì)安全距離矩陣，在啟發(fā)函數(shù)中加入當(dāng)前節(jié)點(diǎn)危險(xiǎn)值；采用三次均勻B樣條曲線對(duì)路徑進(jìn)行平滑處理。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，改進(jìn)的A*算法能夠減少算法迭代次數(shù)，提升路徑平滑程度，能夠有效避免路徑存在障礙物，提高了路徑的安全性。

關(guān)鍵詞：改進(jìn)A*算法；路徑規(guī)劃；擴(kuò)展搜索方向；安全距離矩陣；三次均勻B樣條曲線

中圖分類號(hào)：TP301.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2024）09-0001-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）

0 引言

路徑規(guī)劃是綜合考慮環(huán)境和目的地信息，為無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)出一條最優(yōu)的無(wú)碰撞行動(dòng)路線。A*算法作為靜態(tài)路網(wǎng)中搜尋最短路徑的常用算法，具有搜索性能好、準(zhǔn)確度高的優(yōu)點(diǎn)[1]。在A*算法中無(wú)人機(jī)通常被等效為柵格中心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，未考慮無(wú)人機(jī)本身的體積和機(jī)動(dòng)可能與障礙物產(chǎn)生碰撞。安全路徑是在考慮了無(wú)人機(jī)本身實(shí)際大小的情況下，設(shè)計(jì)出一條與障礙物保持一定安全距離的行動(dòng)路線，為無(wú)人機(jī)與障礙物之間留下可以機(jī)動(dòng)的空間，同時(shí)避免從障礙物之間狹窄縫隙處通過(guò)。

針對(duì)A*算法中的不足，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行不同的改進(jìn)。文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]對(duì)A*算法的搜索鄰域進(jìn)行擴(kuò)展，使得路徑的拐點(diǎn)減少，路徑總長(zhǎng)度變短，路徑也更加平滑，能夠適應(yīng)無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[4]提出稀疏A*算法，通過(guò)設(shè)置路徑的約束條件，裁剪搜索空間中的冗余節(jié)點(diǎn)，減少了搜索時(shí)間。文獻(xiàn)[5]采用球形節(jié)點(diǎn)拓展法，基于無(wú)人機(jī)最小轉(zhuǎn)彎半徑和最大探測(cè)距離，采用變步長(zhǎng)搜索策略，縮短了規(guī)劃時(shí)間，減少了規(guī)劃步長(zhǎng)。文獻(xiàn)[6]提出了一種A*波紋減少算法，降低了分辨率的變化造成的路徑長(zhǎng)度變化的波紋效應(yīng)，并通過(guò)平滑算法的改進(jìn)縮短了路徑長(zhǎng)度。文獻(xiàn)[7]提出了一種組合式啟發(fā)函數(shù)，采用曼哈頓距離和歐氏距離的線性組合描述距離代價(jià)；同時(shí)采用雙向搜索策略，對(duì)傳統(tǒng)A*算法進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]提出了一種改進(jìn)A*與人工勢(shì)場(chǎng)法相結(jié)合的算法，將A*算法的解作為引力之一，引入偏航引力增益系數(shù)和柵格危險(xiǎn)度，提高了路徑的安全系數(shù)。文獻(xiàn)[9]提出一種帶四角安全距離矩陣的改進(jìn)A*算法，但該方法局限于矩形障礙物檢測(cè)，較小或細(xì)長(zhǎng)的障礙物在轉(zhuǎn)角處檢測(cè)效果不好。文獻(xiàn)[10]對(duì)A*算法子節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展方法進(jìn)行改進(jìn)，不向障礙物方向進(jìn)行搜索，該方法局限于擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)的8鄰域，保持的安全距離固定，缺乏靈活性。文獻(xiàn)[11]針對(duì)無(wú)人機(jī)三維空間路徑規(guī)劃，采用自適應(yīng)搜索方向，縮減搜索空間；重新設(shè)計(jì)了威脅函數(shù)，將威脅空間以概率的形式加入代價(jià)函數(shù)中。

上述的改進(jìn)算法在不同程度上提高了傳統(tǒng)A*算法的性能，但是并沒(méi)有很好地解決路徑規(guī)劃中安全距離的問(wèn)題。當(dāng)前考慮安全距離的改進(jìn)A*算法大多仍考慮的是節(jié)點(diǎn)的4鄰域或8鄰域，不能保證更遠(yuǎn)的安全距離，且避障過(guò)程中轉(zhuǎn)向角度固定、轉(zhuǎn)折點(diǎn)過(guò)多，不利于復(fù)雜環(huán)境下規(guī)避障礙。針對(duì)這些不足，本文提出了擴(kuò)展搜索方向矩陣，使得改進(jìn)A*算法的步長(zhǎng)更靈活，轉(zhuǎn)向角度不再局限于45°，提高了算法效率；提出基于二維高斯分布的安全距離矩陣，優(yōu)化啟發(fā)函數(shù)，在選擇節(jié)點(diǎn)時(shí)遠(yuǎn)離障礙物，同時(shí)提出路徑危險(xiǎn)評(píng)估方法，對(duì)算法改進(jìn)前后的路徑進(jìn)行對(duì)比評(píng)估；采用三次均勻B樣條曲線對(duì)路徑進(jìn)行平滑處理。

1 傳統(tǒng)A*算法

A*算法在Dijkstra算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加啟發(fā)函數(shù)來(lái)優(yōu)化代價(jià)函數(shù)，既考慮了從起點(diǎn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的累計(jì)代價(jià)，又考慮了當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到終點(diǎn)的估計(jì)代價(jià)，從而在保證了搜索效率的同時(shí)，又得到了較短的路徑。因此，在靜態(tài)的網(wǎng)格地圖路徑規(guī)劃中，A*算法成為求解最短路徑的常用算法之一，其啟發(fā)函數(shù)如式（1） 所示：

[f（N）=g（N）+h（N）] （1）

其中，[f（N）]為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的總代價(jià)，[g（N）]為起點(diǎn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的代價(jià)，[h（N）]為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到終點(diǎn)的啟發(fā)函數(shù)值，通常有歐幾里得距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離三種計(jì)算方法。

傳統(tǒng)A*算法的流程圖如圖1所示，對(duì)其詳細(xì)說(shuō)明如下。

1） 采用柵格法構(gòu)建環(huán)境地圖，用固定行數(shù)和列數(shù)的矩陣表示環(huán)境地圖。矩陣中值為0表示可通行區(qū)域，顯示為白色；值為1表示障礙物區(qū)域，不可通行，顯示為黑色。

2） 建立open列表和close列表。open列表用來(lái)存儲(chǔ)當(dāng)前點(diǎn)下一步運(yùn)動(dòng)的候選節(jié)點(diǎn)，close列表用來(lái)存儲(chǔ)算法計(jì)算出的待定路徑節(jié)點(diǎn)。將起點(diǎn)放入open列表，設(shè)置close列表為空。

3） 從open列表中選擇總代價(jià)最小的節(jié)點(diǎn)N，將其移動(dòng)到close列表。在算法第一輪迭代中，open列表中只有起點(diǎn)，可直接將起點(diǎn)移動(dòng)到close列表中。

4） 判斷選出的節(jié)點(diǎn)N是否為終點(diǎn)，如果是終點(diǎn)，則根據(jù)父節(jié)點(diǎn)矩陣回溯至起點(diǎn)，生成路徑，結(jié)束循環(huán)。如果節(jié)點(diǎn)N不是終點(diǎn)，則生成當(dāng)前點(diǎn)下一步運(yùn)動(dòng)的候選點(diǎn)列表M。候選點(diǎn)通常為當(dāng)前點(diǎn)的4鄰域或8鄰域。

5） 判斷M中的候選點(diǎn)是否在柵格地圖中的障礙物上，如果在障礙物上，則從M列表中去除；不在則保留。更新M列表，并計(jì)算M列表中各候選點(diǎn)的總代價(jià)。

6） 判斷M列表中的候選點(diǎn)是否已經(jīng)存在于open列表中。如果open列表中沒(méi)有相同節(jié)點(diǎn)，則保留；反之，比較候選點(diǎn)在open列表中和M列表中的總代價(jià)，選擇總代價(jià)小的一方更新到M列表中。

7） 將M列表中的候選點(diǎn)坐標(biāo)及總代價(jià)更新到open列表中，同時(shí)把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)N設(shè)置為M列表中各候選點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)，記錄到父節(jié)點(diǎn)列表中。返回步驟3） ，循環(huán)至終點(diǎn)被找到。

2 改進(jìn)A*算法

傳統(tǒng)A*算法中，各個(gè)搜索方向之間的角度限定在45°，即8鄰域內(nèi)，限制了搜索步長(zhǎng)和方向，使得路徑搜索不夠靈活，也使得路徑的轉(zhuǎn)角過(guò)大，所得路徑并非最優(yōu)解。同時(shí)，在經(jīng)過(guò)障礙物時(shí)，路徑通常緊貼障礙物邊緣，在實(shí)際應(yīng)用中，容易產(chǎn)生碰撞風(fēng)險(xiǎn)。因此，本文采用擴(kuò)展搜索方向矩陣、安全距離矩陣和三次均勻B樣條曲線平滑路徑，對(duì)上述傳統(tǒng)A*算法中的不足進(jìn)行改進(jìn)。

2.1 擴(kuò)展搜索方向矩陣

傳統(tǒng)A*算法中，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的下一待擴(kuò)展候選節(jié)點(diǎn)通常位于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的8鄰域中，如圖2中的圖（a） 所示。為了擴(kuò)展搜索的方向，本文采用了如圖2中右圖的擴(kuò)展搜索方向矩陣作為待擴(kuò)展候選節(jié)點(diǎn)。圖中坐標(biāo)（0，0） 處為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，最內(nèi)圈與傳統(tǒng)A*算法中的8鄰域相同。次內(nèi)圈的16個(gè)節(jié)點(diǎn)中，去掉了與最內(nèi)圈方向相同的8個(gè)節(jié)點(diǎn)，保留方向不同的其余8個(gè)節(jié)點(diǎn)。以此類推，可以繼續(xù)向外側(cè)擴(kuò)展，矩陣的半徑（即步長(zhǎng)參數(shù)）越大，搜索方向之間的夾角越小，搜索過(guò)程就越精準(zhǔn)，能夠有效減少路徑長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)向角度。由式（2） 可求得不同步長(zhǎng)參數(shù)對(duì)應(yīng)的搜索方向數(shù)。

[S=8×1+R×R-12] （2）

其中，[R]為步長(zhǎng)參數(shù)，表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到最遠(yuǎn)待擴(kuò)展的候選節(jié)點(diǎn)的切比雪夫距離，[S]表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)可以擴(kuò)展的方向的個(gè)數(shù)。

2.2 安全距離矩陣和評(píng)估方法

為了計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的危險(xiǎn)值，以該節(jié)點(diǎn)為中心建立基于二維高斯分布的安全距離矩陣[MS]，矩陣的每個(gè)元素可以由式（3） 求得。

[MS（m，n）=e-12m2+n2a2×b，-d0≤m，n≤d0] （3）

其中，[m]和[n]表示矩陣元素相對(duì)于矩陣中心的位置，[d0]表示安全距離閾值，與無(wú)人機(jī)的機(jī)身大小有關(guān)，[a]和[b]為比例參數(shù)。依照本文仿真實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)設(shè)置，[d0=2，a=1，b=2]，可以得到如圖3所示的安全距離矩陣。

使用得到的安全距離矩陣，依照?qǐng)D4所示示意圖，可以計(jì)算出當(dāng)前節(jié)點(diǎn)N的危險(xiǎn)值。圖中黃色區(qū)域?yàn)榘踩嚯x矩陣的范圍，橙色區(qū)域?yàn)樘幱诎踩嚯x矩陣中的障礙物區(qū)域，由于柵格地圖中，可通行區(qū)域的值為0，障礙物區(qū)域的值為1，使用安全距離矩陣中元素與柵格地圖對(duì)應(yīng)位置的值相乘，再求和，即可得到節(jié)點(diǎn)N的危險(xiǎn)值[RiskN]，表達(dá)式如式（4） 所示。

[RiskN=xN-d0≤m≤xN+d0yN-d0≤n≤yN+d0MSm，n×MAPm，n] （4）

其中，[MAP]為柵格地圖矩陣，[xN]和[yN]分別表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

對(duì)A*算法中的啟發(fā)函數(shù)[h（N）]進(jìn)行優(yōu)化，使其能更合理地反映當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到終點(diǎn)的距離估計(jì)代價(jià)。歐幾里得距離為兩點(diǎn)間線段的距離，路徑規(guī)劃中起點(diǎn)和終點(diǎn)之間通常都存在著障礙物，因此實(shí)際距離比歐幾里得距離大；曼哈頓距離為兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，再求和，類似沿坐標(biāo)軸方向繞開障礙物的距離，但本文使用的改進(jìn)A*算法可以沿多個(gè)角度的斜線進(jìn)行路徑規(guī)劃，實(shí)際距離比曼哈頓距離要小。因此本文的啟發(fā)函數(shù)為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到終點(diǎn)的加權(quán)歐幾里得距離與加權(quán)曼哈頓距離之和，再加上式（4） 計(jì)算出的危險(xiǎn)值，更貼合實(shí)際距離的同時(shí)更傾向遠(yuǎn)離障礙物的路徑，[h（N）]的計(jì)算如式（5） 所示。

[h（N）=ω1×EuN+ω2×MhN+RiskN] （5）

其中[EuN]表示歐幾里得距離，[MhN]表示曼哈頓距離，加權(quán)系數(shù)[ω1=ω2=0.5]。

完成路徑規(guī)劃后，需要對(duì)整體路徑進(jìn)行危險(xiǎn)評(píng)估。在路徑上等距離取[T]個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算每一個(gè)采樣點(diǎn)的危險(xiǎn)值并累加，得到路徑危險(xiǎn)評(píng)估值[FR]，計(jì)算式如下：

[FR=i=1TRρNi，Nobs] （6）

[RρNi，Nobs=e-12ρa(bǔ)2×b， ρ0，ρ≥d0

其中，[ρNi，Nobs]為第[i]個(gè)采樣點(diǎn)到最近的障礙物的距離。

2.3 基于B樣條（B-spline） 路徑平滑

采用柵格地圖進(jìn)行路徑規(guī)劃，計(jì)算出的路徑通常轉(zhuǎn)彎較多，且轉(zhuǎn)向角度比較大，不利于應(yīng)用至實(shí)際工程中。而B樣條路徑優(yōu)化具有幾何不變性、仿射不變性等優(yōu)點(diǎn)，使得擬合曲線與原始路徑的差異最小。因此，本文采用三次均勻B樣條曲線對(duì)A*算法計(jì)算出的路徑進(jìn)行優(yōu)化，將原始路徑的所有節(jié)點(diǎn)作為B樣條曲線的控制頂點(diǎn)，輸出經(jīng)過(guò)平滑后的路徑。

B樣條曲線可以表示為下面的表達(dá)式：

[Bsplineu=i=0nPiNi，k（u）] （8）

其中[Pi]為控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)，[Ni，k]是[k]次曲線的B樣條基函數(shù)，[u]是歸一化的非遞減節(jié)點(diǎn)向量，長(zhǎng)度為[n+k+1]。基函數(shù)是由節(jié)點(diǎn)向量[u]所決定的[k]次分段多項(xiàng)式。

基函數(shù)通常采用Cox-deBoor遞推公式計(jì)算，計(jì)算公式如式（9） （10） 所示：

[Ni，0u=1， if ui≤u≤ui+10， others] （9）

[Ni，k=u-uiui+k-uiNi，k-1u+ui+k+1-uui+k+1-ui+1Ni+1，k-1u] （10）

式（9） 為0次基函數(shù)，式（10） 為[1～k]次基函數(shù)。其中[i]為節(jié)點(diǎn)序號(hào)，[k]為基函數(shù)的次數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)A*算法的有效性，使用MATLAB 2017a 進(jìn)行仿真，并與傳統(tǒng)A*算法做比較。仿真的地圖為[100×100]的規(guī)則障礙物柵格地圖，本文的改進(jìn)A*算法的步長(zhǎng)參數(shù)[R=3]，安全距離矩陣的比例參數(shù)[a=2]，[b=1]，安全距離閾值[d0=2]。傳統(tǒng)A*算法的步長(zhǎng)參數(shù)[R=1]，即下一步待探索的候選點(diǎn)為當(dāng)前點(diǎn)的8鄰域，啟發(fā)函數(shù)中不包括危險(xiǎn)值。兩種方法的對(duì)比仿真結(jié)果如圖5所示。

圖中紅色路徑為使用傳統(tǒng)A*算法計(jì)算得出，可以看到在圖中紅色圓圈處，該路徑與障礙物邊緣十分靠近，甚至從兩個(gè)障礙物的狹窄縫隙間通過(guò)，在實(shí)際應(yīng)用中容易產(chǎn)生碰撞危險(xiǎn)。藍(lán)色路徑為本文改進(jìn)A*算法計(jì)算結(jié)果，可以明顯對(duì)比出，該路徑繞開了障礙物狹窄處，且與障礙物邊緣保持一定距離。對(duì)兩條路徑都使用式（6） 和式（7） 提出的安全評(píng)估方法，得到的結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看出，本文提出的改進(jìn)A*算法在使用安全距離矩陣計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的危險(xiǎn)值并添加到啟發(fā)函數(shù)中后，可以有效避開狹窄通道等危險(xiǎn)路徑，也可以有效繞開障礙物。但為了保證路徑安全，不可避免地需要繞路，導(dǎo)致路徑長(zhǎng)度略有增加。改進(jìn)A*算法相比傳統(tǒng)算法，迭代次數(shù)略微下降，路徑長(zhǎng)度略微增大了3.76%，但是能夠完全避免路徑周圍2個(gè)單元格內(nèi)存在障礙物，極大地提高了路徑的安全性，造成的路徑長(zhǎng)度提升在可以接受的范圍內(nèi)。

表2中給出了相同的安全距離矩陣參數(shù)設(shè)定下，改進(jìn)A*算法選擇不同的步長(zhǎng)參數(shù)時(shí)，計(jì)算出的路徑結(jié)果的數(shù)據(jù)。當(dāng)[R=1]時(shí)，即為傳統(tǒng)A*算法只采取安全距離優(yōu)化，相比傳統(tǒng)A*算法，不存在路徑碰撞危險(xiǎn)，迭代次數(shù)只增加了1.26%，但為了繞開障礙物，路徑長(zhǎng)度增加了7.22%。通過(guò)本文提出的擴(kuò)展搜索方向，隨著步長(zhǎng)參數(shù)的增大，迭代次數(shù)和路徑長(zhǎng)度均減少。但步長(zhǎng)參數(shù)增大到一定值時(shí)，由于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離較大，使得兩點(diǎn)間的路徑可能靠近障礙物，使路徑存在碰撞的危險(xiǎn)。

表3中給出了不同安全距離閾值[d0]計(jì)算出的路徑的對(duì)比數(shù)據(jù)。隨著[d0]增大，驅(qū)使路徑遠(yuǎn)離障礙物，使得路徑長(zhǎng)度進(jìn)一步增大；同時(shí)本文的仿真地圖較為狹窄，過(guò)大的安全距離閾值使得計(jì)算危險(xiǎn)值時(shí)將過(guò)多的障礙物內(nèi)部的單元格計(jì)算在內(nèi)，降低了路徑安全的優(yōu)化效果。因此，安全距離閾值需要考慮柵格地圖的障礙物密度，不宜過(guò)大。

圖6為三次均勻B樣條曲線優(yōu)化對(duì)比圖，圖（b） 中的局部路徑比較圖為圖（a） 中藍(lán)色方框處放大后的示意圖。從圖中的對(duì)比可以看出，優(yōu)化后的曲線更加平滑。通過(guò)計(jì)算，優(yōu)化前的轉(zhuǎn)角總和為396.9°，優(yōu)化后的轉(zhuǎn)角總和為362.8°，降低了8.59%。

4 總結(jié)

本文針對(duì)傳統(tǒng)A*算法中，搜索角度固定、路徑與障礙物碰撞風(fēng)險(xiǎn)較大以及路徑不夠平滑的問(wèn)題，對(duì)A*算法進(jìn)行了改進(jìn)。在選擇下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)時(shí)，引入擴(kuò)展搜索方向矩陣，使得搜索的步長(zhǎng)和方向更靈活；在啟發(fā)函數(shù)中增加安全距離矩陣計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)危險(xiǎn)值，使得規(guī)劃的路徑能夠遠(yuǎn)離障礙物；使用三次均勻B樣條曲線對(duì)計(jì)算出的路徑進(jìn)行平滑優(yōu)化。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)后的A*算法規(guī)劃出的路徑，安全性顯著上升，平滑程度有一定提升，同時(shí)算法的迭代次數(shù)略微下降。

參考文獻(xiàn)：

[1] 路晶，史宇，張書暢，等.無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃算法綜述[J].航空計(jì)算技術(shù)，2022，52（4）：131-134.

[2] 辛煜，梁華為，杜明博，等.一種可搜索無(wú)限個(gè)鄰域的改進(jìn)A*算法[J].機(jī)器人，2014，36（5）：627-633.

[3] 張敬寒，陶兆勝，彭澎，等.基于擴(kuò)大搜索鄰域A*算法的平滑路徑規(guī)劃[J].長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，41（6）：124-127，146.

[4] SZCZERBA R J，GALKOWSKI P，GLICKTEIN I S，et al.Robust algorithm for real-time route planning[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2000，36（3）：869-878.

[5] 馬云紅，張恒，齊樂(lè)融，等.基于改進(jìn)A？算法的三維無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃[J].電光與控制，2019，26（10）：22-25.

[6] ZAMMIT C，VAN KAMPEN E J.Advancements for A* and RRT in 3D path planning of UAVs[C]//AIAA Scitech 2019 Forum.7-11 January 2019，San Diego，California.Reston，Virginia：AIAA，2019：0920.

[7] 姜月秋，李紫嫣，關(guān)啟學(xué)，等.基于改進(jìn)A*算法的無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃研究[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2020，41（9）：160-164.

[8] 劉光才，馬寅松，齊福強(qiáng)，等.基于改進(jìn)A～*-人工勢(shì)場(chǎng)法的城市物流無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃[J].飛行力學(xué)，2022，40（06）：16-23.

[9] 段書用，王啟帆，韓旭，等.具有確保安全距離的A*路徑優(yōu)化方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2020，56（18）：205-215.

[10] 高九州，徐威峰，張立輝，等.基于改進(jìn)A*算法的無(wú)人機(jī)避障航線規(guī)劃[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2023，46（8）：181-186.

[11] 卞強(qiáng)，孫齊，童余德.一種新的改進(jìn)A～*算法無(wú)人機(jī)三維路徑規(guī)劃[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，44（7）：80-88.

【通聯(lián)編輯：梁書】