高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)是重要的教學(xué)內(nèi)容.在解題中，借助導(dǎo)數(shù)法解題，可簡化解題步驟，幫助學(xué)生明晰解題思路，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).本文分析了高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)法;解題技巧

高中數(shù)學(xué)解題中，導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)有著重要的作用，也是學(xué)生解題中的重要方法，可幫助學(xué)生尋找解題思路，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績.作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)例題，傳授學(xué)生導(dǎo)數(shù)法應(yīng)用技巧，讓學(xué)生可以利用導(dǎo)數(shù)法解決數(shù)學(xué)問題.

1" 解答函數(shù)單調(diào)性問題

例1" 已知函數(shù)f（x）=lnx+12ax2+x，a∈R，令g（x）=f（x）－ax2－ax+1，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間.

解" 因?yàn)閒（x）=lnx+12ax2+x，a∈R，

所以g（x）=f（x）－ax2－ax+1=lnx－12ax2+（1－a）x+1，

所以g′（x）=1x－ax+（1－a）=

－ax2+（1－a）x+1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，

所以g′（x）＞0，

所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)，

g′（x）=－ax2+（1－a）x+1x

=－ax－1a（x+1）x，

令g′（x）=0，得出x=1a，

所以當(dāng)x∈0，1a時(shí)，g′（x）＞0；

當(dāng)x∈1a，+∞時(shí)，g′（x）＜0，

所以g（x）在x∈0，1a上單調(diào)遞增，在x∈1a，+∞單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），沒有遞減區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是0，1a，遞減區(qū)間是1a，+∞.

2" 解答參數(shù)取值范圍問題

例2" 已知函數(shù)f（x）=（x2－3）ex，關(guān)于x的方程f2（x）－mf（x）+1=0恰好有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求解正數(shù)m的取值范圍.

解" f′（x）=（x2+2x－3）ex=（x+3）（x－1）ex，

令f′（x）=0，

得出x=－3或x=1，

當(dāng)x＜－3時(shí)，f′（x）＞0，

函數(shù)f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞增，

且f（x）＞0；

當(dāng)－3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，

函數(shù)f（x）在（-3，1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，

函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f（x）的極大值是f（－3）=6e3，

極小值是f（1）=－2e.

令，f（x）=t，

所以方程t2－mt+1=0存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

且其中一個(gè)根在0，6e3，另一個(gè)根在6e3，+∞內(nèi)，或者兩個(gè)根均在（－2e，0）內(nèi).

令g（x）=x2－mx+1，

因?yàn)間（0）=1＞0，

所以g6e3＜0，即36e6－6me3+1＜0，

得出m＞6e3+e36，

所以m的取值范圍是6e3+e36，+∞.

3" 解答函數(shù)極值問題

例3" 已知函數(shù)f（x）=a－lnxx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，求解實(shí)數(shù)a的值以及f（x）的極值.

解" 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a+lnxx，

所以f′（x）=1－a－lnxx2，

令f′（1）=0，

所以1－a－ln112=0，

所以a=1，

令f′（x）=0，

所以lnx=0，

得出x=1，

即f（x）的極大值是f（1）=1.

4" 解答不等式問題

例4" 當(dāng)x＞－1時(shí)，求證：1－1x+1≤ln（x+1）≤x.

證明" 令f（x）=ln（x+1）－x，

所以f′（x）=1x+1－1=－xx+1，

因?yàn)楫?dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，

當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0

所以f（x）在（1，+∞）上的最大值是f（0）=0，

所以f（x）≤f（0）=0，

即ln（x+1）－x≤0，

所以ln（x+1）≤x.

令g（x）=ln（x+1）+1x+1－1，

所以g′（x）=1x+1－1（x+1）2=x（x+1）2.

因?yàn)楫?dāng)x∈（－1，0）時(shí)，g′（x）＜0，

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，

所以函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上的最小值是g（0）=0，

所以g（x）≥g（0）=0，

即ln（x+1）+1x+1－1≥0，

所以ln（x+1）≥1－1x+1，

綜上，當(dāng)x＞－1時(shí)，有1－1x+1≤ln（x+1）≤x.

5" 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重導(dǎo)數(shù)知識(shí)的教學(xué)，引入多樣化教學(xué)方式，讓學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)，并且能夠利用導(dǎo)數(shù)法解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.

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