用切線處理雙參數(shù)最值問題的探究

【摘要】參數(shù)最值問題是高考數(shù)學(xué)的典型問題之一，其關(guān)鍵詞在于“參數(shù)”以及“最值”，涉及知識(shí)點(diǎn)廣泛.在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)于此類問題常難以入手.本文用切線這個(gè)工具解決一道雙參數(shù)最值問題，總結(jié)歸納解題規(guī)律，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；切線；雙參數(shù)；最值

對(duì)于雙參數(shù)最值問題要綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、切線等工具對(duì)問題進(jìn)行研究.利用題目的已知條件進(jìn)行消參處理.其中切線發(fā)揮的作用有兩個(gè)：一是可以放縮消去一些參數(shù)，從而簡(jiǎn)化問題；二則是找到問題的臨界情況，求得最值.

題目" 對(duì)于任意的x∈－1m，+∞，不等式e2mx+n－1m≥x恒成立，則nm的最小值為.

方法1" 預(yù)設(shè)切點(diǎn)，聯(lián)立解出臨界值

對(duì)于此類在雙參數(shù)條件下求參數(shù)表達(dá)式最值的問題，可以由限制條件入手，利用切線代表臨界值的特殊性質(zhì)，就可以解出最值.需要注意的是，雖然一般來說，此結(jié)果就是最值，但是還需要進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)合題目的實(shí)際情況判斷.

解析" 設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），

則有e2mx0+n－1m=x0，2me2mx0+n=1，

由此解得e2mx0+n=－x0，

代入原式可得：m=－12x0，n=ln（－x0）+1，

所以nm=2（－x0）ln（－x0）+2（－x0），

令－x0=t，

則可得nm=2tlnt+2t，

設(shè)f（t）=2tlnt+2t，

則導(dǎo)函數(shù)f′（t）=2lnt+4，

此時(shí)f′（e－2）=0，即f（e－2）為函數(shù)的最小值，

所以f（t）≥f（e－2）=－2e－2.

直接預(yù)設(shè)切點(diǎn)可以將原本的限制條件轉(zhuǎn)化為確定的含參等式，從而得出臨界的條件式，而最值就是在臨界處取得的.在解題時(shí)還可以配合取特殊值的方法進(jìn)行研究.

方法2" 利用切線縱截距

對(duì)于一條切線來說，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，分別在x軸和y軸上，對(duì)于可以將參數(shù)的值或者相關(guān)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為切線的縱截距的題目，可以直接求解相切時(shí)縱截距，即可得到參數(shù)的值.

解析" e2mx+n－1m≥x可轉(zhuǎn)化為e2mx+n≥x+1m，

設(shè)f（x）=e2mx+n，

則f′（x）=2me2mx+n，

令2me2mx+n=1，

可得x=ln12m－n2m，

所以f（x）在x=ln12m－n2m的切線方程為：

y－12m=x－ln12m－n2m，

需滿足1+n－ln12m2m≥1m，

得到n≥ln12m+1，

nm≥1+ln12mm≥1－ln2mm，

求導(dǎo)后易證1－ln2mm≥－2e－2.

此方法本質(zhì)上也是通過在臨界點(diǎn)處的取值算出參數(shù)的值，不同的是，其可以直接算出參數(shù)的值，而不需要再聯(lián)立方程進(jìn)行求解.

方法3" 利用切線橫截距

與方法2相似，如果在縱截距的層面上難以表示，就可以考慮將切線化成橫截距為參數(shù)表達(dá)式的形式進(jìn)行求解.

解析" e2mx+n－1m≥x可轉(zhuǎn)化為

e2mx+n≥x+1m，

變?yōu)?mx+n≥lnx+1m，

令x+1m=tgt;0，

則原式可以化為2mt+n≥lnt+2，

又2mt+n=m2t+nm，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)直線y1=2mt+n與直線y2=lnt+2恰好相切于y2的零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)－n2m取得最大值，

所以－n2m≤e－2，

從而得出nm≥－2e－2.

橫截距求解參數(shù)的值的方法并不常用，其適用于將參數(shù)的值或者相關(guān)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為切線的橫截距的題目.

補(bǔ)充" 待定變量值

待定變量法是解決數(shù)學(xué)難題的重要方法，對(duì)于難以直接求解的變量，可以先設(shè)出變量，在后續(xù)的運(yùn)算過程中得到變量具體的值，再代入原表達(dá)式即可得到最值.

解析" e2mx+n－1m≥x可轉(zhuǎn)化為

em2x+nm≥x+1m，

令x=t－1m，

則原不等式變?yōu)椋篹m2t+nm－2≥t，

轉(zhuǎn)化為m2t+nm－2≥lnt，

下同方法3，最終求出t=e－2，

得到x=e－2－1m，

直接代入得到nm≥－2e－2.

待定變量法是對(duì)于切線法的一個(gè)補(bǔ)充，對(duì)于含有多個(gè)參數(shù)的最值問題，待定變量可以將雙元變?yōu)閱卧谝欢ǔ潭壬虾?jiǎn)化解題過程.

結(jié)語

以上三種用切線解決雙參數(shù)不等式最值問題的方法雖然處理的過程并不相同，但是方法內(nèi)涵都是一樣的，利用切線帶有的臨界值的特性算出參數(shù)的具體值.而補(bǔ)充方法是對(duì)于此類問題在多元情況下的簡(jiǎn)化.

參考文獻(xiàn)：

［1］李穎慧.巧用向量等和線 求解一類雙參數(shù)和式的問題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2022，41（03）：58-61.

［2］黃旭東.例談多參數(shù)最值問題的處理策略［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（01）：9-12.

［3］黃旭東.例談“雙參”最值問題的處理策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（01）：39-43.

［4］紀(jì)明亮.統(tǒng)一變量構(gòu)造函數(shù)解決雙參數(shù)恒成立問題［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（05）：12-14.