高中基于函數(shù)圖象的最優(yōu)化問題求解方法研究

【摘要】本文聚焦于高中數(shù)學(xué)中基于函數(shù)圖象的最優(yōu)化問題求解方法，深入探討函數(shù)圖象的對稱性、增減性等問題.通過解析數(shù)學(xué)原理，關(guān)注導(dǎo)數(shù)與函數(shù)行為的關(guān)系，以及研究關(guān)鍵點(diǎn)如極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，揭示函數(shù)的整體趨勢.這一研究不僅拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域，也為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富實(shí)質(zhì)性的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)圖象；解題技巧

1" 引言

高中函數(shù)圖象的最優(yōu)化問題既有挑戰(zhàn)性又具實(shí)際性.通過深入研究，能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思維.本文通過問題分析、理論探討和實(shí)例闡釋，探索數(shù)學(xué)模型的建立與求解.實(shí)際問題常需優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，如成本最小或收益最大.理論部分關(guān)注通過數(shù)學(xué)建模明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并運(yùn)用微積分原理解決.實(shí)例闡釋選取生產(chǎn)成本與銷售收益關(guān)系，通過數(shù)學(xué)模型和圖象分析解決最優(yōu)化問題.最后，對比不同最優(yōu)化方法，包括基于導(dǎo)數(shù)的方法、圖象分析和數(shù)值求解，以探討它們的優(yōu)缺點(diǎn).

2" 高中函數(shù)解題教學(xué)

2.1" 函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題是函數(shù)研究的核心，為最優(yōu)化問題提供基礎(chǔ).通過建立與求解交點(diǎn)問題的方程，能揭示函數(shù)在圖象上的特征，特別是在最優(yōu)化問題中，這些交點(diǎn)可能是目標(biāo)函數(shù)取得極值的關(guān)鍵.

例1" 給定函數(shù)fx=x3－3x2－x+3.證明：該函數(shù)圖象與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的x坐標(biāo)的絕對值大于1.

解析" 為了證明題目中的結(jié)論，首先要找到函數(shù)fx=x3－3x2－x+3的零點(diǎn).這里采用因式分解的方法來解這個(gè)方程.

圖1

將方程變形為：x3－3x2－x－3=0，在第一組中提取公因數(shù)x2，得到x2x－3－1x－3=0，因?yàn)閤－3是一個(gè)共同因子，因此可以進(jìn)一步因式分解得到x2－1x－3=0，繼而寫為x－1x－3x+1=0.可以得到三個(gè)解，x1=1，x2=-3和x3=-1，這些就是函數(shù)fx=x3－3x3－x+3的零點(diǎn)，再回顧題目中，發(fā)現(xiàn)x=3滿足條件，證明完畢.

2.2" 函數(shù)圖象的對稱性問題

在高中數(shù)學(xué)中，研究基于函數(shù)圖象的最優(yōu)化問題時(shí)，對函數(shù)圖象的對稱性問題進(jìn)行深入探討至關(guān)重要.理解奇偶函數(shù)性質(zhì)和圖象對稱性原理，確定對稱軸，并分析函數(shù)在對稱軸附近的性質(zhì)，有助于揭示圖象上的對稱點(diǎn)，為最優(yōu)化問題提供更深刻的解析.

例2"" 給定函數(shù)fx=x2－4x2+2x－3.證明：該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=－1對稱.

解析" 為了證明函數(shù)fx=x2－4x2+2x－3的圖象關(guān)于直線x=－1對稱，需要展示對于函數(shù)的每個(gè)輸入值x，函數(shù)值fx在x和－2－x（關(guān)于x=－1的對稱點(diǎn)）是相同的.換句話說，則是需要證明fx=f－2－x對于所有定義域內(nèi)的x成立.

圖2

證明" 因?yàn)樵瘮?shù)為fx=x2－4x2+2x－3，

由此計(jì)算f－2－x，

將x=－2－x代入fx得：

f－2－x=－2－x2－4－2－x2+2－2－x－3=x2+4xx2+2x－3.

通過比較原函數(shù)fx=x2－4x2+2x－3和f－2－x=x2+4xx2+2x－3后不難發(fā)現(xiàn)，它們的分母是相同的.而分子中，雖然f－2－x的分子多了一個(gè)4x項(xiàng)，但當(dāng)在考慮關(guān)于x=－1對稱時(shí)，4x這一項(xiàng)實(shí)際上是在原始分子x2－4上的一個(gè)對稱變化.

又由于fx和f－2－x在分子上是對稱的，而分母相同，所有可以斷定原函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=－1對稱，證明完畢.

2.3" 函數(shù)圖象的增減性問題

在高中數(shù)學(xué)中，深入研究函數(shù)圖象的增減性問題對于最優(yōu)化問題至關(guān)重要.解析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性與函數(shù)增減性的關(guān)系，特別關(guān)注極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，揭示函數(shù)整體趨勢.

例3" 給定函數(shù)fx=e2x－4ex+3.問：確定函數(shù)fx在區(qū)間－∞，+∞上的增減性，并證明你的結(jié)論.

圖3

解析" 首先，我們需要計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).對fx=e2x－4ex+3求導(dǎo)，得到f′x=ddxe2x－4ex+3，使用指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則，有f′x=2e2x－4ex.

接下來，需要找出f′x的零點(diǎn)，令2e2x－4ex=0，即2exex－2=0，由于ex永遠(yuǎn)大于0，可以得出ex－2=0，因此取ex=2對數(shù)得到x=ln2.

當(dāng)xlt;ln2時(shí)，exlt;2，因此ex－2lt;0，所以f′xlt;0，函數(shù)在此區(qū)間遞減.

當(dāng)xgt;ln2時(shí)，exgt;2，因此ex－2gt;0，所以f′xgt;0，函數(shù)在此區(qū)間遞增.

因此，函數(shù)fx=e2x－4ex+3在－∞，ln2區(qū)間內(nèi)遞減，在ln2，+∞區(qū)間內(nèi)遞增.

3" 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)中，我們深入研究了基于函數(shù)圖象的最優(yōu)化問題，涵蓋了函數(shù)圖象的對稱性、交點(diǎn)問題以及增減性等關(guān)鍵方面.這些研究不僅揭示了函數(shù)在圖象上的行為規(guī)律，而且為解決實(shí)際最優(yōu)化問題提供了深刻的數(shù)學(xué)支持.通過理論探討和實(shí)例闡釋，深入剖析了數(shù)學(xué)模型的建立與求解過程.這不僅有助于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深化，拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)思維，也為函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用提供了豐富的啟示.這一系列研究不僅是對數(shù)學(xué)理論的探索，更是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題能力的重要一環(huán).

參考文獻(xiàn)：

［1］馬麒麟，白陟勇.高中物理解題中推理法的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（22）：24-26.