一道異面直線所成角余弦值問題的解法探究

【摘要】立體幾何問題是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，考查學(xué)生對于立體幾何圖形基本定義的理解以及常用的處理技巧.立體幾何有四大要素：點，線，面，體.其中異面直線所成角的余弦值大小的問題是一類?？碱}型.本文探討一道典型例題的幾種解法，歸納總結(jié)規(guī)律，以供參考.

【關(guān)鍵詞】立體幾何；異面直線；余弦值

異面直線所成角問題本質(zhì)上是要轉(zhuǎn)化為同面直線所成角問題進行研究，所以這就需要思考有哪幾種方法可以實現(xiàn)這個目標(biāo).本文將探究典型例題的四種解法：向量法，建立空間直角坐標(biāo)系法，作圖等價轉(zhuǎn)化法，補形法，以供參考.

題目" 在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.

解法1" 向量法

利用向量表示出兩異面直線，再利用向量的運算法則結(jié)合向量基底進行處理，得到兩異面直線表示向量數(shù)量積的大小.

解析" 不妨設(shè)AB的長度為1，

因為BC1=BA+AA1+A1C1，

所以|BC1|2=（BA+AA1+A1C1）2=2，

所以|BC1|=" 2.

因為AB1=AA1+A1B1，

所以|AB1|2=（AA1+A1B1）2=3，

所以|AB1|=3.

因為BC1·AB1=（BA+AA1+A1C1）（AA1+A1B1）=1，

所以cosθ=BC1·AB1|BC1|·|AB1|=1" 2·" 3=" 66，

所以平面直線AB1與BC1所成角的余弦值為66.

在得到數(shù)量積的大小后，利用向量的數(shù)量積公式的變形，即可得到兩向量夾角余弦值的公式，代入數(shù)值即可求解.

解法2" 建立空間直角坐標(biāo)系法

對于立體幾何問題，最為簡單直接的解決方法就是建立空間直角坐標(biāo)系進行研究，將幾何量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)進行運算，就可以將原本的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，大大簡化了問題的難度.

圖1

解析" 如圖1所示，以點A為原點，過點A與BC垂直的直線為x軸，與BC平行的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

過A1作A1M⊥平面ABC于點M，

則M必在x軸上，且cos∠A1AM=33，

從而sin∠A1AM=63.

設(shè)棱長為1，則

A133，0，63，B32，12，0，C32，－12，0，

所以AB1=AA1+AB=（536，12，63），

AC1=AA1+AC=536，－12，63，

所以BC1=AC1－AB=（33，－1，63）.

設(shè)異面直線AB1與BC1所成角為θ，

則cosθ=BC1·AB1|BC1|·|AB1|=66.

在建立空間直角坐標(biāo)系時，要注意坐標(biāo)原點的合理選取，這樣才能保證后續(xù)運算的簡便.

解法3" 作圖等價轉(zhuǎn)化法

異面直線所成角余弦值之所以難求是因為無法放在一個平面三角形內(nèi)求解，因此可以通過作圖的方法將異面直線所成角等價轉(zhuǎn)化為另一與其大小相同且能夠在三角形求解的角，這樣就可以求得余弦值.

解析" 作A1O⊥底面ABC，

由∠BAA1=∠CAA1=60°可知，AO為∠BAC的角平分線，

且AO⊥BC，BC⊥平面AA1O，BC⊥AA1，

于是BC⊥BB1，四邊形BB1C1C為矩形，

取AC的中點為E，連接B1C，BC1，交于點F，則點F為B1C的中點，EF平行且相等于12AB1.

所以異面直線AB1與BC1所成角等于EF與BF所成角，即∠BFE或其補角.

設(shè)三棱柱的棱長為2，根據(jù)題意可知

BE=3，EF=12AB1=3，

BF=12BC1=2，

于是cos∠BFE=BF2+EF2－BE22BF·EF=66.

利用此方法解題時，常規(guī)的思路就是將兩異面直線通過不斷地平移使其能夠處在一個平面內(nèi)或者是直接構(gòu)造輔助線，利用幾何關(guān)系找到與之相同的角，再求解.

解法4" 補形法

對于形狀不規(guī)則的幾何體，可以將其補成規(guī)則的，性質(zhì)明顯的幾何體進行求解.

圖2

解析" 將三棱柱補為平行六面體，再放同樣的一個平行六面體，如圖2所示，∠C1BE便是異面直線AB1與BC1所成角.

設(shè)棱長為1，在△A1AB中，易求得AB1=3，

即BE=3，

在△A1C1E中，易求得C1E=3.

易得BC⊥AA1，

所以BC⊥CC1.

從而，在△BCC1中，求得BC1=2，

在△BC1E中，由余弦定理得cos∠C1BE=66.

在使用補形法時，需要合理根據(jù)原本幾何體的特征來補形，一般來說都是補成形如正方體、平行六面體這類的特殊幾何體.

結(jié)語

異面直線所成角問題中作出角是解題的關(guān)鍵，主要是利用平行四邊形的對邊平行或者是三角形中位線平行的性質(zhì)來進行轉(zhuǎn)化、作角.同時還需要注意兩異面直線所成角是銳角還是直角，可以先根據(jù)圖象大致猜想，再構(gòu)建解題思路.