例析三類抽象函數(shù)定義域問題及解題技巧

【摘要】抽象函數(shù)由于沒有給出具體函數(shù)解析式，因此沒有具體的函數(shù)圖象，對(duì)學(xué)生們解答相關(guān)的問題造成了一定難度.以求解函數(shù)的定義域問題為例，學(xué)生們并沒有具體解題方法和思路.本文探究三個(gè)抽象函數(shù)定義域問題及其解題方法和思考方式，以便幫助學(xué)生深入了解抽象函數(shù)，并提高解決類似問題的準(zhǔn)確性.

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；定義域；解題技巧

抽象函數(shù)問題對(duì)于考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用和遷移能力非常有效，同時(shí)也有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維等能力.然而，抽象函數(shù)定義域問題往往具有一定的難度，許多學(xué)生在解答時(shí)感到棘手，即使掌握了一段時(shí)間后也容易混淆.那么，我們應(yīng)該采取何種方法來幫助學(xué)生深刻理解和掌握這部分知識(shí)呢？

1" 已知fx定義域，求fgx定義域

針對(duì)已知抽象函數(shù)fx定義域求fgx的定義域這類題型，主要是理解fx的定義域等價(jià)函數(shù)gx的值域，求函數(shù)fgx的定義域?qū)?yīng)求自變量x的范圍，則需要根據(jù)值域求x取值.具體解題思路為：①根據(jù)已知fx定義域a，b，構(gòu)建不等式a≤gx≤b；②運(yùn)算求出自變量x取值，等價(jià)于fgx的定義域范圍.

例1" 已知函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?，5，gx=3x－5，試求出函數(shù)fgx的定義域.

分析" 已知fx定義域和gx，求fgx的定義域，首先根據(jù)題意構(gòu)建不等式－1≤gx≤5，求解得到不等式的對(duì)應(yīng)解集，就能得知所求抽象函數(shù)fgx的自變量范圍，即定義域.

解" 根據(jù)題意可得fgx=f3x－5，

因?yàn)閒x定義域－1，5，且gx=3x－5，

所以gx=3x－5的值域是－1，5，

故－1≤3x－5≤5，

解得x∈43，103，

故函數(shù)f3x－5的定義域是43，103.

變式" 設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)?，2，a是常數(shù)，且0＜a＜12，求函數(shù)Fx=fx+a+fx－a的定義域.

分析" 問題求解Fx的定義域，而Fx是函數(shù)fgx的和差形式，故求解思路相同，首先根據(jù)題意構(gòu)建0≤g1x=x+a≤2和0≤g2x=x－a≤2的不等式，其次解不等式組，求x的公共解集，對(duì)應(yīng)Fx的定義域范圍.

解" 因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)?，2，

所以0≤x+a≤2，0≤x－a≤2，

即－a≤x≤2－a，a≤x≤2+a，

因?yàn)?＜a＜12，

所以－a＜a＜2－a＜2+a，

可知a≤x≤2－a，

故函數(shù)Fx=fx+a+fx－a的定義域?yàn)閍，2－a.

2" 已知fgx定義域，求fx定義域

針對(duì)此類型的定義域問題問題，首先要明確的是gx的值域等于函數(shù)fx的定義域.求解fx的定義域，就需要求出gx的取值范圍.一般思路為：根據(jù)已知的fgx的定義域求解出gx的取值范圍，gx的取值范圍即為fx的定義域.具體的步驟如下：（1）確定gx值域的取值范圍；（2）確定函數(shù)fx的定義域.

例2" 已知函數(shù)f3x－5的定義域?yàn)?，3，求函數(shù)fx的定義域.

分析" 已知fgx的定義域，求fx的定義域，可知gx=3x－5的值域等價(jià)于fx的定義域，故先根據(jù)已知的定義域求出對(duì)應(yīng)值域范圍，即可得知函數(shù)fx的定義域大小.

解" 令u=3x－5，

則有f3x－5=fu，

因?yàn)楹瘮?shù)f3x－5的定義域?yàn)?，3，即1≤x≤3，

所以u(píng)=3x－5∈－5，4，

因?yàn)閒u的定義域等于fx的定義域，

所以函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?，4.

3" 已知fgx定義域，求fhx定義域

已知fgx定義域，求fhx定義域問題，必須牢記gx值域與hx值域相同，即fgx和fhx可以看做不同函數(shù)值的fu和fφ，由于fx定義域不變，故gx和hx值域相同.解答該類問題，具體思路為：①根據(jù)已知fgx定義域，求出gx的值域大?。虎趹{借gx值域a，b，構(gòu)建不等式a≤hx≤b并解答，所求解集對(duì)應(yīng)抽象函數(shù)fhx定義域.

例3" 若函數(shù)fx+2的定義域是－2，0，求函數(shù)flog12x的定義域.

剖析" 已知gx=x+2和hx=log12x值域相同，首先利用fx+2的定義域求gx=x+2的值域大小，其次構(gòu)建與函數(shù)hx=log12x相關(guān)的不等式，求出自變量范圍即對(duì)應(yīng)問題所求.

解" 因?yàn)楹瘮?shù)fx+2的定義域是－2，0，

所以－2≤x≤0，0≤x+2≤2，

因?yàn)閒x的定義域是0，2，

令0≤log12x≤2，

解得14≤x≤1，

所以函數(shù)flog12x的定義域?yàn)?4，1.

變式" 若函數(shù)gx=f2x－3，hx=f3－4x，已知gx定義域?yàn)椋?，72，求hx的定義域.

分析" 該題討論的不是gx和hx的值域相同，而是函數(shù)ux=2x－3和νx=3－4x值域相同的問題，故根據(jù)已知定義域列式求出ux=2x－3的值域，結(jié)合所求值域構(gòu)建νx=3－4x的不等式，運(yùn)算求解得到hx的定義域.

解" 因?yàn)間x=f2x－3的定義域是

－1，72，所以－1≤x≤72，－5≤2x－3≤4，

因?yàn)椋?≤3－4x≤4，

所以14≤x≤2，

故函數(shù)hx的定義域是14，2.

4" 結(jié)語

對(duì)于抽象函數(shù)求解，學(xué)生們需要清楚的是f（x）中自變量x的定義域意義，把握這個(gè)點(diǎn)以及熟悉?？嫉膸追N題型和對(duì)應(yīng)的解題方法，求解抽象函數(shù)定義域問題就會(huì)變得簡(jiǎn)單很多.求解函數(shù)定義域這類型問題在高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的頻率較高，因此學(xué)生們一定要掌握這類型題目的解法.

參考文獻(xiàn)：

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