高中數(shù)學(xué)函數(shù)的多元化解題技巧探討

【摘要】高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師需重點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生解題能力，通過多元化解題技巧教學(xué)，全面提高學(xué)生解題方法的應(yīng)用能力.函數(shù)是描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.在高中階段，學(xué)生需要掌握基本的函數(shù)概念、性質(zhì)和圖像，并能夠運(yùn)用這些知識解決實(shí)際問題.但在解決函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生往往面臨思維固化、方法單一等問題，導(dǎo)致解題效率低下或無法得出正確答案.本篇文章將通過具體案例分析，展示如何運(yùn)用發(fā)散思維、創(chuàng)新性思維和反面求證法等策略來提升解題能力.

【關(guān)鍵詞】多元化解題技巧；教學(xué)實(shí)踐

從高中數(shù)學(xué)學(xué)科中關(guān)于函數(shù)定義的解釋來看，其強(qiáng)調(diào)函數(shù)關(guān)系的深入理解，包括函數(shù)X與函數(shù)Y之間的對應(yīng)關(guān)系，對于高中學(xué)生來說，這些知識內(nèi)容較為復(fù)雜，尤其高中階段對函數(shù)關(guān)系的探究是建立在非空幾何當(dāng)中，針對X與Y之間的互相變化問題進(jìn)行求解.新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)對學(xué)生核心素養(yǎng)及問題解決能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，這就要求學(xué)生充分掌握函數(shù)知識體系，并運(yùn)用不止一類的解題思路與技巧變化去解決函數(shù)問題.

1" 從創(chuàng)新思維出發(fā)，開展函數(shù)解題技巧運(yùn)用

創(chuàng)新性思維是指打破傳統(tǒng)思維模式，尋求新的解題思路和方法.在解決函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生可以嘗試創(chuàng)新性思維，探究新的解題技巧.例如，對于函數(shù)的奇偶性判斷，學(xué)生可以嘗試?yán)枚x法、圖像法和性質(zhì)法等多種方法進(jìn)行判斷.在探究過程中，學(xué)生可以嘗試對問題進(jìn)行變形或構(gòu)造新的函數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)新的解題技巧.通過創(chuàng)新性思維，學(xué)生可以培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力，提高解決復(fù)雜問題的能力［1］.

例1" 已知a＞0且a≠1，討論fx=a－x2+3x+2的單調(diào)性.

分析" 這是一道與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)討論單調(diào)性題，指數(shù)－x2+3x+2=－x－322+174，當(dāng)x≥32時(shí)是減函數(shù)，x≤32時(shí)是增函數(shù)，而fx的單調(diào)性又與0＜a＜1和a＞1兩種范圍有關(guān)，所以實(shí)際教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論.

解析"" 設(shè)u=-x2+3x+2=x-322+174，則當(dāng)x≥32時(shí)，u是減函數(shù)，當(dāng)x≤32時(shí)，u是增函數(shù)，又當(dāng)a＞1時(shí)，y=au是增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=au是減函數(shù)，所以當(dāng)a＞1時(shí)，原函數(shù)fx=a－x2+3x+2在32，+∞上是減函數(shù)，在-∞，32上是增函數(shù).

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原函數(shù)fx=a－x2+3x+2在32，+∞上是增函數(shù)，在-∞，32上是減函數(shù).

一般情況下，兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；如果兩個(gè)函數(shù)中一增一減，則其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)，但一定注意考慮復(fù)合函數(shù)的定義域.

實(shí)際教學(xué)中教師需注意不可只是照本宣科的進(jìn)行某一單獨(dú)題目的解析，而是要在一種解題方法之后，融入多元化教學(xué)思路啟迪，鼓勵學(xué)生采用不同方法進(jìn)行解題思考，如采用類比思維方法，其是通過比較兩個(gè)事物的相似性和差異性，將一個(gè)事物的性質(zhì)或規(guī)律應(yīng)用到另一個(gè)事物上.在指數(shù)函數(shù)中，可以利用類比思維法將指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像與其他函數(shù)進(jìn)行比較，從而加深對指數(shù)函數(shù)的理解.另外還可以運(yùn)用構(gòu)造思維方法，通過構(gòu)造一個(gè)新的對象或模型來解決問題的方法.在指數(shù)函數(shù)中，可以通過構(gòu)造新的函數(shù)或模型來簡化問題，如在比較不同指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)并進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，形成適合自己的解題技巧.

2" 借助發(fā)散性思維，實(shí)現(xiàn)函數(shù)解題技巧開發(fā)

發(fā)散思維是指從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，沿著不同方向思考問題的方法.在解決函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生可以嘗試從多個(gè)角度思考問題，運(yùn)用不同的知識點(diǎn)和方法來解答.如對于指數(shù)函數(shù)的解題，指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其描述了一個(gè)變量隨另一個(gè)變量增長而快速增長或減小的關(guān)系.對于學(xué)生來說，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像，并能夠運(yùn)用這些知識解決實(shí)際問題至關(guān)重要［2］.學(xué)生可以通過因式分解或求根公式等方法來求解，選擇不同的方法需要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)來判斷，通過多角度思考可以拓展學(xué)生的思路，提高解題效率.

例2" 在△ABC中，如果A1，0，B－1，0，C1，－2，已知AB⊥BC，那么Kab×Kbc=1，這一題是否正確，如果錯(cuò)誤，請說明理由.

例3"" 已知A－2，0，B2，0，平面上的點(diǎn)F到A，B兩點(diǎn)之間的距離的和為4，那么F點(diǎn)的活動軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓嗎？

如此提問的方式能夠切實(shí)帶動學(xué)生切實(shí)的學(xué)習(xí)思路方法，兩種不同的提問邏輯在潛移默化間引發(fā)了學(xué)生不同的思考，即帶動了學(xué)生的發(fā)散思維養(yǎng)成和鍛煉.同時(shí)，多元化考慮函數(shù)問題的角度也能夠幫助學(xué)生突破固化的解題思路，并在原有的知識內(nèi)容體系中找尋不同的內(nèi)涵，幫助學(xué)生進(jìn)一步提升對函數(shù)學(xué)習(xí)的積極性，為后續(xù)更多的發(fā)散、多元化函數(shù)解題內(nèi)容教學(xué)奠定基礎(chǔ).

3" 運(yùn)用反面求證法，解決數(shù)學(xué)函數(shù)求解難題

反面求證法是一種通過否定問題的反面情況來證明原命題的策略.在解決函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生可以嘗試運(yùn)用反面求證法來尋找解題思路，如對于函數(shù)單調(diào)性的判斷問題，學(xué)生可以通過假設(shè)不單調(diào)進(jìn)行反證法來證明函數(shù)的單調(diào)性.通過反面求證法，學(xué)生可以從問題的反面入手思考問題，開拓解題思路，提高解題的正確性和效率.

例如" 對于“函數(shù)與方程”的相關(guān)題目解題技巧教學(xué)設(shè)計(jì)，函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，涉及到函數(shù)的性質(zhì)、圖像、最值等問題以及一元二次方程的求解等.對于一些復(fù)雜的函數(shù)問題，正面求解可能比較困難，此時(shí)運(yùn)用反面求證法可以取得較好的效果［3］.

例4" 證明方程fx=0至多有一個(gè)實(shí)根.

證明" 假設(shè)方程fx=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1和x2，則有fx1=0且fx2=0.由于fx是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)中值定理，在x1和x2之間存在一點(diǎn)ξ，使得fξ=0，這與fx至多有一個(gè)實(shí)根矛盾，因此假設(shè)不成立，原命題成立.

在上述案例中，通過反面求證法，證明了方程fx=0至多有一個(gè)實(shí)根.如果正面求解這個(gè)命題比較困難，運(yùn)用反面求證法可以簡化問題，得到更好的解題效果.在教授反面求證法時(shí)，教師應(yīng)首先向?qū)W生介紹反面求證法的原理，即通過否定問題的反面情況來證明原命題，如此有助于學(xué)生理解反面求證法的思想和應(yīng)用.

3" 結(jié)語

結(jié)合上文所述，多元化解題技巧對于高中數(shù)學(xué)函數(shù)的解答至關(guān)重要.學(xué)生可以通過發(fā)散思維、創(chuàng)新性思維和反面求證法等策略來拓展思路、開發(fā)新的解題技巧和提高解題效率.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生也要注重鍛煉自己的思維方式和方法論意識，不斷探索和總結(jié)適合自己的解題技巧，進(jìn)而提高自己的數(shù)學(xué)思維能力.同時(shí)，教師也應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生探索多元化的解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和思維能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］孫雷.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法［J］.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020，0（1）：85-85.

［2］單長松．高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法分析［J］．文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐，2021，000（4）：129.

［3］謝波.高中數(shù)學(xué)函數(shù)的多元化解題思路［J］.數(shù)理天地：高中版，2022，10（15）：66-68.