“四會課堂”：數(shù)學(xué)新課標(biāo)的教學(xué)理解

左一鳴 華云鋒

【摘 要】“四會”是指“會猜想、會提問、會建構(gòu)、會求異”。“四會課堂”是指訓(xùn)練、提升學(xué)生“四會”素養(yǎng)的課堂。在“四會課堂”教學(xué)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下用數(shù)學(xué)眼光對問題進行觀察、猜想，用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)疑惑、提出問題，用數(shù)學(xué)語言描述、解決問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，嘗試不同解法，訓(xùn)練思維，提升素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；四會課堂；新課標(biāo)；教學(xué)理解

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2024）03-0055-06

【作者簡介】1.左一鳴，江蘇省鹽城市長江路實驗學(xué)校（江蘇鹽城，224007）教師，高級教師，鹽城市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；2.華云鋒，江蘇省鹽城市長江路實驗學(xué)校（江蘇鹽城，224007）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

如何培養(yǎng)學(xué)生的“四會”素養(yǎng)，讓“四會”成為學(xué)生學(xué)習(xí)知識、習(xí)得技能最重要的路徑？如何在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上進行“四會課堂”教學(xué)設(shè)計？以下以蘇科版八上“函數(shù)概念”教學(xué)為例，談?wù)劇八臅n堂”在數(shù)學(xué)新課標(biāo)背景下的教學(xué)理解和教學(xué)實踐。

一、“四會課堂”的教學(xué)理解

打造“四會課堂”的意義在于激發(fā)學(xué)生會學(xué)意愿，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，其核心價值是培養(yǎng)學(xué)生善于猜想、敢于質(zhì)疑、模型建構(gòu)、思維創(chuàng)新的關(guān)鍵能力。

1.“四會課堂”的實現(xiàn)路徑

讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)視角的“會猜想”的過程。很多數(shù)學(xué)問題源于現(xiàn)實生活，教者精心設(shè)計問題能夠激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生好奇。學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)同類情境的共性，形成對這類情境問題的猜測、假設(shè)，這便是經(jīng)歷數(shù)學(xué)猜想的過程。

讓學(xué)生進行聯(lián)想追問，經(jīng)歷“會提問”的過程。學(xué)起于思，思起于疑?！皶釂枴笔且龑?dǎo)學(xué)生經(jīng)歷生問、質(zhì)問、釋問的過程，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力。形式可以是自問自答，也可以是你問他答；可以是橫向發(fā)散型提問，也可以是縱向追問型提問。問題可以引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機，促進學(xué)生積極探究。面對新問題，學(xué)會運用已經(jīng)獲得的經(jīng)驗嘗試解決問題，通過轉(zhuǎn)化化未知為已知。

讓學(xué)生開展數(shù)學(xué)描述，經(jīng)歷“會建構(gòu)”的過程。會用數(shù)學(xué)的語言對問題進行描述是一種很重要的能力，它是基于問題解決完整思路的外顯形式。一個數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得、一條輔助線的添加都是一個建構(gòu)的過程。

讓學(xué)生經(jīng)歷思維創(chuàng)新的“會求異”過程。數(shù)學(xué)課是思維課，通過“拓展延伸”環(huán)節(jié)訓(xùn)練學(xué)生的高級數(shù)學(xué)思維，嘗試不同解法，尋求思維創(chuàng)新。

2.“四會課堂”的核心理念

堅持“學(xué)生為本”的發(fā)展理念。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者。教師的思維視角與學(xué)生的視角有較大差異，教師既不能替代學(xué)生思考，又不能頻繁引導(dǎo)，要適度、適時、適當(dāng)?shù)貑l(fā)思維，讓學(xué)生成為“四會課堂”的真正主人。

依據(jù)核心素養(yǎng)的“四會”理念?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力是“四能”，數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練要經(jīng)歷“觀察抽象—分析提問—表達(dá)建?！獓L試創(chuàng)新”的過程，“四會課堂”就是依據(jù)這樣的素養(yǎng)要求進行課堂活動設(shè)計的。

指向?qū)W生“會學(xué)”的方法教學(xué)。科學(xué)的學(xué)習(xí)方法效率高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有法可循的。一般首先通過對真實情境的數(shù)學(xué)化，歸納共同屬性，抽象出核心概念，接著對概念表征進行詮釋，然后在運用中理解知識，最后歸納問題研究的一般方法和構(gòu)建基本模型。

3.“四會課堂”的基本樣態(tài)

數(shù)學(xué)課無固定模式，有的是“預(yù)習(xí)—講授—精練—總結(jié)”模式，有的是“溫故引新—性質(zhì)探索—問題解決—方法提煉”模式，有的是“情境引思—概念生成—例題學(xué)習(xí)—實踐評價”模式，還有“新知探究—任務(wù)分工—小組合作—代表展示—總結(jié)提升”等課改模式。

數(shù)學(xué)課堂一般有兩個核心環(huán)節(jié)：知識建構(gòu)和知識運用。知識源于哪里，歸向何方，這得益于教者的靈巧設(shè)計。經(jīng)過筆者及團隊相當(dāng)長一段時間的實踐和探索，我們初步摸索出會猜想、會提問、會建構(gòu)、會求異的“四會課堂”基本樣態(tài)。

首先，通過對實際情境或數(shù)學(xué)問題進行觀察、思考激發(fā)學(xué)生對現(xiàn)象、問題的好奇心并適時猜想，教師要善于接納學(xué)生的各種猜想，保護學(xué)生的好奇心，訓(xùn)練學(xué)生的敏感力。接下來在知識運用環(huán)節(jié)鼓勵學(xué)生提出相關(guān)問題，強化數(shù)學(xué)理解。通過提問促進學(xué)生從不同視角學(xué)會思考，讓問題更豐實。教師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)會總結(jié)思考方法，尋找突破路徑，探索研究規(guī)律，學(xué)會模型建構(gòu)。課堂教學(xué)中教師還要注重培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，激發(fā)他們尋找更佳思路的積極心向。

4.“四會”與核心素養(yǎng)的邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，指向會猜想、會提問、會建構(gòu)、會求異，“四會”與核心素養(yǎng)存在如下貫通一致的邏輯關(guān)系。（如圖1）

教者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題就是教會學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，即會對真實情境進行數(shù)學(xué)猜想、抽象；鼓勵學(xué)生提出問題、分析問題，就是教會學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，以數(shù)學(xué)的視角、方式進行思考、聯(lián)想；在用數(shù)學(xué)方法解決問題時，就是訓(xùn)練學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言對現(xiàn)實世界進行描述；追求解決問題方法的多樣化，嘗試逆向思考、橫向思考和縱向思考，讓數(shù)學(xué)思維在靈活變化中求異求新。

二、“四會課堂”的教學(xué)實踐

1.學(xué)會猜想：呈現(xiàn)真實情境，指向數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)鍵是將真實情境數(shù)學(xué)化，即從同類的實際問題中發(fā)現(xiàn)“相同屬性”，由此激發(fā)學(xué)生研究這類問題的好奇心，體會研究這類問題的必要性，促進思考的發(fā)生，在觀察、猜想、表征、歸納中，形成數(shù)學(xué)概念。

（1）情境導(dǎo)入

數(shù)學(xué)概念通常是將一組或者多組實際情境的共同屬性進行歸納、加工，形成一個特定的知識點基本原型。

情境一：加油問題

教師播放汽車加油時加油表跳動的微視頻，在學(xué)生認(rèn)真觀看的過程中，教師暫停播放兩次。（如圖2、3）

接下來，教師問學(xué)生，根據(jù)動態(tài)畫面和靜止畫面，分別發(fā)現(xiàn)了什么，讓學(xué)生對情境進行數(shù)學(xué)猜想。在自主思考和合作交流后，由第一組的3名學(xué)生分別回答。

生1：畫面中有3個量，分別是單價、油量和金額，金額=單價×油量。

生2：在加油過程中，油的單價是不變的，油量和金額都在變化；由預(yù)習(xí)可知，油價是常量，油量和金額是變量。

生3：兩個變量之間存在一定的關(guān)系，油量增加，金額也增加；當(dāng)摁了暫停時，油量停止變化，表中的金額也停止變化。

師：這3位同學(xué)說得非常好！畫面靜止時，我們發(fā)現(xiàn)3個量都“定格”不變了，當(dāng)油表中數(shù)據(jù)再次跳動時，其中的兩個量再次變化，而其中的一個量始終不變。通過3位同學(xué)的描述，你們應(yīng)該理解“常量”“變量”的含義了吧！

情境二：行程問題

教師運用網(wǎng)絡(luò)畫板制作了一個汽車在勻速行駛過程中的路程與時間同步變化統(tǒng)計表，以動態(tài)的形式顯示：

汽車勻速行駛的速度為90km/h（即1.5km/min），當(dāng)汽車行駛1分鐘時，畫面中會自動跳出一組數(shù)據(jù)1，1.5；當(dāng)汽車行駛2分鐘時，畫面中會自動跳出新的一組數(shù)據(jù)2，3。

師：同學(xué)們，你們能從以上數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)什么嗎？

（由第二組的3名學(xué)生分別回答）

生4：在汽車勻速行駛過程中，時間與路程都在不斷發(fā)生變化。

生5：路程隨著時間的增加而增大。

生6：時間為某個確定的值時，路程也有一個確定的值。

師：你們善于觀察畫面中的數(shù)據(jù)變化及數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)視角，即數(shù)學(xué)眼光。變化的兩個量之間存在什么樣的關(guān)系呢？

生4：路程與時間之間的關(guān)系是s=90t。

師：人們對運動變化的現(xiàn)象進行研究，嘗試尋找其變化規(guī)律，就是自然科學(xué)的重要價值。我們要學(xué)會用規(guī)律揭示事物的變化情況，不斷培養(yǎng)問題意識。

情境三：氣溫問題

教師統(tǒng)計了鹽城春季某兩日的氣溫情況，每3個小時做一次溫度統(tǒng)計，記錄如下頁表1所示。

師：你們能從這個氣溫記錄表中對兩個變量的變化情況作進一步描述嗎？

生7：記錄表中出現(xiàn)兩個變量，分別是時間和溫度，時間變化，溫度也發(fā)生變化，每一個記錄時間，都對應(yīng)一個相應(yīng)的溫度。

師：同學(xué)們，我們上一章學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)上述表格我做了一個圖象。（如圖4）你能根據(jù)上一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對圖象進行描述嗎？

生8：在這個平面直角坐標(biāo)系中，橫軸表示時間，縱軸表示氣溫，如上午11時氣溫是18°C，即對應(yīng)圖象中的點（11，18）。這是通過先畫出9個點，再依次將這9個點連接起來形成的氣溫與時間這兩個變量的直觀圖象。

師：牛頓說過，“沒有大膽的猜想，便不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)?！蔽覀円獙W(xué)會從“現(xiàn)象”中猜想結(jié)論，對同類情境“相同屬性”進行歸納，揭示問題本質(zhì)，得出相關(guān)結(jié)論或現(xiàn)象中的規(guī)律。

（2）函數(shù)概念引入

數(shù)學(xué)概念的抽象過程，需要給予學(xué)生足夠的時間，老師不能包辦，應(yīng)該組織學(xué)生先以獨立與合作相結(jié)合的方式進行，再形成學(xué)習(xí)小組內(nèi)相對統(tǒng)一的匯報信息。

第三組代表發(fā)言：我們認(rèn)為，以上幾個情境問題都包含兩個變量，如加油量和加油金額、時間和行程、時間和溫度，兩個變量在變化時滿足一定的規(guī)律：“一變帶一變”“一定帶一定”。

師：你們總結(jié)得很好！

第四組代表發(fā)言：我們做了一個圖表，分享給大家。（如圖5）

師：你們超級厲害，清晰地畫出了變量之間的關(guān)系圖。你們能發(fā)現(xiàn)圖中4組數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系有什么不一樣嗎？

生9：我們在七年級時學(xué)過“一一對應(yīng)”的含義，如數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)。以上四個表格中前面兩個表格中的數(shù)據(jù)屬于“一一對應(yīng)”（雙向一對一），而后面兩個表格中的數(shù)據(jù)不屬于“一一對應(yīng)”，如氣溫為18°C時，可以對應(yīng)兩個甚至多個時間點。

師：這位同學(xué)能夠聯(lián)想到七年級學(xué)過的“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”，相當(dāng)了不起，那是點與數(shù)的一種對應(yīng)關(guān)系。我們今天學(xué)習(xí)的也是一種對應(yīng)關(guān)系，如果兩個變量之間存在“一對一”和“多對一”的對應(yīng)關(guān)系，就是我們今天一起學(xué)習(xí)的課題——函數(shù)。至此，我們可以了解函數(shù)的屬性——兩變量、兩對應(yīng)。

2.學(xué)會提問：尋找不同視角，提出關(guān)聯(lián)問題

數(shù)學(xué)表征指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的過程，也指可見的形態(tài)，如圖表、數(shù)軸、圖象、數(shù)學(xué)表達(dá)式、公式、方程、具體對象等。［1］概念教學(xué)一般包含概念的數(shù)學(xué)抽象、概念的要義理解、概念的實際運用以及概念的系統(tǒng)建構(gòu)等，在教學(xué)過程中教師可以鼓勵學(xué)生在此基礎(chǔ)上對概念的源與流提出疑問或關(guān)聯(lián)問題。

首先，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起描述函數(shù)的概念：（為便于描述，我們設(shè)兩個變量為x，y）一般地，在一個變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量。

接下來，教師請學(xué)生根據(jù)函數(shù)屬性，由每個小組提出一個關(guān)聯(lián)問題，并嘗試回答。

第五組提出的問題是：函數(shù)有具體的表達(dá)形式嗎？

生10：函數(shù)的表達(dá)形式可以是數(shù)學(xué)關(guān)系式，如上述路程與時間之間的關(guān)系s=90t，對于t的每一個值，s都有唯一的值與它對應(yīng)，這里s是t的函數(shù)，t是自變量。再如圓的面積公式S=π·r2中，對于r的每一個值，S都有唯一的值與它對應(yīng)，這里S是r的函數(shù)，r是自變量。

生11：函數(shù)的表達(dá)形式也可以是表格形式。

生12：函數(shù)的表達(dá)形式還可以是圖象形式，如圖4。對于“時間”的每一個值，“氣溫”都有唯一的值與它對應(yīng)，這里“氣溫”是“時間”的函數(shù)，“時間”是自變量。

師：這3位同學(xué)已經(jīng)把我們這節(jié)課出現(xiàn)的幾種函數(shù)表達(dá)形式都?xì)w納到位了。這3種形式各有優(yōu)點，我們將在今后的學(xué)習(xí)中逐步感受。（如圖6）

3.學(xué)會建構(gòu)：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)問題解決

函數(shù)是刻畫變量關(guān)系非常重要的數(shù)學(xué)模型，是解決問題的重要工具。將一個實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，尋求問題解決的優(yōu)化方案是學(xué)生應(yīng)該具備的關(guān)鍵能力，教師在教學(xué)時應(yīng)該著重培養(yǎng)。

函數(shù)模型有著廣泛的運用，在實際問題中存在多個有相關(guān)關(guān)系的變量時，就可以構(gòu)建函數(shù)。例如，商場銷售一種型號的T恤衫，每天可以銷售20件，每件盈利40元，現(xiàn)在通過降價促銷，若在一定范圍內(nèi)，每降價10元，平均多銷售20件，問如何降價使得一天的盈利最大化。這里設(shè)降價x元（自變量），用含x的代數(shù)式表示另一個變量——衣服的銷售量（20+2x）件，于是就可以構(gòu)造總利潤的二次函數(shù)表達(dá)式，通過配方便可得到最值。同樣，在圖形動點問題中構(gòu)建函數(shù)模型也可以輕松解決問題，如兩個動點在矩形的兩條邊上按照各自的速度運動，可以求有關(guān)圖形面積的最值問題。這類問題也是通過設(shè)一個自變量，再表示三角形面積的函數(shù)關(guān)系式，進而求解。

4.學(xué)會求異：嘗試解法變化，追求思維創(chuàng)新

活潑、靈動的課堂需要多元化的表達(dá)方式。［2］判斷兩個變量是否存在函數(shù)關(guān)系，可以從不同角度進行，只要抓住函數(shù)的本質(zhì)屬性：兩個變量存在“一對一”或“多對一”關(guān)系即可。例如，實數(shù)x是非負(fù)數(shù)a的平方根，即x=±[a]或x2=a。

師：x與a這兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系？試從不同角度說明。

生13：x=±[a]，x2=a這兩個關(guān)系式本質(zhì)上是一致的，由前者容易看出，當(dāng)a取一個正數(shù)時，x有兩個值±[a]，所以實數(shù)x不是a的函數(shù)。由后者容易看出，當(dāng)x取一個實數(shù)時，a有唯一的值與之對應(yīng)，所以數(shù)a是實數(shù)x的函數(shù)。

生14：我把它們的關(guān)系通過表格形式呈現(xiàn)。（如表2）可以看出，當(dāng)a取一個正數(shù)時，x有兩個值與之對應(yīng)，因此x不是a的函數(shù)。

生15：老師，我嘗試畫出對應(yīng)的圖象來判斷。（如圖7）過橫軸正半軸上任一點作橫軸的垂線，與圖象有兩個交點，即當(dāng)a值確定時，x存在兩個值，所以x不是a的函數(shù)；過縱軸上任一點作縱軸的垂線，與圖象僅有一個交點，即x值確定時，a有唯一的值與x對應(yīng)，所以a是x的函數(shù)。

概念教學(xué)有基本三步式，一是從表面到本質(zhì)，理解與把握概念的核心；二是從抽象到具體，把握概念化的過程；三是從個體到系統(tǒng)，尋找概念間的聯(lián)系，將概念立體化。［3］

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的育人價值就在培養(yǎng)思維和啟迪智慧，培養(yǎng)學(xué)生探索未知世界的好奇心和問題解決能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、科學(xué)精神。在課堂教學(xué)中教師要理解新課標(biāo)，積極踐行新理念，培育學(xué)生“四會”素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力，讓數(shù)學(xué)彰顯“為黨育人，為國育才”的學(xué)科價值。

【參考文獻(xiàn)】

［1］江漂，張維忠.英國Edexcel數(shù)學(xué)教科書編寫特色分析——從核心素養(yǎng)的角度［J］.教育研究與評論，2022（12）：48-53.

［2］華云鋒.初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中的素養(yǎng)培養(yǎng)——以實驗課“構(gòu)建中點四邊形”為例［J］.江蘇教育，2022（51）：40-43.

［3］章建躍.數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2019：385-386.