遷移建聯(lián)，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化生長(zhǎng)
——“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”教學(xué)片段與思考

江蘇徐州市丁萬河小學(xué)（221000） 姚媛媛

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的重要路徑。在新時(shí)代背景下，教師應(yīng)從整體性和一致性的視角深入理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，探尋知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維不斷進(jìn)階，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。面對(duì)運(yùn)算教學(xué)，要在現(xiàn)行教材的實(shí)施中思考，在有效指引下進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。

“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。學(xué)生已學(xué)習(xí)了三年級(jí)上冊(cè)的“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”和三年級(jí)下冊(cè)的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”，“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是整數(shù)乘法在整個(gè)小學(xué)階段的最后一次呈現(xiàn)，但就整個(gè)整數(shù)乘法的運(yùn)算而言，并未結(jié)束。因此，本課不僅是小學(xué)階段整數(shù)乘法的“收尾”與“總結(jié)”，承載著整理的任務(wù)，也是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，承載著整數(shù)乘法運(yùn)算生長(zhǎng)、連接的任務(wù)。如何在已有整數(shù)乘法筆算的基礎(chǔ)上定位與教學(xué)本節(jié)課內(nèi)容？如何讓本節(jié)課為后續(xù)其他復(fù)雜整數(shù)乘法運(yùn)算做支撐？在充分思考的基礎(chǔ)上，筆者在教學(xué)中多次嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究掌握整數(shù)乘法間的內(nèi)在聯(lián)系，通過方法遷移構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。

片段一：舊知遷移，關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算。請(qǐng)你從這些題目（如圖1）中選擇兩道題來進(jìn)行復(fù)習(xí)，你覺得選擇哪兩道題能幫助我們更好地學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)呢？

圖1

生1：我選的是②和⑥。

生2：我選①和④，因?yàn)棰俸廷芏际侨粩?shù)乘一位數(shù)，而今天學(xué)的是三位數(shù)乘兩位數(shù)，我們可以先通過乘一位數(shù)來復(fù)習(xí)。

生3：我選②和⑤，因?yàn)榻裉鞂W(xué)的是三位數(shù)乘兩位數(shù)，②是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，⑤是三位數(shù)乘一位數(shù)。

師：同學(xué)們既關(guān)注到了三位數(shù)又關(guān)注到了兩位數(shù)，考慮問題非常全面。我們就按同學(xué)們的意思，從三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)中各選一道題作為復(fù)習(xí)題。完成學(xué)習(xí)單中“復(fù)習(xí)”這一板塊。

（學(xué)生完成復(fù)習(xí)，并交流計(jì)算的過程）

【思考】

學(xué)生從算式的類型上考慮，尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，從這一點(diǎn)上說，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)主動(dòng)建聯(lián)。復(fù)習(xí)階段，學(xué)生聚焦計(jì)算過程，始終圍繞“乘了幾次？每次都是幾位數(shù)乘幾位數(shù)？”的問題展開交流。同時(shí)，學(xué)生呈現(xiàn)計(jì)算過程直觀圖，用箭頭直觀地反映運(yùn)算路徑（如圖2），展現(xiàn)他們的計(jì)算思維。

圖2

計(jì)算過程直觀圖讓學(xué)生明確：“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運(yùn)算是一致的，都是先按照數(shù)位分開來乘，再把積相加，可以簡(jiǎn)單概括為先分后合。通過計(jì)算過程直觀圖的呈現(xiàn)，學(xué)生能夠感受到“三位數(shù)乘一位數(shù)”分三次乘，每次都是一位數(shù)乘一位數(shù)；“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”分兩次乘，每次同樣是一位數(shù)乘兩位數(shù)。計(jì)算過程直觀圖的箭頭能讓學(xué)生厘清運(yùn)算的次數(shù)及乘的順序，都是用第二個(gè)乘數(shù)各數(shù)位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)。同時(shí)，也能在方框的指引下，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)兩位數(shù)在計(jì)算中被看成一個(gè)整體，一方面有利于提取運(yùn)算步驟，另一方面，也是將前期兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識(shí)直接遷移的具體體現(xiàn)。通過不斷遷移舊知，學(xué)生逐步體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)。

片段二：橫豎式建聯(lián)，融通知識(shí)結(jié)構(gòu)

（呈現(xiàn)例題，學(xué)生列出算式）

師：根據(jù)已有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，你能列豎式來解決學(xué)習(xí)活動(dòng)一（如圖3）的問題嗎？

圖3

（學(xué)生完成學(xué)習(xí)活動(dòng)后交流）

師：誰愿意來給大家講一講？

生1：每車128 箱，10 車是10 個(gè)128，也就是128×10；6 車是6 個(gè)128 個(gè)，也就是128×6。然后把10 車的箱數(shù)和6 車的箱數(shù)加起來就等于16 車的箱數(shù)。

生2：通過這個(gè)長(zhǎng)方形圖可以發(fā)現(xiàn)128×16=128×10+128×6。

師：結(jié)合這個(gè)情境和圖示，能不能具體解釋一下，在豎式乘法計(jì)算中的每一步計(jì)算分別表示什么意思？

生3：從豎式來看，先用16 個(gè)位上的6 乘128，得6×128=768，再用16 上十位上的1 乘128，得10×128=1280，再把這兩個(gè)數(shù)加起來就等于倉(cāng)庫(kù)一共購(gòu)進(jìn)的箱數(shù)——2048箱。

師：豎式對(duì)應(yīng)到圖上，分別是哪一部分？你能用線連一連嗎？

（學(xué)生表達(dá)并連線）

師：下面我們把這一個(gè)乘法豎式完整地來寫一寫。

（關(guān)注每一步計(jì)算結(jié)果的末位與誰對(duì)齊，表示什么）

【思考】

本環(huán)節(jié)依托“倉(cāng)庫(kù)購(gòu)進(jìn)迷你南瓜”的問題情境，探索128×16 的筆算方法。這一探索過程需要循“理”入“法”，滿足“理”和“法”的相互融合。根據(jù)學(xué)生的年齡和認(rèn)知特點(diǎn)，借助圖形幫助學(xué)生理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法，與已學(xué)過的筆算乘法銜接，并實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移。在呈現(xiàn)的順序上與前面學(xué)過的整數(shù)乘法有所不同：先嘗試列豎式解決，再結(jié)合圖示進(jìn)行解釋。學(xué)生已經(jīng)具備一定的筆算乘法的能力，看到算式后，可能更傾向于直接列豎式計(jì)算。雖然學(xué)生的筆算方法是由經(jīng)驗(yàn)直接遷移過來的，但是“算對(duì)了”并不一定就是真正“會(huì)算了”。因此，采取先列豎式計(jì)算的方式，符合學(xué)生的認(rèn)知心理。隨后，用圖形來解釋豎式計(jì)算中每一步的含義，讓圖形成為解釋算理的工具，使學(xué)生加深對(duì)算法的理解，實(shí)現(xiàn)從“講清事理”到“理解算理”，再到“建構(gòu)算法”的過程，實(shí)現(xiàn)理法交融。

片段三：框架圖搭建，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

師：回顧一下，我們學(xué)習(xí)過哪些乘法的計(jì)算？

生1：我們學(xué)習(xí)過三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)，還有一位數(shù)乘一位數(shù)。

師（出示寫有不同類型的乘法的牌子）：瞧，我們學(xué)了這么多種乘法，你能不能擺一擺，讓它們更有序、讓人看得更清晰？

生2（邊擺邊說）：把“一位數(shù)乘一位數(shù)”放在最上面，再把“兩位數(shù)乘一位數(shù)”放在“一位數(shù)乘一位數(shù)”下面，然后把“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”放在“兩位數(shù)乘一位數(shù)”旁邊，接著把“三位數(shù)乘一位數(shù)”放到“兩位數(shù)乘一位數(shù)”下面，最后把“三位數(shù)乘兩位數(shù)”放在“三位數(shù)乘一位數(shù)”旁邊。乘號(hào)的左邊是按照一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)的順序排列的。

師：如果按照這個(gè)方式繼續(xù)拓展下去，你覺得我們還將會(huì)學(xué)習(xí)怎樣的乘法計(jì)算呢？

生3：三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘一位數(shù)、四位數(shù)乘兩位數(shù)、四位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘四位數(shù)……

師：這是大家的想法，其實(shí)我們的學(xué)習(xí)并不是這樣的順序。在我們的課本當(dāng)中對(duì)于整數(shù)的運(yùn)算只學(xué)習(xí)到今天這節(jié)課——三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，后面就不再安排相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)了。為什么不學(xué)了呢？想一想，把你的想法跟同學(xué)說一說。

（學(xué)生交流并匯報(bào)）

生4：我覺得只要掌握了計(jì)算規(guī)律，后面的數(shù)無論多大都可以算出來。

生5：我感覺它們之間是有聯(lián)系的，三位數(shù)乘兩位數(shù)乘了兩次，每一次都是三位數(shù)乘一位數(shù)，我想，如果是三位數(shù)乘三位數(shù)，應(yīng)該是乘三次，每次還是三位數(shù)乘一位數(shù)。照這樣，就可以計(jì)算其他的大數(shù)的乘法了。

生6：我發(fā)現(xiàn)，不管是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，都可以轉(zhuǎn)化成幾位數(shù)乘一位數(shù)，而乘一位數(shù)實(shí)際上就是在算一位數(shù)乘一位數(shù)，都回歸到了一位數(shù)乘一位數(shù)的表內(nèi)乘法。

（教師板書如圖4所示）

圖4

【思考】

在回顧與建聯(lián)的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算總是經(jīng)歷“橫向溯源”和“縱向溯源”兩個(gè)過程。橫向看，不論是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，都可以回歸到“幾位數(shù)乘一位數(shù)”，只是乘的次數(shù)不同，如“四位數(shù)乘三位數(shù)”需要計(jì)算三次“四位數(shù)乘一位數(shù)”；縱向看，不論是幾位數(shù)乘一位數(shù)，都可以回歸到“一位數(shù)乘一位數(shù)”，同樣是乘的次數(shù)不同，如“四位數(shù)乘一位數(shù)”需要計(jì)算四次“一位數(shù)乘一位數(shù)”。這樣的發(fā)現(xiàn)使學(xué)生的思維連成一個(gè)整體，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新知識(shí)與舊知識(shí)的循環(huán)轉(zhuǎn)化，以及整數(shù)乘法運(yùn)算本質(zhì)上的一致性?；仡?、整理、拓展、建聯(lián)的過程不僅使方法得以向后延續(xù)，也實(shí)現(xiàn)了向前回歸。通過梳理與轉(zhuǎn)化，將所有整數(shù)乘法建立密切聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)點(diǎn)構(gòu)建成知識(shí)網(wǎng)的過程，通過推理算法，形成整體性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)與思考。

［總結(jié)］

本節(jié)課是一節(jié)典型的計(jì)算課，需要讓學(xué)生經(jīng)歷算理、算法的探究提升過程，進(jìn)而形成運(yùn)算技能，同時(shí)，作為“節(jié)點(diǎn)課”，它承載著梳理知識(shí)、建立聯(lián)系及把握乘法計(jì)算本質(zhì)等任務(wù)。這一課的教學(xué)，本身也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的一部分，通過明晰算法，為后續(xù)準(zhǔn)確、熟練運(yùn)算奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算從本質(zhì)上看是打通各種類型整數(shù)乘法計(jì)算的脈絡(luò)，轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的計(jì)算。從思維方法上看，從“兩位數(shù)乘一位數(shù)”開始，就已經(jīng)涉及乘法分配律的運(yùn)用。雖然“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運(yùn)算在形式上有所區(qū)別，只是運(yùn)算步驟增加了，但本質(zhì)是相同的，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”同樣如此，學(xué)生有了前期多種運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，更容易在探尋運(yùn)算本質(zhì)的過程中感受一致性。這有助于他們將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于更多整數(shù)乘法的計(jì)算中。在對(duì)比和分析各種乘法的計(jì)算方法時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的共性，領(lǐng)悟“先分后合”的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化思考。

教師進(jìn)行整體教學(xué)，注重知識(shí)的延伸點(diǎn)，讓學(xué)生“見樹木，也見森林”。從已有知識(shí)出發(fā)，從“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，再到其他復(fù)雜多位數(shù)相乘的計(jì)算歸納，逐步擴(kuò)出一片“林”，織出一張“網(wǎng)”。通過這種漸進(jìn)式的教學(xué)方式，學(xué)生不僅對(duì)整數(shù)乘法有整體把握，也可能跳出整數(shù)乘法系統(tǒng)，將整數(shù)乘法與整數(shù)加法、減法及整數(shù)除法結(jié)合，形成一個(gè)綜合和完整的數(shù)學(xué)運(yùn)算體系。在不斷聯(lián)系知識(shí)、豐富認(rèn)知的同時(shí)，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)也不斷完善，知識(shí)之間的聯(lián)系不斷豐富、逐步緊密。

學(xué)習(xí)的真正意義在于學(xué)習(xí)者厘清事物的內(nèi)在聯(lián)系，積極構(gòu)建合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生將知識(shí)相連的過程，是構(gòu)建知識(shí)、遷移方法的過程，這一過程使簡(jiǎn)單、碎片化的知識(shí)連成線、織成網(wǎng)，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及學(xué)習(xí)能力得到提升，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。