U型理論：讓數(shù)學(xué)基本思想從碎片到整體

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210018） 鐘 樹

史寧中教授在其著作《數(shù)學(xué)基本思想18 講》中提出“判斷數(shù)學(xué)基本思想的原則有兩個，一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的思想，二是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征”，并基于此判斷標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為抽象、推理和模型。

數(shù)學(xué)教育，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教育作為培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的重要階段，學(xué)生內(nèi)化和運用數(shù)學(xué)基本思想的能力無論是在過程性評價還是終結(jié)性目標(biāo)中都具有重要意義。本文將借鑒管理學(xué)中的U 型理論內(nèi)涵，構(gòu)建“數(shù)學(xué)基本思想U型學(xué)習(xí)模型”。

一、關(guān)聯(lián)性想象：數(shù)學(xué)思想與U 型理論的本質(zhì)追問

（一）三大數(shù)學(xué)基本思想的形成是一個連續(xù)的整體，它們共同構(gòu)建了個體的數(shù)學(xué)思想體系

作為三種主要的數(shù)學(xué)基本思想，抽象、推理、建模三者既是數(shù)學(xué)基本思想中各有特點的三個維度，又是統(tǒng)一融合的有機整體。面對生活中的數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等，學(xué)生經(jīng)歷第一次抽象后會得到基本數(shù)學(xué)概念，這是從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的思維過程；在此基礎(chǔ)上，學(xué)生會對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行二次抽象，并在此過程中理解初次抽象過程中的概念之間的關(guān)系。與此同時，在二次抽象的基礎(chǔ)上，學(xué)生會通過邏輯推理解決一些數(shù)學(xué)命題，并在推理過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，初步嘗試運用數(shù)形結(jié)合、猜測、列表、畫圖等方法構(gòu)建基于具身認(rèn)知的數(shù)學(xué)模型。

隨著數(shù)學(xué)知識的累積及生活中面臨的問題越來越多，出于解決實際問題的需要，學(xué)生會產(chǎn)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的需求。需要注意的是，一方面，數(shù)學(xué)模型有其適用的范圍；另一方面，學(xué)生由于自身經(jīng)驗及認(rèn)知不同，對同一個問題會構(gòu)建出不同的模型。因此，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建在小學(xué)階段具有不嚴(yán)密性及具身性，但不妨礙其作為有效的解題路徑和進一步進行數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)。

（二）U型理論是現(xiàn)代管理學(xué)中的重要理論

U 型理論是由麻省理工學(xué)院斯隆管理學(xué)院資深講師、探索變革深層動力的組織學(xué)習(xí)大師奧托·夏莫針對領(lǐng)導(dǎo)力與管理學(xué)提出的理論。完整的U型圖外形呈現(xiàn)出一個完整的“U”字形（如圖1）。U型理論適用于多個領(lǐng)域，具有強大的解釋功能。

圖1 U型理論的核心流程

（三）U型理論與數(shù)學(xué)基本思想的關(guān)聯(lián)

目前絕大多數(shù)學(xué)習(xí)和變革方法都以庫伯的“學(xué)習(xí)圈理論”為基礎(chǔ)，該理論指出學(xué)習(xí)的順序是觀察→反思→計劃→行動。目前課堂學(xué)習(xí)對于數(shù)學(xué)基本思想的涵育也是如此，但這種學(xué)習(xí)方法不僅缺乏激發(fā)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力和創(chuàng)新力的機制，還無法將不同數(shù)學(xué)基本思想融會貫通。

為了改善這一現(xiàn)象，筆者借鑒了管理學(xué)中的U型理論，對三種數(shù)學(xué)基本思想之間及其與生活的關(guān)系進行整體架構(gòu)，構(gòu)建“數(shù)學(xué)基本思想U 型學(xué)習(xí)模型”（如圖2），并以此模型為指導(dǎo)，對教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式進行創(chuàng)新，同時對模型進行優(yōu)化迭代。

圖2

二、創(chuàng)造性實踐：小學(xué)階段數(shù)學(xué)基本思想認(rèn)知的整體構(gòu)建

（一）還原與下沉，夯實抽象思想

“加強課程內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗、社會生活的聯(lián)系”是課程建設(shè)的一個基本原則。如果不加強數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就僅僅是紙上談兵，“用”將無從談起。弗賴登塔爾也認(rèn)為：數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，是排在第一位或最重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。“數(shù)學(xué)基本思想U 型學(xué)習(xí)模型”中對于抽象這一基本數(shù)學(xué)思想的定位，正是通過數(shù)學(xué)的眼光將生活中的現(xiàn)象、問題下沉至數(shù)學(xué)世界，用理性智慧為生活染上數(shù)學(xué)底色。

數(shù)學(xué)的視角主要關(guān)注抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式，因此我們可以將其理解為數(shù)學(xué)抽象，盡管這并不完全等同于數(shù)學(xué)抽象本身。與之相比，數(shù)學(xué)的眼光則相當(dāng)于進入數(shù)學(xué)抽象世界的門檻，即沒有數(shù)學(xué)的視角，就無法真正理解數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)。在“數(shù)學(xué)基本思想U 型學(xué)習(xí)模型”中，數(shù)學(xué)的眼光是從現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)世界的第一步，通過數(shù)學(xué)的視角開始認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)抽象。這種方法不僅符合核心素養(yǎng)的要求，而且遵循學(xué)生已有的經(jīng)驗和自然生長的抽象能力。同時，它對于培養(yǎng)學(xué)生推理和建構(gòu)數(shù)學(xué)基本思想的能力也具有重要作用。下面舉例說明。

1.形成數(shù)學(xué)眼光，內(nèi)化抽象思想

在日常生活中，學(xué)生很早就接觸了各種平面圖形，并且不可避免地要比較它們的大小。因此，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)“面積”之前，學(xué)生通常會通過重疊的方法來比較圖形的大小，這種方法蘊含著學(xué)生對生活經(jīng)驗的抽象。而通過研究可見、可觸摸的圖形來進行度量，是學(xué)生對現(xiàn)實生活進行的第一次抽象。

到了三年級下學(xué)期，學(xué)生會接觸面積的概念，并系統(tǒng)學(xué)習(xí)與面積相關(guān)的知識，需要比較類似圖3-1 的圖形面積大小。此時，由于經(jīng)驗不足，學(xué)生會產(chǎn)生對度量方法的迭代抽象的需求，將度量線段時的經(jīng)驗遷移到圖形面積的度量中。因此，使用格子作為度量單位來定量描述圖形面積大?。ㄈ鐖D3-2）就自然而然地呈現(xiàn)出來。

圖3-1

可以看出，培養(yǎng)抽象思維需要同時重視兩個方面。一方面，教師具備數(shù)學(xué)的眼光，立足生活實際，尊重學(xué)生的自然經(jīng)驗，并重視他們在日常生活中所體現(xiàn)出的實踐智慧和抽象能力。另一方面，在課堂學(xué)習(xí)中，教師需要適時引導(dǎo)學(xué)生，利用學(xué)習(xí)資源有針對性地培養(yǎng)他們的抽象思維。

2.錨定學(xué)習(xí)實際，運用抽象思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，常常會出現(xiàn)一些被稱為“種子題”或“探究題”的問題。這類問題不僅具有一定難度，也具有較強的探究價值，通常需要學(xué)生綜合運用單元或多個知識與技能來解決。同時，這類問題本身及其結(jié)論往往都具有較強的抽象性。學(xué)生在解決這類問題的過程中，常常會陷入僅僅就問題本身進行討論的死局，便無法很好地獲得和發(fā)展數(shù)學(xué)基本思想和方法。這導(dǎo)致許多優(yōu)秀的學(xué)習(xí)資源流于形式，沒有得到充分利用。

蘇教版教材六年級下冊26 頁中有一道題（如圖4），這樣一道現(xiàn)實感很強的探究問題，可以調(diào)動學(xué)生運用多種數(shù)學(xué)思維解決問題的興趣。

圖4

為了更好地幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高課堂學(xué)習(xí)的效率，筆者根據(jù)這道題設(shè)計了研究單供學(xué)生探究（如圖5）。

圖5

學(xué)生在討論后普遍會推理得到結(jié)論：同樣一張紙，橫著卷比豎著卷體積更大。在此基礎(chǔ)上，教師需要適時引導(dǎo)，幫助學(xué)生整合數(shù)學(xué)基本思想。

在探究過程中，主要就是將文字問題抽象為數(shù)學(xué)表達。一旦完成抽象，學(xué)生會根據(jù)任務(wù)要求進行實際操作，例如轉(zhuǎn)動、卷曲，且在測量數(shù)據(jù)后進行比較，從中獲得原始經(jīng)驗。在此基礎(chǔ)上，每個學(xué)生將自己得出的結(jié)論在小組內(nèi)進行討論。在討論的過程中，每個學(xué)生都要合情推理、歸納總結(jié)，嘗試得出比之前更完善的結(jié)論。

通過討論，學(xué)生普遍會推理出較為完善的結(jié)論：同樣一張紙，橫向卷比縱向卷得到的圓柱的體積更大。這個結(jié)論是基于他們對實際操作和數(shù)據(jù)比較的綜合理解。在這個關(guān)鍵時刻，教師需要適時引導(dǎo)學(xué)生。于是，筆者設(shè)計了問題“對于所有的長方形紙來說，是否都有這個現(xiàn)象呢？”在這種情況下，學(xué)習(xí)目標(biāo)發(fā)生了變化，對學(xué)生思維的要求更高了。在小組討論中，學(xué)生可能會想到使用字母表示數(shù)值來證明。這個二次討論的過程對學(xué)生而言，既是將數(shù)字抽象為字母、將觀察到的現(xiàn)象抽象為原理的過程，也是從特殊結(jié)論到一般結(jié)論的推理過程。學(xué)生在探究一個問題的過程中會接觸多種數(shù)學(xué)基本思想，這是數(shù)學(xué)基本思想品質(zhì)提升的關(guān)鍵一步。

（二）經(jīng)驗與探究，深耕推理思想

推理思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段主要表現(xiàn)為推理意識，即對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。通過推理意識的培養(yǎng)，學(xué)生能夠進行合情推理和初步的演繹推理。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力、勇于探索的科學(xué)精神、實事求是的科學(xué)態(tài)度，并促進他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成數(shù)學(xué)思維。

在“數(shù)學(xué)基本思想U 型學(xué)習(xí)模型”中，推理思想是對數(shù)學(xué)經(jīng)驗進行探究的重要工具，起著關(guān)鍵的作用。一方面，教師需要對從現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界抽象出的經(jīng)驗進行演繹和歸納，使其具有一般性和普遍性；另一方面，教師需要關(guān)注經(jīng)過推理而得出的結(jié)論的正確性和實踐性，并進一步運用推理所得的理論指導(dǎo)學(xué)生建模，以滿足學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的需求。下面舉例說明。

1.單元整體構(gòu)建，探索演繹推理

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》的頒布和實施，以課時為單位的碎片化教學(xué)方式正在改變，大單元教學(xué)越來越受到重視。大單元教學(xué)讓演繹推理思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中扮演了更重要的角色。通過大單元教學(xué)，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)概念和原理，并能夠運用演繹推理的方法驗證數(shù)學(xué)命題。這種教學(xué)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力，提升他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的綜合素養(yǎng)。

以蘇教版教材三年級下冊第一單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例。在充分挖掘教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，筆者重組新授部分例題，以本單元中的兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式為主題，以乘法口訣與加法為基礎(chǔ)，以演繹推理為路徑，在聯(lián)結(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)實際經(jīng)驗與學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新課堂教學(xué)方法，提升學(xué)生的推理意識（如圖6）。

圖6

在這個案例中，學(xué)生緊緊圍繞兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式，以豎式結(jié)構(gòu)為推理起點，通過一系列驅(qū)動問題逐步推理出豎式構(gòu)建的規(guī)則和底層邏輯。通過演繹推理，學(xué)生理解了計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式的算理和算法。在此基礎(chǔ)上，通過多元表征，具象化豎式內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，完成了從一般到特殊的演繹過程。這個過程不僅幫助學(xué)生掌握了具體的計算方法，還培養(yǎng)了他們對數(shù)學(xué)概念和算法進行抽象的能力。這種通過演繹推理所構(gòu)建的活動經(jīng)驗，對于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)、小數(shù)乘法等更為抽象的內(nèi)容，都是非常寶貴的財富（如圖7）。

圖7

2.打通理解脈絡(luò)，完善歸納推理

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)乘法的意義較為抽象，學(xué)生往往難以理解。然而，理解分?jǐn)?shù)乘法的意義對于提高分?jǐn)?shù)乘法的計算能力至關(guān)重要?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》也強調(diào)學(xué)生理解運算的道理和得出準(zhǔn)確的運算結(jié)果的重要性。然而，筆者通過大量的課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法意義的理解往往表現(xiàn)為淺層次、單一性和呆板性，影響了他們的運算能力的提升。筆者認(rèn)為采用歸納推理可以較好地改善這種狀況。

（三）反思與上浮，激揚模型意識

模型意識是指學(xué)生對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，并意識到現(xiàn)實生活中許多問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，可以用數(shù)學(xué)概念和方法進行解釋。培養(yǎng)學(xué)生的模型意識對于其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的發(fā)展至關(guān)重要。在培養(yǎng)學(xué)生的模型意識時，有幾點需要注意：第一，需要創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，讓學(xué)生親身參與解決問題的過程；第二，利用典型實例，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型可以解決一類問題；第三，要盡可能組織跨學(xué)科主題活動，并在活動中突顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

建模思想作為人們與現(xiàn)實世界溝通的橋梁，在“數(shù)學(xué)基本思想U 型學(xué)習(xí)模型”中是反思與上浮的重要路徑。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，下面以數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與整理為例，解釋模型思想價值的體現(xiàn)。

1.創(chuàng)新跨學(xué)科實踐，用模型描述生活

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有許多內(nèi)容與實際生活密切相關(guān)，特別是在統(tǒng)計領(lǐng)域，經(jīng)常需要對生活中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計和整理。因此，表格模型成為小學(xué)階段模型思想的體現(xiàn)。

以養(yǎng)蠶寶寶為例，教師可以結(jié)合課程內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生走出課堂，圍繞蠶寶寶開展相關(guān)活動，如飼養(yǎng)、觀察、測量等。學(xué)生可以在實踐中感受傳統(tǒng)文化，體驗從蠶卵到絲綢的完整過程。這種跨學(xué)科學(xué)習(xí)可以融合語文、數(shù)學(xué)、英語、科學(xué)、信息技術(shù)等學(xué)科要素，實現(xiàn)任務(wù)式學(xué)習(xí)。例如，學(xué)生可以追溯文字、測量蠶的身長和體重、統(tǒng)計數(shù)據(jù)、應(yīng)用數(shù)學(xué)概念等，并通過技術(shù)支持和交流來展示學(xué)習(xí)成果。

跨學(xué)科學(xué)習(xí)是提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)基本思想解決實際問題能力的重要手段。在跨學(xué)科學(xué)習(xí)中，首先，要找到活動與數(shù)學(xué)的契合點，如將蠶的研究與數(shù)據(jù)的收集和整理單元結(jié)合起來；其次，要細化研究內(nèi)容，思考如何進行研究，例如如何測量蠶的身長和體重，并選擇合適的方式和工具進行測量；最后，要完成較為系統(tǒng)的學(xué)科研究報告，以展示學(xué)科研究的成果和結(jié)論。

學(xué)生經(jīng)過獨立思考和分組討論之后，確定用表格呈現(xiàn)研究結(jié)果。于是，一張張充滿個性的表格產(chǎn)生了（如圖8）。到六年級的時候，可以將此表格拿出來，結(jié)合正比例關(guān)系這一知識，優(yōu)化表格數(shù)據(jù)。

圖8

2.回溯基本知識理解，用模型助推認(rèn)知

“加法模型”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中新增的內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，可以通過多元表征表達對加法數(shù)量關(guān)系的理解：首先通過具體情境和已有經(jīng)驗，完成對數(shù)量關(guān)系式的抽象；接著基于數(shù)量關(guān)系式共性的提取，完成對加法模型本質(zhì)的兒童化表征；最后在融通中完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建（如圖9）。

圖9

可以看到，三大數(shù)學(xué)基本思想緊密圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并形成一個整體，從生活中抽象出數(shù)學(xué)概念，在推理中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，最后利用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實生活中的問題。在U 型理論的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)基本思想鮮活且完整。

綜上，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，首先，要意識到數(shù)學(xué)基本思想的重要性；其次，要在獨立思考和合作交流的過程中逐漸形成優(yōu)秀的思維品質(zhì)。另外，教師要不斷更新教學(xué)方式，這樣方能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維解決實際問題的能力。