敏捷轉彎傘彈系統(tǒng)動力學建模與分岔特性分析

周洪淼，于劍橋，于勇

北京理工大學 宇航學院，北京 100081

傳統(tǒng)彈箭類飛行器由于幾何外形、氣動布局等條件的約束，正面臨機動性能、突防能力等性能上的瓶頸，逐漸難以滿足現(xiàn)代軍事斗爭的高強度需求。如果能在保持傳統(tǒng)彈箭類飛行器高速高精度優(yōu)勢的基礎上附加極短時間超機動敏捷轉彎能力，則可以使彈箭類武器更好地應對復雜、多變的戰(zhàn)場環(huán)境。在高速高動態(tài)條件下實現(xiàn)導彈超機動敏捷轉彎，需要超量級的機動載荷支持。傳統(tǒng)彈箭設計思路中采用的氣動力控制裝置、直接力控制裝置（Reaction-jet Control System，RCS）或推力矢量裝置（Thrust Vector Control，TVC）［1-3］不具備提供超量級機動載荷能力，導彈轉彎半徑通常在50 m 以上，轉彎時間>2 s。因此，通過加裝其他控制裝置，在維持彈箭高速飛行氣動構型不變的前提下提供彈箭超機動敏捷轉彎所需的超量級機動載荷成為了一個新的研究方向。

航空領域的柔性面主要包括各類降落傘及翼傘，具有質量輕、折疊后尺寸小、空間利用率高、能產(chǎn)生大量級氣動力等優(yōu)點。目前，通過加裝柔性面的方式實現(xiàn)對導彈的控制已有相關的研究成果，主要集中在利用圓形降落傘對末敏彈進行減速減旋及穩(wěn)定姿態(tài)［4-7］。但是傳統(tǒng)的圓形降落傘由于缺乏主動控制能力且僅能安裝在導彈尾部，對導彈主要起到減速作用，難以利用其產(chǎn)生導彈敏捷轉彎所需的法向控制力和控制力矩。

翼傘是一種前緣有切口，利用沖壓空氣保持一定形狀的柔性飛行器?？刹倏v性是翼傘與傳統(tǒng)降落傘的最大區(qū)別，通過拉動連接翼傘后緣的兩根操縱傘繩改變氣動力和氣動力矩，從而控制翼傘的飛行姿態(tài)。翼傘廣泛應用于飛行器回收、精確空投等領域［8-10］。如果在導彈彈體側面加裝可控翼傘作為柔性控制面，在導彈執(zhí)行超機動敏捷轉彎時將折疊翼傘彈出，使其充氣展開，提供導彈姿態(tài)調整所需超量級法向機動載荷，則有望實現(xiàn)導彈快速、小半徑、大角度敏捷轉彎。本文由此提出由導彈、翼傘組成的傘彈系統(tǒng)，如圖 1 所示。傘彈系統(tǒng)的戰(zhàn)術意義包括：①減小敏捷轉彎半徑；② 減小敏捷轉彎時間；③完成超機動動作后即可拋掉翼傘系統(tǒng)以減輕質量，在發(fā)動機作用下進入末端加速攻擊階段。

圖1 傘彈系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of parafoil-missile system

動力學建模是飛行器設計的基礎，目前針對翼傘系統(tǒng)的動力學建模已經(jīng)有了較多研究。針對翼傘多體系統(tǒng)的動力學建模主要分為3 類：一是單剛體六自由度模型，以文獻［11-13］為代表，該種建模方法關心的是翼傘系統(tǒng)整體的運動狀態(tài)，包括運動軌跡及運動姿態(tài)，但是無法獲得更多運動參數(shù)信息；二是考慮翼傘與載荷之間的約束連接關系，文獻［14-15］將翼傘與無人機之間的連接關系簡化為帶有滾轉約束的鉸接，推導出系統(tǒng)的8 自由度模型，文獻［16］則考慮了翼傘與載荷之間的相對滾轉運動，推導出系統(tǒng)的9 自由度模型。目前關于翼傘載荷系統(tǒng)的動力學建模已經(jīng)有比較成熟的方法。

Prakash等［16-17］利用分岔分析與連續(xù)算法，分別對翼傘系統(tǒng)縱向平面內的4 自由度動力學模型及空間9 自由度動力學模型進行分岔分析，研究了在不同襟翼偏轉量下，安裝角對翼傘滑翔及雀降性能的影響。Yang等［18］基于小擾動線性化假設推導了翼傘系統(tǒng)的小擾動線性化方程，分析了繩長、安裝角、翼傘下反角對系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的影響，但是該方法無法準確揭示系統(tǒng)的非線性動力學現(xiàn)象。對翼傘-導彈系統(tǒng)而言，其動力學具有快時變、強非線性的特點，小擾動線性化假設難以適用。

翼傘氣動性能的研究早期使用風洞試驗，美國NASA 與Notre Dame 大學在20 世紀60 年代進行了一系列的風洞試驗［19］，但是風洞試驗成本較高，目前多采用計算流體力學（Computational Fluid Dynamics，CFD）方法進行研究。孫青林等［20］對襟翼偏轉氣動性能進行數(shù)值模擬實現(xiàn)對翼傘氣動模型的修正，朱虹等［21］綜合考慮翼傘前緣切口及后緣下偏的影響，實現(xiàn)了翼傘氣動力的精確計算。但是上述研究中，翼傘的來流速度在10 m/s 左右，在如此低速飛行條件下難以滿足導彈高速高動態(tài)敏捷轉彎需要。

本文首次提出通過導彈加裝可控翼傘作為控制面實現(xiàn)導彈快速、小半徑、大角度敏捷轉彎。為了可以準確地模擬翼傘-導彈系統(tǒng)的運動狀態(tài)，給出能夠反映翼傘、導彈相對運動的空間9 自由度動力學模型。通過CFD 數(shù)值模擬得到翼傘在馬赫數(shù)0.3～0.5、攻角范圍-5°～20°情況下的氣動系數(shù)。通過縱向平面內的彈道仿真，證明所提出傘彈系統(tǒng)敏捷轉彎方案的有效性。利用分岔分析方法研究翼傘-導彈系統(tǒng)動力學特性，得到在不同襟翼偏轉角情況下，系統(tǒng)以安裝角為變化參數(shù)的分岔圖，根據(jù)分岔結果給出導彈實現(xiàn)最小轉彎半徑及最大轉彎末速所需的安裝角及襟翼偏轉角參數(shù)。

1 動力學建模

提出的翼傘-導彈系統(tǒng)如圖 1 所示，系統(tǒng)包括加裝在導彈側面的翼傘、傘繩、傘繩連接點及導彈，以下簡稱傘彈系統(tǒng)。

定義相關坐標系及參考點如下：{n}為地面慣性坐標系，{p}為翼傘體坐標系，原點位于翼傘壓心P，Xp與翼傘參考弦線重合，指向前緣為正，Yp垂直于翼傘縱向對稱平面，Zp與Xp、Yp構成右手直角坐標系。{m}為彈體坐標系，原點位于導彈質心M，Xm與彈軸重合，Ym垂直于導彈縱向對稱平面。為由翼傘、傘繩、操縱機構構成子系統(tǒng)（以下簡稱翼傘子系統(tǒng)）的體坐標系，原點位于翼傘子系統(tǒng)質心B，Zb軸位于翼傘子系統(tǒng)縱向對稱平面內，與矢量平行，C 點為傘繩匯交點。Mp為翼傘附加質量質心。

翼傘子系統(tǒng)和導彈被視為由C 點鉸接的2 個剛體。傘彈系統(tǒng)被視為9 自由度模型，包括連接點C 的3 個慣性位置自由度，以及翼傘子系統(tǒng)和導彈的3 個歐拉轉動角度自由度。

1.1 翼傘附加質量模型

對翼傘這種在空氣中運動的柔性織物，其密度與空氣相當，附加質量對動力學特性的影響無法忽略［22-23］。等效作用在B 點的附加質量力和力矩的計算公式為

矢量叉乘矩陣S(?)定義如下：

式中：μ 為翼傘安裝角，其大小等于Xp與Xb之間的夾角，翼傘相對導彈抬頭為正。安裝角表征了翼傘與導彈的相對安裝角度。

附加質量矩陣Ia.m.和附加轉動慣量矩陣Ia.i.是對角矩陣：

Lissaman和Brown［22］給出附 加質量 的計算公式為

其中：ρ 為空氣密度。其余幾何參數(shù)意義如圖2 所示，t 為翼型厚度；c 為翼傘弦長；b 為翼傘展長。

圖2 翼傘幾何參數(shù)Fig.2 Geometric parameters of parafoil

圖3 翼傘氣動外形參數(shù)Fig.3 Aerodynamic shape parameters of parafoil

圖4 CFD 數(shù)值模擬得到的翼傘氣動參數(shù)Fig.4 Aerodynamic parameters of parafoil obtained by CFD

圖5 襟翼無偏轉仿真結果Fig.5 Results of simulation with no flap deflection

1.2 動力學及運動學模型

傘彈系統(tǒng)9 自由度動力學模型與翼傘載荷系統(tǒng)9 自由度模型基本相同，后者在諸多文獻中均有論述［16，24］，本文略去其推導過程，直接給出動力學模型。導彈為軸對稱氣動外形，翼傘作用時導彈本身不進行姿態(tài)控制，發(fā)動機推力沿彈體軸向。

C 點的平動運動學方程為

式中：[ xCyCzC]T為C 點在慣性系下的位置坐標為系到{n}系的轉換矩陣。

翼傘子系統(tǒng)和導彈的轉動運動學方程分別為

式中：θ、ψ、? 分別為翼傘子系統(tǒng)的俯仰、偏航和滾轉角；θm、ψm、?m分別為導彈的俯仰、偏航和滾轉角。式（8）～式（12）共同構成了傘彈系統(tǒng)9 自由度運動模型。

2 翼傘氣動參數(shù)數(shù)值模擬

2.1 翼傘氣動外形

翼傘氣動外形參考文獻［19］中的翼傘模型，如圖 3 所示，其中氣動弦長c 為2.133 6 m，展長b 為6.400 8 m，弧面下反角β 為9.55°，傘 繩R 為4.78 m，前緣切口角度為45°。由于翼傘充氣后具有固定形狀且傘繩處于張緊狀態(tài)，翼傘氣室內部幾乎沒有氣流，翼傘在小攻角下的氣動特性與固定翼型非常相似［18］。對于真實翼傘，傘繩的氣動力不可忽略，但對于本文而言，忽略傘繩氣動力可以簡化分析，并不影響主要的定性分析結論。因此，對翼傘模型做如下簡化：①翼傘視為剛體，僅在襟翼偏轉時考慮形變；② 傘衣結構不透氣；③不考慮翼傘內部流場；④ 忽略傘繩產(chǎn)生的氣動力。上述簡化可以降低計算成本，縮短數(shù)值模擬周期。

共使用3 個不同形態(tài)的翼傘模型。翼傘以弦長75%處為軸彎折［19］，即后緣25%的翼尖向下彎折，彎折角度Φ 稱為偏轉角。其中模型1 襟翼無偏轉Φ=0°，模型2 襟翼雙側對稱偏轉Φ=25°。模型3 襟翼雙側對稱偏轉Φ=50°。展向兩側偏轉量大，展向中部偏轉量小。

2.2 流場設置與求解方法

流場計算采用Ansys Fluent21.0，采用密度基求解器，求解時均Navier-Stokes（RANS）方程組［25］。湍流模型選擇RNG k-ε 湍流模型［26］，對近壁面逆壓梯度變化有較好的捕捉效果，空間離散方式為二階迎風。

邊界條件設置如下：翼傘表面為無滑移壁面；計算域的6 個邊界為壓力遠場，來流馬赫數(shù)0.5和0.3，壓 力101 325 Pa。攻角范圍為-5°～20°，間隔5°。

氣動力系數(shù)以來流值為參考條件，參考長度取弦長c，俯仰力矩系數(shù)參考點位于距翼傘前緣c/4處。

2.3 CFD 數(shù)值模擬結果

CFD 數(shù)值模擬得到的翼傘阻力系數(shù)CD，升力系數(shù)CL和俯仰力矩系數(shù)Cm，c/4如圖 4 所示。由圖 4可知阻力系數(shù)隨攻角增大而增大，來流速度對阻力系數(shù)影響并不明顯。襟翼偏轉角越大，阻力系數(shù)越大。α=0°、Φ=0°時阻力系數(shù)有最小值。

升力系數(shù)隨攻角增大先上升后下降，Ma=0.3時失速攻角出現(xiàn)在5°左右，Ma=0.5 時失速攻角出現(xiàn)在10°左右。襟翼偏轉，升力系數(shù)增大。Φ=50°時，攻角在5°～10°范圍內，升力系數(shù)較大。

Φ=0°時，攻角增大，翼傘壓心逐漸后移并跨過參考點，Φ=25°及Φ=50°時，翼傘壓心始終位于參考點之后。翼傘壓心后移導致力矩系數(shù)減小。

若僅考慮翼傘在縱向平面內的運動，翼傘的氣動力和氣動力矩計算公式別為

式中：Sp為翼傘 的特征面積；Vp為P 點速度；Cmq為由俯仰角速率引起的俯仰阻尼力矩系數(shù)導數(shù)；為翼傘空速坐標系到翼傘體坐標系的轉換矩陣：

其中：[ upvpwp]T為P 點速度在{p}系下的投影；rCP為矢量在系下的投影。

3 傘彈系統(tǒng)無控彈道仿真

3.1 無控彈道仿真

為了驗證傘彈系統(tǒng)可以實現(xiàn)快速、小半徑、大角度敏捷轉彎，進行傘彈系統(tǒng)無控彈道仿真。導彈參數(shù)及氣動系數(shù)參考文獻［1］中提供的數(shù)據(jù)。傘彈系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

表1 傘彈系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of parafoil-missile system

對傘彈系統(tǒng)模型做出如下假設：

1）不考慮翼傘從彈體中彈出、開傘及充氣過程。

2）忽略傘繩產(chǎn)生的氣動力。

3）翼傘是展向對稱的，傘衣充氣張滿后具有固定形狀，除襟翼偏轉外視為不可變形剛體。

4）翼傘壓心P 與1/4 參考弦線處重合。

5）僅考慮傘彈系統(tǒng)在縱向平面內的運動，不考慮側向擾動。

導彈推力5 000 N，無舵控，翼傘和導彈的初始速度為0.5Ma，姿態(tài)角為均為0°，初始高度1 000 m，翼傘安裝角μ=-4°，仿真結束條件為翼傘俯仰角達到180°。Φ=0°情況下彈道曲線，翼傘和導彈的速度、攻角、俯仰角、升力、阻力曲線如圖 5 所示。由圖 5 可知傘彈系統(tǒng)在0.396 s內完成了縱向平面內敏捷轉彎，轉彎半徑20.33 m，導彈速度由170 m/s 降至149.44 m/s，速度損失比較小。翼傘攻角變化幅度很小，并最終穩(wěn)定在5°左右，導彈攻角在-14°～22°之間振蕩。導彈俯仰角變化與翼傘俯仰角變化大致相同，翼傘俯仰角速度最終趨于穩(wěn)定值。翼傘產(chǎn)生的氣動力遠大于導彈的氣動力，其中翼傘產(chǎn)生的升力主要提供傘彈系統(tǒng)在縱向平面內作近似圓周運動的向心力。

3.2 不同襟翼偏轉角情況仿真對比

為了研究翼傘不同襟翼偏轉角對傘彈系統(tǒng)運動的影響，在其余仿真條件相同的情況下，對比了Φ=0°，25°，50°情況下導彈彈道，導彈速度，翼傘攻角及翼傘升力系數(shù)變化曲線如圖 6 所示。

表2 給出了不同襟翼偏轉角情況下傘彈系統(tǒng)敏捷轉彎主要性能數(shù)據(jù)，包括導彈轉彎半徑、轉彎末速及轉彎時間對比。Φ=50°時導彈轉彎半徑最小，同時轉彎時間最短，Φ=0°時導彈轉彎末速度最大。Φ=0°時翼傘攻角發(fā)生了一定范圍內的振蕩，Φ=25°及Φ=50°時翼傘攻角較快收斂于平衡狀態(tài)。

表2 不同襟翼偏轉角傘彈系統(tǒng)敏捷轉彎性能對比Table 2 Comparison of agile turn performance of parafoil-missile system at different flap deflections

在傘彈系統(tǒng)完成敏捷轉彎后，即可拋掉翼傘子系統(tǒng)，導彈恢復舵控，依據(jù)導引規(guī)律進入末端加速攻擊階段。

3.3 仿真結果分析

對于縱向平面內機動的導彈而言，忽略舵面產(chǎn)生的控制力，彈道傾角γ 滿足如下方程［27］：

式中：W 為導彈重力；L 為導彈受到的升力。對傘彈系統(tǒng)而言，由于翼傘產(chǎn)生的氣動力遠大于導彈產(chǎn)生的氣動力、導彈推力及導彈重力，因此下述關系成立：

導彈轉彎半徑RT滿足：

式中：LPM為P 點和M 點之間的距離。由式（22）可知：

圖6（d）給出了翼傘升力系數(shù)變化曲線：

圖6 不同襟翼偏轉角仿真結果對比Fig.6 Comparison of simulation results at different flap deflections

導彈速度滿足如下方程：

由于翼傘產(chǎn)生的阻力遠大于導彈產(chǎn)生的阻力及導彈重力，導彈攻角α 是小量，因此下述關系成立：

LPM/RT近似為常數(shù)，因此，

翼傘阻力系數(shù)越大，導彈轉彎末速度越小，由圖 4（a）翼傘阻力系數(shù)在攻角0°～6°范圍內滿足

翼傘的升力系數(shù)和阻力系數(shù)分別是影響導彈敏捷轉彎半徑和轉彎末速的主要因素。如果能夠將翼傘平衡攻角配置在翼傘升力系數(shù)最大值點（Φ=50°，αp=5°～10°），或阻力系數(shù)最小值點（Φ=0°，αp=0°），則可以進一步提高傘彈系統(tǒng)敏捷轉彎性能。

4 傘彈系統(tǒng)非線性動力學分岔分析

4.1 分岔分析

分岔現(xiàn)象是非線性動力學系統(tǒng)特有的現(xiàn)象，對非線性系統(tǒng)的定性分析具有十分重要的作用。對于含參數(shù)動力系統(tǒng)

式中：x ∈Rn稱為狀態(tài)變量；λ ∈Rm為分岔參數(shù)。當參數(shù)λ 在Rm內連續(xù)變化時，若系統(tǒng)式（32）的平衡狀態(tài)位置、類型以及穩(wěn)定性在λ=λ0處突然發(fā)生變化，則稱系統(tǒng)式（32）在λ=λ0處出現(xiàn)分岔，稱λ0為分岔值，(x，λ0)為分岔點。系統(tǒng)的相空間拓撲結構隨參數(shù)λ 變化的圖形稱為分岔圖。分岔可以分為靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔，其中平衡點的個數(shù)和穩(wěn)定性隨參數(shù)變化為靜態(tài)分岔，極限環(huán)是動態(tài)分岔的主要研究內容。

系統(tǒng)式（32）在平衡點(x0，λ0)出現(xiàn)靜態(tài)分岔的必要條件為平衡點(x0，λ0)處的雅克比矩陣Dxf(x0，λ0)至少存在一個零特征值，分岔點的類型同樣可以根據(jù)雅克比矩陣的特征值判斷。對于高維非線性系統(tǒng)，求解系統(tǒng)平衡點的解析解是十分困難的，數(shù)值方法是研究高維系統(tǒng)分岔問題的主要方法，該方法通過連續(xù)算法追蹤系統(tǒng)解曲線隨分岔參數(shù)的變化，同時通過判斷解的特征值變化規(guī)律判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分岔點的位置和類別。

傘彈系統(tǒng)動力學方程（8）、（9）是典型的高維非線性系統(tǒng)。本文僅研究傘彈系統(tǒng)在縱向平面內的運動特性，因此將側向運動狀態(tài)變量置0，同時為了進一步簡化模型，忽略系統(tǒng)受到的重力作用。傘彈系統(tǒng)縱向平面內的動力學方程可整理為式（32）形式，其中狀態(tài)變量x=[uCwCwCq qmθmb]T。θmb為Xm與Xb之間的夾角，Xb由順時針轉向Xm為正，θmb滿足下述方程：

安裝角μ 對翼傘載荷系統(tǒng)的平衡攻角有顯著的影響［16-17］，本文以安裝角μ 為連續(xù)變化參數(shù)，研究在不同襟翼偏轉角Φ 情況下，傘彈動力系統(tǒng)相空間的變化規(guī)律，即參數(shù)λ=[ Φ μ ]T。為避免翼傘初始攻角落入不合理區(qū)間，考慮安裝角變化范圍μ ∈(-5°，0°) 。本文使用非線性數(shù)值分析工具MATCONT［28］進行分岔分析。

圖7給出了不同襟翼偏轉角Φ 情況下，翼傘平衡攻角αp隨安裝角μ 變化的分岔圖。圖中三支穩(wěn)定平衡分支均在首次遇到Hopf分岔點后失去穩(wěn)定性。表3 給出三支穩(wěn)定平衡分支在首次遇到Hopf分岔點時雅克比矩陣特征值及第一李雅普諾夫系數(shù)l1。在Hopf分岔點處特征值存在一對純虛根，由于l1>0，Hopf分岔點處生成不穩(wěn)定極限環(huán)。對于其余Hopf分岔點，均有l(wèi)1>0，略去其具體數(shù)值。

表3 Hopf 分岔點參數(shù)Table 3 Parameters at Hopf bifurcation

圖7 αp 隨μ 變化的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of variation of αp with μ

圖8 不同初始點相軌線在αp-q 平面上的投影Fig.8 Projection of phase trajectories of different initial states on αp-q plane

圖9 不同安裝角μ 情況下穩(wěn)定平衡點的吸引域Fig.9 Attractive region of stable equilibrium at different μ

圖10 導彈轉彎半徑對比Fig.10 Comparison of missile turn radii

圖11 翼傘攻角對比Fig.11 Comparison of parafoil angles of attack

圖12 導彈速度對比Fig.12 Comparison of missile speeds

Φ=0°時，穩(wěn)定的平衡分支對應的安裝角μ ∈(-5°，-2.24°)，翼傘平 衡攻角范圍αp∈(3.37°，8.90°)。

Φ=25°時，穩(wěn)定的平衡分支對應的安裝角μ ∈(-5°，-0.41°)，翼傘平 衡攻角范圍αp∈（-0.84°，7.03°）。

Φ=50°時，穩(wěn)定的平衡分支對應的安裝角μ ∈(-5°，-1.63°)，翼傘平 衡攻角范圍αp∈（-0.94°，6.90°）。

由3.3 節(jié)分析可知，實現(xiàn)導彈最小轉彎半徑的理想 翼傘平 衡攻角 區(qū)間為αp∈(5°，10°)。當Φ=50°時，安裝角μ ∈(-2.13°，-1.63°)對應翼傘平衡攻角αp∈(5°，6.9°)。為避免翼傘平衡攻角落入不穩(wěn)定區(qū)域，安裝角應適當遠離區(qū)間右邊界處Hopf 分岔點。綜上，選取μ=-1.77°作為實現(xiàn)導彈最小轉彎半徑的安裝角參數(shù)。此時對應翼傘平衡攻角αp=5.8°。

實現(xiàn)導彈最大轉彎末速的理想翼傘平衡攻角為αp=0°。當Φ=0°時，選取μ=-5°作為實現(xiàn)導彈最大轉彎末速的安裝角參數(shù)。此時對應翼傘平衡攻角αp=3.3°。

以實現(xiàn)上述最小轉彎半徑及最大轉彎末速對應的平衡點為目標平衡點，總結如表4 所示。

表4 目標平衡點參數(shù)Table 4 Target equilibrium parameter

除穩(wěn)定平衡點外，分岔圖中還存在不穩(wěn)定平衡點。由于Hopf 分岔點存在，系統(tǒng)中還存在不穩(wěn)定的極限環(huán)運動。只有穩(wěn)定的平衡點對應期望的運動狀態(tài)。

在上述算例中，運動的穩(wěn)定性是建立在Lyapunov 意義下的，因而只是局部穩(wěn)定的。對于具有多個定態(tài)（穩(wěn)定平衡點、不穩(wěn)定平衡點、不穩(wěn)定極限環(huán)）的系統(tǒng)，僅僅知道局部漸近穩(wěn)定并不能保證大范圍漸近穩(wěn)定。若期望平衡點的漸近穩(wěn)定區(qū)域很小，則在較小的擾動下系統(tǒng)可能會進入不穩(wěn)定區(qū)域。為此需要計算穩(wěn)定平衡點的吸引域。

4.2 穩(wěn)定平衡點的吸引域估計

對于系統(tǒng)式（32），若相空間Rn中的閉集A 滿足：以A 內或其某個鄰域內的點為初始條件的相軌跡在足夠長的時間后可充分趨近于A，則稱此集合為吸引集。若相空間Rn中點x0當t →∞時從x0出發(fā)的相軌線趨于吸引集A，則點x0的全體稱為吸引集A 的吸引域。不能進一步分解的吸引集稱為吸引子，常見的吸引子包括穩(wěn)定平衡點、穩(wěn)定極限環(huán)等。對于漸近穩(wěn)定平衡點，其吸引域的大小決定了系統(tǒng)的抗干擾能力。

由數(shù)學方法很難確定高階非線性系統(tǒng)平衡點的吸引域，數(shù)值計算方法是估計吸引域的有效方法，通過給定不同的初始條件，使用龍格-庫塔積分方法求解系統(tǒng)微分方程組，獲得系統(tǒng)在給定初始條件下的相軌線，進而判斷該點是否位于吸引子的吸引域。

以目標平衡點1 確定的參數(shù)為例，給定4 種不同的翼傘初始角速度q0=0，-0.25，-0.50，-0.75 rad/s，傘彈系統(tǒng)其余初始條件與3.1 節(jié)相同，進行時域仿真并將相軌線在αp-q 平面上投影，結果如圖 8 所示，其中局部放大的圖像代表不同的初始狀態(tài)。由q0=0，-0.25 rad/s 出發(fā)的2條相軌線最終趨近于穩(wěn)定平衡點，由q0=-0.50，-0.75 rad/s 出發(fā)的2 條相軌線在越過翼傘失速攻角αp=10°后最終遠離穩(wěn)定平衡點，翼傘攻角在短時間內迅速增大至超過20°。對于超出了氣動數(shù)據(jù)攻角范圍的相軌線已不具備實際物理意義，因此并未完全給出。未收斂至穩(wěn)定平衡點的相軌線是需要避免的運動狀態(tài)。

傘彈系統(tǒng)在縱向平面內的運動為5 維動力學系統(tǒng)，在此范圍內遍歷初始條件需要耗費巨大的計算資源，本文研究影響平衡點吸引域的主要因素，分析平衡點吸引域在qm0-q0平面內的投影。

對目標平衡點1，給定初始條件qm0∈(-2，2)，q0∈(-2，2)，其余初始條件與3.1 節(jié)相同，繪制在目標安裝角附近μ=-1.77°，μ=-1.83°，μ=-1.88°情況下對應穩(wěn)定平衡點的吸引域，仿真結果如圖 9 所示，此時穩(wěn)定平衡點在qm0-q0平面內的投影 分別為 (5.40，5.40)，(5.43，5.43)，(5.45，5.45)。其中穩(wěn)定區(qū)域代表系統(tǒng)狀態(tài)被穩(wěn)定平衡點吸引，否則為不穩(wěn)定區(qū)域。由圖 9 可知隨安裝角減小，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸縮小，穩(wěn)定區(qū)域增大，系統(tǒng)對初始翼傘及導彈的角速度擾動敏感性減弱，抗干擾性增強。安裝角μ=-1.88°時，對應的翼傘平衡攻角αp=5.77°，與平衡點1 對應翼傘平衡攻角相比并未發(fā)生較大變化。

對目標平衡點2，給定初始條件qm0∈(-2，2)，q0∈(-2，2)，其余初始條件與3.1 節(jié)相同，在目標安裝角μ=-5°附近其平衡點吸引域在qm0-q0平面內的投影均為穩(wěn)定，略去其吸引域圖像。

給定由目標平衡點1 確定的系統(tǒng)參數(shù)進行傘彈系統(tǒng)彈道仿真，其余初始條件與3.1 節(jié)相同，彈道曲線與3.1 節(jié)中的仿真結果對比如圖 10 所示，導彈轉彎半徑進一步減小為14.50 m。翼傘攻角變化曲線如圖 11 所示，翼傘攻角在5.2°上下發(fā)生一定范圍內振蕩，振幅逐漸衰減且大部分仍處于期望翼傘攻角范圍內。翼傘攻角最終穩(wěn)定在3.5°左右。由式（29）可知，增加導彈推力P 可以進一步增大導彈轉彎末速。事實上，當推力P 增大至10 500 N時，在由目標平衡點2 確定的系統(tǒng)參數(shù)條件下，導彈轉彎速度可基本維持不變。

給定由目標平衡點2 確定的系統(tǒng)參數(shù)進行傘彈系統(tǒng)彈道仿真，其余初始條件與3.1 節(jié)相同，導彈速度曲線與3.1 節(jié)中的仿真結果對比如圖 12所示，導彈轉彎末速為149.6 m/s。導彈速度在敏捷轉彎過程中整體略大于Φ=0°、μ=-4°參數(shù)情況。

由以上分析可知，通過改變翼傘安裝角及翼傘襟翼偏轉角，可以使導彈實現(xiàn)最小轉彎半徑或最大轉彎末速，系統(tǒng)狀態(tài)能夠收斂至分岔圖中目標平衡點位置。同時，適當減小翼傘安裝角可以增強傘彈系統(tǒng)對初始角速度擾動的抗干擾能力。

5 結論

本文首次引入可控翼傘作為導彈控制面，并對傘彈系統(tǒng)進行動力學建模及分岔分析，結果表明：

1）由翼傘提供的超量級氣動力能夠實現(xiàn)導彈快速、小半徑、大角度敏捷轉彎。

2）通過不同翼傘襟翼偏轉角情況下的彈道仿真及定性分析，翼傘的升力系數(shù)和阻力系數(shù)分別是影響導彈轉彎半徑和轉彎末速的主要因素。翼傘升力系數(shù)越大，導彈敏捷轉彎半徑越小，翼傘阻力系數(shù)越小，導彈敏捷轉彎末速度越大，速度損失越小。

3）研究了在不同襟翼偏轉角情況下，以安裝角為連續(xù)變化參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖，其中穩(wěn)定的平衡分支給出實現(xiàn)導彈最小轉彎半徑和最大轉彎末速的目標平衡點。通過對目標平衡點的吸引域分析，減小翼傘安裝角有利于提高傘彈系統(tǒng)對初始角速度擾動的抗干擾能力，增大系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍。

4）彈道仿真表明依據(jù)目標平衡點信息改變翼傘安裝角及翼傘襟翼偏轉角，系統(tǒng)狀態(tài)可以收斂至目標平衡點，實現(xiàn)導彈最小轉彎半徑或最大轉彎末速。