嵌套陣的疏密子陣融合波達方向估計方法

王娜, 趙宣植, 劉增力, 侯書畫

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動化學(xué)院, 云南 昆明 650504)

波達方向估計是陣列信號處理領(lǐng)域的一個研究熱點,測定信源方向不僅是實現(xiàn)目標(biāo)定位乃至跟蹤的基礎(chǔ),還能為接收端信號增強提供支持,其應(yīng)用廣泛,涉及雷達、聲吶、無線通信等諸多領(lǐng)域[1-3]。稀疏線陣在分辨率和自由度方面都優(yōu)于傳統(tǒng)的最小間距均勻線陣,因而受到研究者的持續(xù)關(guān)注。較早提出的稀疏陣包括最小冗余陣[4]和最小空洞陣[5]。近年來,嵌套陣[6]和互質(zhì)陣[7]的提出,使得眾多改進陣型及適用于稀疏線陣的波達方向(direction of arrival,DOA )估計算法應(yīng)運而出[8-11]。

現(xiàn)有稀疏線陣從幾何結(jié)構(gòu)可分為2類:1)由均勻線陣疊加而成,配置規(guī)則簡明,互質(zhì)陣、嵌套陣及幾種改進陣列[6-9]均屬于此;2)配置規(guī)則需復(fù)雜算式求解陣元位置,如最大陣元間距約束(maximum inter-element spacing constraint, MISC)陣列、緊耦合天線陣列(tightly coupled array,TCA)[10-11]等。幾乎所有稀疏線陣都可以使用基于差分共陣的虛擬陣元類方法,文獻[12]結(jié)合Toeplitz矩陣重構(gòu)與多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[13]求解空間譜;文獻[14]使用最小絕對收縮和選擇算子(least absolute shrinkage and selection operator, LASSO)方法計算稀疏字典上的展開系數(shù)實現(xiàn)方向估計。這些方法充分利用差分共陣自由度,可估計信源數(shù)較高。但由于使用完整陣列協(xié)方差,并不支持分布式陣列結(jié)構(gòu),且因要處理高維協(xié)方差矩陣或向量,計算復(fù)雜度較高。另有一類適用于互質(zhì)陣的解模糊方法[15-17]。文獻[15]在2子陣上分別應(yīng)用MUSIC算法再搜索配對,但復(fù)雜度高且易遭受匹配錯誤;文獻[16]以局部搜索代替全局搜索,文獻[17]以root-MUSIC代替MUSIC,降低了復(fù)雜度。這類方法利用互質(zhì)約束下2子陣估計的唯一交集消除了單信源模糊,且在小快拍時具有精度優(yōu)勢,但多信源下依賴互協(xié)方差消除匹配錯誤[18],同樣不支持分布式陣列結(jié)構(gòu)。

嵌套陣由疏密兩級均勻線陣組成,通常使用虛擬陣元類方法進行DOA估計[6,19-20]。本文將子陣分解并融合的思想應(yīng)用于此陣列,拆分其為分布式配置結(jié)構(gòu)。對疏密2個均勻子陣的快拍數(shù)據(jù)分別使用root-MUSIC算法,利用密集子陣無模糊和稀疏子陣精度高的特點融合2陣估計值,最終可得既無模糊也沒有匹配錯誤的結(jié)果。分布式陣列配置與root-MUSIC相結(jié)合,不涉及互協(xié)方差,也無需譜峰搜索,能有效降低計算量。仿真驗證了上述優(yōu)勢并顯示所提方法具有較高精度。

1 測向的系統(tǒng)模型

1.1 嵌套陣系統(tǒng)模型

嵌套陣可由2個及以上陣元間距不相等的均勻線陣串聯(lián)而成。標(biāo)準(zhǔn)二級嵌套陣第1級是N1元密集均勻線陣,陣元間距為d1=λ/2;第2級是N2元稀疏均勻線陣,陣元間距為d2=(N1+1)d1,其中λ為入射信號波長。圖1為嵌套陣系統(tǒng)模型。

圖1 嵌套陣列系統(tǒng)模型Fig.1 System model of nested array

嵌套陣總陣元數(shù)為N=N1+N2,以原點為起始參考點,其陣元位置集合可表示為:

S={n1d1,n1=1,2,…,N1}∪

{n2(N1+1)d1,n2=1,2,…,N2}

(1)

通常,假設(shè)空間有K個互不相關(guān)的窄帶遠場信號,以角度θ=[θ1θ2…θK]T撞擊到嵌套陣上,則嵌套陣的N1+N2維陣列輸出為:

y(t)=A(θ)s(t)+n(t),t=1,2,…,L

(2)

式中:s(t)=[s1(t)s2(t)…sK(t)]T為信源矢量;A(θ)=[a(θ1)a(θ2)…a(θK))]為N×K維導(dǎo)向矢量矩陣;n(t)為時間和空間上均獨立的加性高斯白噪聲矢量,其均值為0,方差為σ2;L為快照數(shù)量。

假設(shè)信號源不相關(guān),則陣列輸出信號的協(xié)方差矩陣為:

R=A(θ)RsAH(θ)+σ2I

(3)

式中:Rs為入射信號的協(xié)方差矩陣;I為單位矩陣。

嵌套陣與互質(zhì)陣均可看作是2個均勻線性子陣按一定幾何關(guān)系復(fù)合構(gòu)成,其中嵌套陣將2個均勻子陣在同一陣列線上前后放置,而互質(zhì)陣將2個均勻子陣重疊放置。對于互質(zhì)陣,因2子陣陣元間距都大于半波長,由任一子陣得到的DOA估計值必然存在角度模糊問題。

若一均勻線陣陣元間距大于半波長,d>λ/2,則估計值與真實值具有相同的導(dǎo)向矢量[15]:

a(θ)=a(θ′)

(4)

式中:θ為入射信源的真實值;θ′為陣列的估計值。兩者在陣元間產(chǎn)生同樣的相位差:

2πdsinθ/λ-2πdsinθ′/λ=2qπ

(5)

由式(5)可知,陣列DOA估計值個數(shù)與陣元間距密切相關(guān)。若間距d=Qλ/2,Q>1,信號的入射角范圍為(-90°,90°)時,有|sinθ-sinθ′|<2,則q的范圍為q∈[-(Q-1),-(Q-1)+1,…,(Q-1)]。又因|sinθ′|<1,q及對應(yīng)θ′的實際取值有Q個。

借鑒互質(zhì)陣子陣分解思想,可將嵌套陣分解為2個均勻陣。單信源下,密集子陣Q=1,只有單個估計結(jié)果,無模糊;稀疏子陣Q=(N1+1)>1,含真實角會產(chǎn)生N1+1個估計值。參照密集子陣無模糊的估計結(jié)果,可排除稀疏子陣的模糊估值。

利用子陣分解策略進行DOA估計時,若待估信源較多,信源在不同子陣上產(chǎn)生的模糊值可能會重合,從而出現(xiàn)配對匹配錯誤問題,基于互質(zhì)陣的許多解模糊算法都致力于消除匹配錯誤[17-18]。而對于嵌套陣,其稀疏子陣不滿足采樣定理,會產(chǎn)生多個模糊值,但密集子陣得到的估計角的個數(shù)等于信源數(shù)。對兩子陣估計信息取交集進行配對時,僅在信源方向上出現(xiàn)公共角,不會出現(xiàn)配對匹配錯誤。且完整嵌套陣串聯(lián)的2子陣陣元間距無法統(tǒng)一,結(jié)合傳統(tǒng)算法時常需進行預(yù)處理,子陣分解有利于降低計算復(fù)雜度。

因此,將原本應(yīng)用于互質(zhì)陣的子陣分解與融合思想推廣至嵌套陣,單一信源下同樣可以消除模糊,且多信源下還具有額外的優(yōu)勢。

1.2 分布式嵌套陣系統(tǒng)模型

嵌套陣分解后,采用分布式配置,在遠場環(huán)境中,不限定2子陣間的距離,僅要求2子陣互相平行。N1元密集陣和N2元稀疏陣的陣元間距仍為d1=λ/2和d2=(N1+1)d1。圖2為分布式嵌套陣的系統(tǒng)模型。

圖2 分布式嵌套陣列系統(tǒng)模型Fig.2 System model of distributed nested array

此時,疏密子陣接收信號分別為:

y1(t)=A1(θ)s(t)+n1(t)

(6)

y2(t)=A2(θ)s(t)+n2(t)

(7)

式中:A1(θ)和A2(θ)為疏密子陣的導(dǎo)向矢量矩陣;n1(t)和n2(t)均為獨立白噪聲矢量。

(8)

(9)

與傳統(tǒng)的整體嵌套陣相比,由式(8)、(9)給出的協(xié)方差數(shù)據(jù)不含互協(xié)方差,降低了數(shù)據(jù)處理負擔(dān)。

2 求根MUSIC方差融合估計

2.1 分布式嵌套陣求根MUISC

求根MUSIC算法[21]是MUSIC的一種改進形式,通過多項式求根解出與噪聲空間正交的導(dǎo)向矢量所包含的復(fù)相位,進而獲得DOA估計。求根MUSIC利用均勻線陣導(dǎo)向矩陣具有范德蒙結(jié)構(gòu)這一屬性,用求根操作代替了MUSIC方法的角度搜索,降低了計算復(fù)雜度,在低信噪比(signal to interference plus noise ratio, SNR)時,求根MUSIC有比MUSIC更好的性能[22]。但求根方法僅適用于均勻線陣,這使它在稀疏非均勻陣列的DOA估計中具有局限性。而對于分布式嵌套陣,其疏密子陣都是均勻線陣,便于使用求根MUSIC算法分別對2個子陣進行處理。

(10)

(11)

(12)

(13)

定義疏密子陣求根多項式為:

(14)

(15)

(16)

(17)

不失一般性,以單信源θ為待估方向。密集子陣最接近單位圓的復(fù)根記作z1,代表入射信號在半波長距離上形成相位差的復(fù)數(shù)。根據(jù)采樣定理,此時有唯一估計角θ1滿足約束條件:

(18)

稀疏子陣中最接近單位圓的復(fù)根記作z2,代表入射信號在距離為(N1+1)倍半波長的兩相鄰陣元間形成相位差的復(fù)數(shù)。由于相位差相加等于對應(yīng)的復(fù)相位相乘,對復(fù)數(shù)z2開(N1+1)次根可得半波長間距上的復(fù)相位差。顯然,z2開(N1+1)次方將得到(N1+1)個根,且所有根均在單位圓上,但其中只有一個根與真實角度對應(yīng),其余N1個根為稀疏陣的模糊角。

定義集合Z2為復(fù)數(shù)z2開N1+1次根后得到的解集,表示為:

(19)

此時,可將相位差轉(zhuǎn)化為入射角,得到對應(yīng)的估計角,用集合Θ2表示。

(20)

式中:集合Θ2的N1+1個值除一真實角度外,還有N1個模糊值。而式(18)中密集子陣僅提供單個估計值θ1。通過找到與θ1最接近的θ2i來消除模糊,可確定稀疏陣估計角,記為θ2。由于稀疏陣具有較大的陣列孔徑,θ2將具有比θ1更高的精度。

同理,多信源下,對稀疏陣貼近單位圓的K個復(fù)根分別再開(N1+1)次方,將得到K(N1+1)個估計角。找到其中與密集陣估計值最近的K個,即可獲得稀疏陣估計角。

為具體說明分布式嵌套陣求根MUSIC方法,考慮陣元數(shù)N1=N2=7,入射角θ=[48.7°,60.0°]的情況。圖3給出了分布式嵌套陣疏密子陣根的分布。

圖3 分布式嵌套陣根的示意Fig.3 Schematic diagram of distributed nested array roots

從圖3中可以看出,對分布式嵌套陣疏密子陣協(xié)方差數(shù)據(jù)分別進行求根處理,兩陣均得到12個根。找出稀疏陣12個根中最貼近單位圓的2個,再開N1+1次方后,得到2(N1+1)=16個根,這些根均位于單位圓上,具有較高精度,且與密集陣得到的與單位圓最近的根存在明顯關(guān)聯(lián)。

2.2 方差融合估計

對于分布式嵌套陣,密集陣可提供無模糊信息,稀疏陣可提供高精度信息,為進一步在無模糊條件下提高估計精度,可通過方差加權(quán)平均進行融合。

信源不相關(guān)時,稀疏子陣和密集子陣利用求根MUSIC獲得角度估計方差[23]分別為:

(21)

(22)

其中:

(23)

(24)

式中:d(θ1)=da(θ1)/dθ1、d(θ2)=da(θ2)/dθ2為2子陣導(dǎo)向矢量的導(dǎo)數(shù);RSN為信噪比。

(25)

3 仿真實驗和結(jié)果分析

定義實驗所用角度估計的均方根誤差(root mean square error, RMSE)為:

(26)

T=tE/VE

(27)

式中:tE為算法進行E次蒙特卡羅模擬的總運行時間;V為參數(shù)的變化個數(shù)。

實驗1算法RMSE性能對比。將所提算法與嵌套陣MUSIC、嵌套陣空間平滑MUSIC[12,26]、嵌套陣Toeplitz的MUSIC、嵌套陣Toeplitz求根MUSIC進行均方誤差性能對比,其中嵌套陣MUSIC指不對陣列協(xié)方差矩陣重構(gòu)直接實施MUSIC。設(shè)定相同物理陣元數(shù),N=14,N1=N2=7,信源角度為50°和60°。對于每個模擬場景,進行300輪蒙特卡羅實驗。圖4為L=100時各算法ERMS隨信噪比變化圖,RSN=-3∶2∶9 dB;圖5為RSN=-1 dB時各算法的ERMS隨快拍數(shù)變化圖。

圖4 RMSE隨SNR變化Fig.4 Variation of RMSE with SNR

圖5 RMSE隨快拍數(shù)變化Fig.5 Variation of RMSE with the number of snapshots

由圖4可知,在RSN<5 dB時,融合算法性能優(yōu)于另外4種算法。隨信噪比增加,嵌套陣MUSIC方法與所提算法性能差距縮小,RSN>5 dB時有所勝出。但幾種對比方法都需互相關(guān)信息,不支持分布式配置,對處理模塊和配置環(huán)境要求都更高。尤其值得分析的是,融合算法在SNR<5 dB時,用較少的兩子陣局部協(xié)方差數(shù)據(jù),獲得了比擁有完整嵌套陣全局信息的對比方法更高的精度。原因在于,虛擬陣元方法需重復(fù)使用疏密子陣快拍數(shù)據(jù)相乘來計算差分共陣協(xié)方差,低信噪比下,會在一定程度上影響大孔徑稀疏陣的高精度數(shù)據(jù)。而所提方法稀疏陣雖含模糊角,但解算時未與低精度數(shù)據(jù)混合,性能無損,后經(jīng)加權(quán)融合,精度進一步提高。

由圖5可知,所提算法估計誤差隨快拍數(shù)增加逐漸減小,在整個快拍范圍內(nèi)明顯優(yōu)于另外4種方法。因此低信噪比、小塊拍下所提算法性能更優(yōu)。

實驗2驗證所提算法適應(yīng)性與穩(wěn)定性。對比不同快拍數(shù)、陣元數(shù)下所提算法隨信噪比的變化。入射角度為30°和50°,進行300輪模擬實驗。圖6為N1=N2=7,快拍數(shù)L=100,200,300時算法RMSE隨信噪比的變化;圖7為快拍數(shù)L=100,子陣1陣元數(shù)分別為N1=8,9,12,且N1=N2時算法RMSE隨快拍數(shù)變化示意圖。

圖7 融合算法不同陣元數(shù)下RMSE隨SNR變化Fig.7 Variation of RMSE with snapshot number under different snapshot numbers of fusion algorithm

由圖6可知,低信噪比下,不同快拍融合算法性能差距較小。但隨快拍數(shù)和信噪比的增加其角度估計性能逐漸變好。

由圖7可看出,陣元數(shù)接近時估計性能差距較小,隨著陣元數(shù)增加差距逐漸變大,性能逐漸變好。仿真結(jié)果顯示所提算法能適應(yīng)不同場景且較穩(wěn)定。

實驗3算法時間效率對比。比較融合算法與幾種嵌套陣算法的運行時間。設(shè)置RSN=-1 dB,快拍數(shù)為100,總陣元數(shù)N=6∶4∶30,N1=N2=N/2,搜索間隔為0.1,信源入射角為50°和60°。僅參數(shù)N變化,則V=1。對每個給定的N進行300輪實驗,對比結(jié)果如圖8所示。

圖8 算法的平均運行時間Fig.8 Average running time of algorithm

由圖8可知,所提算法運行時間總體低于嵌套陣其他4種算法。這是由于嵌套陣MUSIC類方法均涉及整體陣列的協(xié)方差數(shù)據(jù)且譜峰搜索較耗時。同時,嵌套陣Toeplitz類方法需重構(gòu)并分解高維Toeplitz矩陣,協(xié)方差矩陣處理復(fù)雜。而融合算法分別處理兩子陣快拍數(shù)據(jù),計算簡單,無需譜峰搜索,復(fù)雜度較低。實驗充分證明了本文算法的估計效率。

實驗4所提算法與互質(zhì)陣方法性能對比。為體現(xiàn)本文算法在相位模糊上的優(yōu)勢,圖9和圖10給出了所提算法與互質(zhì)陣MUSIC算法、互質(zhì)陣解模糊算法的RMSE性能對比。陣元總數(shù)相同,分布式嵌套陣N1=N2=7,互質(zhì)陣陣元數(shù)為5和9,進行300輪實驗。圖9為信噪比對算法誤差的影響RSN=-3∶2∶9 dB,快拍數(shù)為300;圖10為RSN=1 dB,L=50∶50∶300變化時算法的估計誤差。

圖9 信噪比變化對算法估計誤差的影響Fig.9 Influence of SNR on estimation error of the algorithm

圖10 快拍數(shù)變化對算法估計誤差的影響Fig.10 Influence of the number of snapshots on the estimation error of the algorithm

由圖9可知,RSN<3 dB時,融合算法估計性能明顯優(yōu)于互質(zhì)陣方法。RSN>3 dB時,互質(zhì)陣方法性能逐漸優(yōu)于所提算法。原因在于,互質(zhì)陣MUSIC使用了互相關(guān)信息,且整體陣列孔徑較大;互質(zhì)陣解模糊分解后的兩子陣均為稀疏陣,間距較大,單個子陣的分辨率較高;且互質(zhì)陣2種方法都使用了MUSIC算法,高信噪比下搜索方法性能較好?？傊?低信噪比情況,融合算法具有相對優(yōu)勢。

由圖10可知,隨快拍數(shù)增加,所提算法估計誤差逐漸減小,在整個快拍參數(shù)范圍內(nèi)明顯優(yōu)于另外2種方法。

實驗5驗證所提算法無匹配錯誤。實驗場景參考文獻[27],對比互質(zhì)陣和嵌套陣分解子陣的估計結(jié)果。保證總陣元數(shù)相等,互質(zhì)陣兩子陣陣元數(shù)為5和7,嵌套陣N1=N2=6,信源入射角[20]為48.7°和60.0°,信噪比RSN=5∶1∶30 dB。圖11和圖12中均用空心圓表示子陣1估計結(jié)果,實心圓表示子陣2估計結(jié)果。

圖11 互質(zhì)陣子陣配對匹配Fig.11 Subarray pairing matching of coprime array

圖12 嵌套陣子陣配對匹配Fig.12 Subarray pairing matching of nested array

由圖11可知,互質(zhì)陣子陣1共14個估計角,子陣2共10個估計角,2子陣除真實角度外,在27.8°和-58.0°也會形成交集,導(dǎo)致配對匹配錯誤。由圖12可知,嵌套陣子陣1估計角僅含真實角度,子陣2包含真實角度會產(chǎn)生14個估計角,但2子陣僅在真實角度處形成交集,能正確進行配對匹配。

4 結(jié)論

1) 將子陣分解思想與嵌套陣的幾何結(jié)構(gòu)相結(jié)合,通過公式給出嵌套陣疏密子陣分布式配置的理論依據(jù)。分布式配置方便靈活,對軟硬件要求低。

2) 利用求根MUSIC算法僅適用于均勻線陣的特性,對分布式嵌套陣疏密子陣分別進行處理,不涉及互相關(guān)信息,且不需譜峰搜索,有效降低了計算量。

3) 融合嵌套陣密集子陣的無模糊估計和稀疏子陣的高精度估計,得到無模糊、高精度、配對匹配正確的DOA估計結(jié)果。

4) 所提算法使用局部陣列協(xié)方差數(shù)據(jù),相比無差別使用全局陣列協(xié)方差數(shù)據(jù),在低信噪比時能獲得更高精度的估計結(jié)果。

5) 本文所提算法可考慮推廣應(yīng)用于陣元間距為任意整數(shù)倍波長的稀疏均勻線陣,不局限于N1倍。

6) 本文算法的缺點在于分別處理2個子陣,未充分利用嵌套陣在自由度上的優(yōu)勢,能處理的信源數(shù)減少。