從動(dòng)腦思考轉(zhuǎn)為動(dòng)手思考的代數(shù)變形
——以巧用拼圖因式分解教學(xué)設(shè)計(jì)為例

趙建平 方秀娟

(1.浙江省湖州市吳興區(qū)教育局教學(xué)研究與培訓(xùn)中心,浙江 湖州 313000;2.浙江省湖州市吳興實(shí)驗(yàn)中學(xué),浙江 湖州 313000)

浙教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)教材中的因式分解,針對(duì)十字相乘法的教學(xué)篇幅很少而且內(nèi)容很淺,但高中及后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)這方面的要求卻比較高.為更好掌握十字相乘法分解因式,嘗試用拼圖游戲的思路來(lái)設(shè)計(jì)本課,讓學(xué)生在抽象的代數(shù)變形中將動(dòng)腦思考轉(zhuǎn)變?yōu)榭刹僮鞯膭?dòng)手思考[1].

1 設(shè)計(jì)動(dòng)腦思考解決不了的劣構(gòu)問(wèn)題

七年級(jí)學(xué)生對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式還不能因式分解,教材中只對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的整式采用十字相乘法分解,課前設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生不能解決的問(wèn)題,利用“挖坑”的學(xué)習(xí)法激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,引發(fā)其動(dòng)手思考.

例1 把多項(xiàng)式3a2+7ab+2b2因式分解.

在學(xué)生一籌莫展時(shí),直接給出圖片信息作為輔助.已有面積分別為a×a,b×b,a×b的A型、B型、C型紙片若干,拼成圖形如右圖所示,根據(jù)圖片信息,思考能否幫助完成剛才的因式分解問(wèn)題.

觀察圖1可以得出,長(zhǎng)方形恰由3個(gè)A型、2個(gè)B型的正方形紙片以及7個(gè)C型的長(zhǎng)方形紙片構(gòu)成,面積即為3a2+7ab+2b2,同時(shí)長(zhǎng)方形的面積也可以表示為(3a+b)(a+2b),即為長(zhǎng)與寬的乘積,所以3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).根據(jù)因式分解時(shí)定義,此即為因式分解的結(jié)果.

圖1 A型、B型、C型紙片及其拼成的長(zhǎng)方形

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在回憶已有的因式分解方法(提取公因式法、公式法等)的基礎(chǔ)上,思考當(dāng)遇到已有的知識(shí)不能解決的問(wèn)題時(shí)如何更進(jìn)一步地探究.圖形信息的轉(zhuǎn)換之間,可以直接讀出代數(shù)語(yǔ)言作為結(jié)論,圖形的語(yǔ)言信息究竟還可以有哪些規(guī)律性的結(jié)論幫助我們進(jìn)行代數(shù)上的分解,觸發(fā)了對(duì)以上拼圖問(wèn)題的進(jìn)一步的思考.

2 搭建可操作性強(qiáng)的動(dòng)手思考平臺(tái)

通過(guò)有啟發(fā)的嘗試與探究,巧用拼圖解決了較為簡(jiǎn)單的二次三項(xiàng)式因式分解后,通過(guò)層層推進(jìn)有梯度的三個(gè)學(xué)生活動(dòng)在拼圖中進(jìn)行技巧探尋,從而搭建了許多動(dòng)手思考的平臺(tái),讓學(xué)生利用提供的“支架”進(jìn)行深度思考.

例2 按要求完成下列活動(dòng)：

活動(dòng)1：回憶完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2對(duì)應(yīng)的幾何圖形.

分析學(xué)習(xí)過(guò)程中其實(shí)已經(jīng)涉及圖形語(yǔ)言與代數(shù)信息的關(guān)聯(lián)探討.圖2是邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形,可以拆解成1個(gè)a×a,1個(gè)b×b的正方形以及2個(gè)a×b的紙片.該公式從左往右看為整式乘法,從右往左看即為因式分解,所以若能倒推先得到圖形的面積構(gòu)成及拼法,就能通過(guò)從外圍邊長(zhǎng)反推因式分解結(jié)果.

圖2 (a+b)的正方形

活動(dòng)2：如圖3,思考1個(gè)a×a、4個(gè)b×b的正方形以及4個(gè)a×b的紙片還可以拼成怎樣的規(guī)則圖形,得到怎樣的等式.

圖3 不同拼圖方法示意圖

圖4 活動(dòng)5拼圖示意圖

活動(dòng)3：想要拼得再大一點(diǎn)的正方形,至少還需要不同類(lèi)型的紙片多少?gòu)?對(duì)于不同小正方形的紙片數(shù)量各有什么要求?(各類(lèi)正方形紙片數(shù)量都是平方數(shù)1,4,9,……)

活動(dòng)4：有3張A型(a×a),4張B型(b×b),5張C型(a×b)紙片．從中取出若干張紙片,每種紙片至少取一張,把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形(無(wú)空隙、無(wú)重疊地拼接),求拼成的正方形邊長(zhǎng)的最大值.

分析在得到了拼成正方形所需的小正方形數(shù)量上的規(guī)律后,范圍內(nèi)只有1張A型、4張C型紙片的數(shù)量是滿足要求的,深化學(xué)生對(duì)于拼圖過(guò)程中數(shù)量規(guī)律的理解.

活動(dòng)5：分別選取適當(dāng)數(shù)量的A型(a×a)、B型(b×b)、C型(a×b)紙片,拼出一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為(a+2b)和(a+b)的長(zhǎng)方形,求需要A型、B型、C型紙片各自的張數(shù),并思考如何擺放.

設(shè)計(jì)意圖：從拼成正方形推廣到更為普遍的長(zhǎng)方形,一步步探究拼圖過(guò)程中的數(shù)量規(guī)律(正方形數(shù)量各為平方數(shù))和位置規(guī)律(相等邊貼著放,正方形對(duì)角放,定邊長(zhǎng)再平移).基本拼圖規(guī)律的總結(jié),讓之后深入運(yùn)用與問(wèn)題思考有跡可循.

3 拓展多維開(kāi)放的動(dòng)手思考空間

通過(guò)不同的動(dòng)手嘗試與思考,解決拼圖過(guò)程的思維阻焊點(diǎn).本課例中設(shè)計(jì)三個(gè)有深度問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生多角度去思考,拓展了更加開(kāi)放的動(dòng)手思考的空間,讓學(xué)生進(jìn)行從圖形變化到代數(shù)變形的自我建構(gòu)[2],從而利用“支架”進(jìn)行深度思考.

例3 完成下列問(wèn)題：

問(wèn)題1：思考a2+5ab+6b2的因式分解結(jié)果.

分析1張a×a,6張b×b的正方形紙片擺放位置需要先確定,后者就有1×6,6×1,2×3,3×2幾種不同位置情況,引導(dǎo)學(xué)生深度思考,當(dāng)填補(bǔ)部分需要a×b的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)剛好為5個(gè)時(shí)可以判斷該種擺放方式符合要求.利用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行具體分析.顯然,第三、四兩種情況剛好滿足拼圖要求.此時(shí)因式分解的結(jié)果為a2+5ab+6b2=(a+3b)(a+2b)或a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b).

設(shè)計(jì)意圖：圖5通過(guò)分類(lèi)討論面積為a2與b2的正方形的擺放位置去湊剩余部分滿足中間項(xiàng)5ab的做法,類(lèi)比于用十字相乘法因式分解中的“拆兩頭,湊中間”來(lái)驗(yàn)證的思想.

圖5 問(wèn)題1的不同拼圖

問(wèn)題2：能否用適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型卡片,拼成一個(gè)面積為2a2+3ab+3b2的長(zhǎng)方形.

分析圖6不論兩類(lèi)正方形的位置怎么擺放,所需要面積為a×b的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)都不能剛好為三個(gè),因此無(wú)法用拼圖所得.

圖6 問(wèn)題2拼圖

設(shè)計(jì)意圖：若二次三項(xiàng)式無(wú)法進(jìn)行因式分解,進(jìn)而對(duì)應(yīng)面積的長(zhǎng)方形不可能通過(guò)拼圖所得.發(fā)現(xiàn)了這一因式分解的驗(yàn)證依據(jù),進(jìn)一步引申對(duì)長(zhǎng)方形面積的思考：即用來(lái)拼圖的正方形與長(zhǎng)方形紙片張數(shù)有一定的數(shù)量要求.通過(guò)問(wèn)題循序漸進(jìn)地拋出與解決,慢慢引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并探究拼圖過(guò)程中的規(guī)律.

問(wèn)題3：若取A型、B型、C型卡紙片若干張(三種紙片都要取到),拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,使其面積為4a2+mab+b2,求m的值．

設(shè)計(jì)意圖：小組合作的形式,讓學(xué)生發(fā)散性地對(duì)得到的知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證與思考,在組內(nèi)合作討論、組間交流學(xué)習(xí)過(guò)程中,進(jìn)一步深化對(duì)應(yīng)用性知識(shí)的理解.

4 反思與建構(gòu)動(dòng)手思考后的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)小組合作及動(dòng)手操作中積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思,提煉拼圖與解決問(wèn)題中的爬坑經(jīng)驗(yàn).本課例中的問(wèn)題思考,正是反思與建構(gòu)動(dòng)手思考后的理論感悟,讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)上遷移應(yīng)用[3].

例4 問(wèn)題思考：對(duì)下列多項(xiàng)式a2-ab-2b2進(jìn)行因式分解.

分析回憶平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2對(duì)應(yīng)圖形的由來(lái),如圖7,若長(zhǎng)方形的面積表達(dá)式中出現(xiàn)負(fù)號(hào),巧用割補(bǔ)法把不規(guī)則圖形通過(guò)先切割、再找等邊進(jìn)行拼接組成規(guī)則圖形即可得到a2-ab-2b2=(a+b)(a-2b).

圖7 例4拼圖

設(shè)計(jì)意圖：負(fù)號(hào)的引入,引發(fā)學(xué)生聯(lián)想平方差公式推導(dǎo)過(guò)程中割補(bǔ)法的運(yùn)用.從不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的化歸思想,以及從遇到問(wèn)題到方法找尋的思考探究過(guò)程,讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合、層層遞進(jìn)的美妙感.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)先給學(xué)生設(shè)計(jì)用動(dòng)腦思考無(wú)法直接解決的實(shí)際問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突后創(chuàng)新,再搭建讓學(xué)生操作的動(dòng)手思考平臺(tái),進(jìn)而逐步啟發(fā)與拓展多維的動(dòng)手思考空間,最后進(jìn)行理論提煉后積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從而解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.本課例通過(guò)拼圖,利用給定面積的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬,引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想中用拼圖進(jìn)行因式分解,通過(guò)“外拼”與“內(nèi)割”總結(jié)不同類(lèi)圖形的拼接規(guī)律,巧借拼圖將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言進(jìn)行了結(jié)合,讓多維的圖形變化歸一成簡(jiǎn)約的代數(shù)變形表達(dá),從而在數(shù)學(xué)動(dòng)手操作中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).