逆向思維視域下小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究

蔡亞英

(漳州市平和縣第三實驗小學(xué),福建 漳州 363700)

一直以來,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所使用的思維均屬于正向思維模式.但是在部分?jǐn)?shù)學(xué)問題中,無法直接套用數(shù)學(xué)公式,或者套用數(shù)學(xué)公式無法取得立竿見影的效果,依然面臨著繁雜的計算.基于此,運(yùn)用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題,已經(jīng)成為教師研究的重點.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》也肯定了逆向思維對于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力強(qiáng)化及今后發(fā)展的重要價值,并據(jù)此提出了新的教學(xué)要求.鑒于此,在優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)時,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維模式,不斷提升數(shù)學(xué)解題能力.

1 逆向思維與小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力,不僅有助于學(xué)生打破正向思維的束縛,還有助于引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題,進(jìn)而靈活運(yùn)用各種解題技巧,促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的有效解答.具體來說,其重要性集中體現(xiàn)在兩個方面.

1.1 有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率

通常情況下,小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時,常常會選擇正向思維的方式,但是很多問題很難運(yùn)用正向思維進(jìn)行解答.當(dāng)正向思維碰壁,無法解決數(shù)學(xué)問題時,即可借助逆向思維,將復(fù)雜的問題簡單化,以便于學(xué)生在逆向思考中,輕松解答原本繁雜的問題.例如,在計算9+99+999-48時,如果按照正向思維進(jìn)行解題,學(xué)生需要經(jīng)過大量的計算,不僅浪費(fèi)了時間,且稍有不慎就會滿盤皆輸.基于此,即可借助逆向思維的模式,引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使其成為(9+1)+(99+1)+(999+1)-51.如此,極大地減少了學(xué)生的計算量,避免了出錯現(xiàn)象,能夠顯著提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

1.2 有助于打破學(xué)生的定向思維

逆向思維有助于學(xué)生更加全面、系統(tǒng)化地看待問題.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,如果一味地進(jìn)行正向思維訓(xùn)練,學(xué)生極容易形成“單線條的思考”模式,導(dǎo)致其出現(xiàn)思維定式、問題考慮不全面等現(xiàn)象.通過逆向思維訓(xùn)練,有助于學(xué)生突破定思維定式,在學(xué)習(xí)的過程中逐漸養(yǎng)成多角度看待問題、分析問題、解決問題的習(xí)慣.在這種思維模式下,也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的遷移、內(nèi)化,實現(xiàn)觸類旁通、舉一反三[1].

2 逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

2.1 逆向分析,化繁為簡

在優(yōu)化解題教學(xué)時,教師可指導(dǎo)學(xué)生展開逆向分析,從結(jié)果出發(fā),重新進(jìn)行思考并解題.

由此可以看出,通過逆向思維的融入,原本比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目變得更加簡單,不僅降低了學(xué)生的運(yùn)算難度,也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題速度.

例2 一家人吃一筐梨,第一天吃了總數(shù)的一半多一個,第二天吃掉剩下的一半多一個,第三天吃掉剩下的一半多一個.以此類推,到了第五天之后,筐中只剩下一個梨.那么,原來筐中有多少梨?

解析如果按照常規(guī)思維解決本題,學(xué)生需要先假設(shè)原來筐中的梨為x個,之后運(yùn)用分?jǐn)?shù)知識列出一個非常復(fù)雜的方程.鑒于此,可借助逆向思維的方式,從問題的結(jié)論出發(fā),以第五天剩下的梨數(shù)為基礎(chǔ)出發(fā),依次向前逆推,那么第四天梨的個數(shù)為(1+1)×2=4(個),第三天梨的個數(shù)為(4+1)×2=10(個),第二天梨的個數(shù)為(10+1)×2=22(個),第一天梨的個數(shù)為(22+1)×2=46(個).

由此可見,通過逆向思維的應(yīng)用,以結(jié)果為導(dǎo)向,一步步向前推,即可輕松找到問題的答案.

2.2 逆向思維,分析題目中已知條件

在解決數(shù)學(xué)問題之前,學(xué)生在審題時,必須分清已知條件和所求結(jié)論.在逆向思維的輔助下,學(xué)生在解決問題時,可一反常態(tài)從所求結(jié)論入手,推導(dǎo)要想實現(xiàn)這一結(jié)論,需要具備什么樣的條件,進(jìn)而在所求結(jié)論的引導(dǎo)下得出正確的答案.

例3 一個廠家要生產(chǎn)某零件,原計劃需要用10天生產(chǎn)完畢,每天生產(chǎn)2 000個.但是廠家為了提前交工,實際上每天多生產(chǎn)500個.實際比原計劃提前幾天完成任務(wù)?

解析在分析這一問題時,即可運(yùn)用逆向思維.要想求出實際比原計劃提前幾天完成,需要獲得兩個已知條件,即實際生產(chǎn)所用時間和計劃時間.在本題目中,計劃時間是已知條件,只需要求出實際生產(chǎn)所用時間,即實際生產(chǎn)所用時間=總量÷單日生產(chǎn)量.可見,在逆向思維的輔助下,即可得出本題的解法,即10-2 000×10÷(2 000+500)=2.

例4 小明之前收集了一些卡片,在這個星期中又用自己的零花錢購買了20張.之后,小明送給小剛10張卡片,還剩下50張.那么,小明之前共有多少張卡片?

解析在分析并解答這一問題時,依然要借助逆向思維,通過倒推的方式對題目中的條件展開分析,最終形成具體的解題思路.從小明最終剩下的50張卡片入手,那么根據(jù)題目中的條件得出,小明在送給小剛之前的卡片為50+10=60(張).繼續(xù)逆推,根據(jù)題目中已知條件得知,小明自己又購買了20張卡片,而這20張卡是包含在60張之內(nèi),因此他在購買之前的卡片數(shù)量為60-20=40(張).最終經(jīng)過逆推分析,得到本題目的答案為50+10-20=40(張).

由此可見,在逆向思維的輔助下,學(xué)生以結(jié)果為起點,通過層層逆推的方式,對題目中的已知條件展開分析,最終形成明晰的解題思路.

2.3 逆向思維,形成解題思路

進(jìn)入到高年級之后,數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生的思維能力要求越來越高.在這種情況下,學(xué)生在日常做題訓(xùn)練中,常常會遇到一些難度比較大的問題.如果學(xué)生依然按照常規(guī)的思維進(jìn)行思考,就會陷入思維的困境,無法形成明確的解題思路.此時,教師可引導(dǎo)學(xué)生開展逆向思維,從所求的問題出發(fā),層層剝繭,最終形成明確的解題思路.

例5 某養(yǎng)殖戶養(yǎng)殖的小豬和小雞一共有24只,小豬有4只腳,小雞有2只腳,共有54只腳,請問小豬、小雞各有多少只?

解析這一題目與“雞兔同籠”類型相似,學(xué)生如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題,就會受到限制,無從下手.鑒于此,可借助逆向思維的模式,從所求的問題出發(fā),借助假設(shè)的方式求解.假設(shè)均為小雞,那么24只小雞應(yīng)有48只腳,而多出來的腳自然是充當(dāng)小雞的小豬.由此,通過逆向分析,學(xué)生即可形成明確的解題思路,即(54-24×2)÷2=3(只),因此,小雞的數(shù)量則為24-3=21(只).

由此可見,在這道題目中,學(xué)生就是在逆向思維的輔助下,以問題為導(dǎo)向,通過層層分析,逐漸形成了解題思路,迅速找到解題的“突破口”[2].

3 培養(yǎng)逆向解題思維,強(qiáng)化學(xué)生解題能力

鑒于逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價值,教師應(yīng)有計劃、有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,使其在潛移默化的訓(xùn)練中逐漸掌握這一解題技巧.

3.1 結(jié)合數(shù)學(xué)概念,滲透逆向思維

3.2 借助倒推法,培養(yǎng)小學(xué)生的逆向思維

倒推法是逆向思維的直觀體現(xiàn),即引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論或者問題的角度出發(fā)進(jìn)行思考.例如,給某個數(shù)加上6,乘以6,減去6之后的結(jié)果是36,求這個數(shù)是多少?在對這一類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行講解時,即可運(yùn)用倒推法,將36看作是已知條件,那么原來的“減”就變成“加”,原來的“乘”就變成“除”,原來的“加”就變成“減”.如此,學(xué)生經(jīng)過一段時間的倒推訓(xùn)練,其逆向思維能力也會隨之提升.

3.3 巧用變式訓(xùn)練,發(fā)展逆向思維

在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維時,可運(yùn)用變式訓(xùn)練的模式,將正向思維和逆向思維結(jié)合到一起,促使二者形成強(qiáng)烈的反差,最終達(dá)到既定的思維訓(xùn)練目標(biāo).例如,在“三角形面積”教學(xué)中,為了發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力,首先給學(xué)生提出了一個常規(guī)性的問題：某三角形底邊長為5 m,高為2 m,如果其底邊長增加1 m,則三角形面積會增加多少?針對這一問題,學(xué)生即可運(yùn)用常規(guī)思想,借助三角形面積公式,直接求得答案.在此基礎(chǔ)上,為了發(fā)展學(xué)生的逆向思維,可對題目進(jìn)行變式：已知一個三角形底邊長為10 m,如果底邊每增加1 m,三角形的面積隨之增加3 m2,那么三角形底邊上的高是多少?在這一變式中,學(xué)生運(yùn)用常規(guī)的思維,顯然無法解答.此時,即可引導(dǎo)學(xué)生采用逆向思維的方式,從題目中所求三角形的高入手,引導(dǎo)學(xué)生從三角形面積增加3 m2對應(yīng)的底邊長出發(fā),由此對三角形面積公式進(jìn)行逆用,最終完成題目的解答.

4 結(jié)束語

逆向思維是解決小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中疑難問題的有力武器,學(xué)生的逆向思維能力也直接反映了其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).鑒于此,小學(xué)數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中,應(yīng)重視逆向思維能力在解題中的重要性,并結(jié)合日常數(shù)學(xué)基本概念、例題、變式訓(xùn)練等模式,強(qiáng)化小學(xué)生的逆向思維意識,培養(yǎng)小學(xué)生的逆向思維能力,最終促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成一定的逆向思維能力,并將其熟練應(yīng)用到日常解題中.