合理布局圖象 嚴密代數(shù)推理

唐宜鐘

摘 要：對一道多參量二次函數(shù)的絕對值在給定區(qū)間內(nèi)最大值的最小值的解法進行了探究，并通過類比對三次函數(shù)和無對稱性函數(shù)的相關(guān)問題進行了探究.給出了高位知識和解法感悟：合理布局函數(shù)圖象，嚴密代數(shù)推理.

關(guān)鍵詞：對稱性；最大值的最小值；函數(shù)圖象

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0038-07

函數(shù)是數(shù)學(xué)重要的載體之一，而函數(shù)圖象和性質(zhì)從不同的方面描述函數(shù).在較為復(fù)雜的函數(shù)問題中，需合理布局圖象，嚴密代數(shù)推理，綜合調(diào)度，才能有效解決問題.

1 題目呈現(xiàn)

引例 已知函數(shù)f（x）=x2+px+q，對p，q∈R，總x0∈［1，5］，使fx0≥m成立，則m的取值范圍是.

該題以二次函數(shù)的絕對值函數(shù)為背景，里面涉及p，q，x0，m四個未知量，同時存在全稱量詞和特稱量詞.題目敘述看似簡潔，但限定條件眾多，且每個條件都需合理轉(zhuǎn)化.具體說來，可做如下轉(zhuǎn)化：①x0∈1，5，fx0≥m成立，即m≤f（x）max.②對p，q∈R，m≤f（x）max，即選取適當(dāng)?shù)膒，q，使得m≤f（x）maxmin.③f（x）=x2+px+q，x∈［1，5］，即將g（x）=x2+px+q在y軸下方的圖象翻折到上方.要解決本題，一方面需要合理布局函數(shù)圖象.f（x）=x2+px+q的最大值可能取得的三個點為左右端點和頂點，問題處理的核心就是布局這三個點.另一方面，題目中涉及存在、任意、大于等于等諸多要求，故極易在解答過程中借助圖象進行想當(dāng)然地描述，而弱化了代數(shù)推理.筆者嘗試以圖象的布局為突破口，對問題進行了探索.

2 解法探究

探究1 取特殊值探究圖象.

為方便敘述，記g（x）=x2+px+q.考慮到p，q的任意性，取特殊值.當(dāng)p=0時，f（x）=x2+q，需f（x）的最大值取得最小值.由g（x）的單調(diào)性和絕對值的性質(zhì)，需g（5）和g（1）的值互為相反數(shù).g（5）>0，g（1）<0，g（5）=-g（1）.則25+q=-1-q，即q=-13.此時f（x）maxmin=|g（5）|=12.

由以上探究可知，不同的p，q會對應(yīng)不同的最值，要求得f（x）maxmin，（p，q）應(yīng)為某組特值，不可直接特殊化p或q計算.另外，f（x）還有以下可能的七種情形：

①g（5）>0，g（1）<0，g（5）=-g（1）；

②g（5）<0，g（1）>0，g（5）=-g（1）.

即p∈（-10，-2）時，

探究2 圖象的七種情形.

25+5p+q=-（1+p+q）.

得q=-3p-13.

所以f（x）maxmin=|g（1）|=|1+p+q|=|1+p-3p-13|=|-2p-12|，當(dāng)p=-2或p=-10時，f（x）maxmin=8.

25+5p+q=1+p+q.

則p=-6.

f（1）=f（5）=|-5+q|.

即9-q=-5+q，則q=7，f（x）maxmin=2.

故p=-2時，即對稱軸為x=1時取得最值.

歸結(jié)至p≥-2時的情形，有f（x）maxmin=8.

探究3 解法優(yōu)化與結(jié)論推廣.

通過以上探究不難發(fā)現(xiàn)，對于二次函數(shù)，在區(qū)間長度固定的情況下，只需對稱軸取區(qū)間中點，且兩端點及對稱軸處等值時，就能取得f（x）maxmin.換言之，將拋物線平移至y軸為對稱軸時，不影響f（x）maxmin的取值.故本題同解于對函數(shù)f（x）=x2+q′，x∈［-2，2］時，任取q′，求f（x）maxmin.即f（-2）=f（2）=f（0），即4+q′=-q′，即q′=-2，故f（x）maxmin=2.

推廣 函數(shù)f（x）=x2+px+q對p，q∈R，x∈［m，m+2n］（n>0）時，f（x）maxmin的值與函數(shù)f（x）=x2+q′對q′∈R，x∈［-n，n］時，f（x）maxmin的值相同.

由f（-n）=f（n）=f（0），得

探究4 三次函數(shù).

簡證 記A（m，f（x2）），B（x1，f（x1）），M（x0，f（x0）），C（x2，f（x2）），D（n，f（x1））.

由f ′（x）=3ax2+2bx+c，得f ″（x）=6ax+2b.

令f ′（x）=0，其兩根為x1，x2，則

則2x1+n=x1+x0+x2.

即x1+n=x0+x2.

即x1，x0，x2，n成等差數(shù)列.

同理，m，x1，x0，x2也成等差數(shù)列.

故m，x1，x0，x2，n成等差數(shù)列.

類似地，對于三次函數(shù)，利用其對稱性和等差性，合理布局圖象，就可以求得f（x）maxmin.

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=|x3-6x2+ax+b|.若對任意的實數(shù)a和b，總存在x0∈［0，3］，使fx0≥m成立，則m的取值范圍是.

解析 令g（x）=x3-6x2+ax+b，由g′（x）=3x2-12x+a，g″（x）=6x-12=0，得x=2.

即g（x）的對稱中心為（2，g（2））.

由三次函數(shù)圖象特征，需g（2）=0，g（3）=

g（0）<0（g（1）=-g（3）>0）時，f（x）maxmin=f（3）=f（1）=f（0）.

由f（2）=2a+b-16=0，f（1）=f（0），即

a+b-5=-b.

則a=9，b=-2.

此時，f（x）maxmin=f（0）=2，故m≤2.

探究5 無對稱性函數(shù).

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）lnx+ax+b，a，b∈R，總存在x0∈［1，e］，使得不等式f（x0）≥m成立，則實數(shù)m取得最大值時，實數(shù)a的值為.

顯然，φ（x）=（x-1）lnx+ax+b不具有對稱性，無法直接布局出其函數(shù)圖象.依據(jù)前面探索，影響取值點的有端點和極值點.由于參數(shù)a的存在，極值點無法求得.此時考慮分離函數(shù)，令

g（x）=（x-1）lnx，

h（x）=-ax-b，

則f（x）=|（x-1）lnx+ax+b|可看作g（x）=（x-1）lnx與h（x）=-ax-b在橫坐標(biāo)相等時，縱坐標(biāo)的豎直距離.此時，合理布局g（x）與h（x）的圖象即可.

解析 由g（x）=（x-1）lnx，x∈［1，e］，可取

A1，0，Be，e-1，所以AB的直線方程為

l1：y=x-1.

由（x-1）-（x-1）lnx>0得，l1的圖象始終在g（x）上方.設(shè)l2與AB平行且與g（x）=（x-1）lnx相切于點Cx0，y0，

當(dāng)h（x）與l1，l2平行且與兩條直線的距離相等時，即恰好在l1，l2的中間，此時

通過分離函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一個不含參數(shù)的函數(shù)g（x）與一條直線h（x）縱坐標(biāo)的豎直距離.此時，將函數(shù)g（x）介于兩端點連線l1與平行于l1的切線l2之間，h（x）即為l1與l2的“中位直線”.從而將一個復(fù)雜函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個簡單函數(shù)與直線的問題，拓寬了思路，降低了難度.

探究6 特征點.

不難發(fā)現(xiàn)，分離函數(shù)后切點（即為原來函數(shù)的極值點），二次函數(shù)的對稱軸，三次函數(shù)有關(guān)的極值點、端點，都影響著f（x）maxmin.這些極值點和端點，我們統(tǒng)稱f（x）的“特征點”.如引例的特征點為1，3，5.例1的特征點為0，1，3.例2的特征點為1，x0，e.對于例1，利用特征點，可做如下解答：

記f（x）max=M，則有

f（0）=|b|≤M，

f（1）=|-5+a+b|≤M，

f（3）=|-27+3a+b|≤M.

由待定系數(shù)法，設(shè)A，B，C為常數(shù)，令A(yù)b+B（-5+a+b）+C（-27+3a+b）=（-5B-27C）+（B+3C）a+（A+B+C）b，令B+3C=0，A+B+C=0，其中（A，B，C）的一組解為（2，-3，1）.由絕對值三角不等式，有

12=|2f（0）-3f（1）+f（3）|

≤2|f（0）|+3|f（1）|+|f（3）|=6M，

故M≥2.

此解法利用絕對值三角不等式，使得解答看起來簡潔迅速.但事實上，式子中必須包含函數(shù)所有的“特征點”.合理布局“特征點”的位置和系數(shù)，才能求得f（x）maxmin.而“特征點”的尋找，是破題的關(guān)鍵.

特征點法：在處理函數(shù)的最大值的最小值問題時，我們可以采取“三點控制”或者“四點控制”法，結(jié)合函數(shù)圖象的特征，幾個“特征點”如下：

①對于二次函數(shù)而言，采用“三點控制法”，這三個點分別是兩區(qū)間端點和區(qū)間中點.

②對于三次函數(shù)而言，一般采用“四點控制法”，這四點分別是兩區(qū)間端點和分別靠近兩個端點的四等分點.但有些三次函數(shù)也只需“三點控制”，求解時需要靈活處理.

③對于平口（端點同高）的對勾函數(shù)而言，這三點分別是兩端點與極值點；對于一般的對勾函數(shù)而言，這三點除了端點外，就是平行于兩端點連線的直線與該曲線的切點[2].

3 背景探究

事實上，上述問題都源于切比雪夫逼近問題.

由多倍角公式，我們知道cos（nx）可以表示成cosx的多項式，具體如下：

cos0=1，

cosx=cosx，

cos2x=2cos2x-1，

cos3x=4cos3x-3cosx，

cos4x=8cos4x-8cos2x+1，

cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx.

從而，我們得到：

3.1 切比雪夫多項式

定義1 Tn（x）=cos（narccosx）是一個n次多項式，稱為n次切比雪夫多項式，其中x∈［-1，1］，n∈N.

T0（x）=1，T1（x）=x，T2（x）=2x2-1，T3（x）=4x3-3x，T4（x）=8x4-8x2+1，T5（x）=16x5-20x3+5x.

3.2 最佳逼近直線

如果f（x）不是n次多項式，以上方法還適用嗎？為了解決此類問題，需給出如下定義與定理.

性質(zhì)3 若函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，則f（x）的最佳逼近直線存在且唯一.

性質(zhì)4 直線g（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）（x∈［a，b］）的最佳逼近直線的充要條件是g（x）至少具有三個偏差點，且它們依次輪流為正、負偏差點.

注 定理2告訴我們，可根據(jù)如下步驟作出凹、凸函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的最佳逼近直線g（x）.

（1）連接MN；

（2）在函數(shù)圖象上找一點C，使得在該點處的切線與直線MN平行；

（3）過線段MC的中點D作直線MN的平行線l.

這樣的直線l就是所求的最佳逼近直線g（x），點M，C，N依次輪流為正、負偏差點[3].

4 真題賞析

縱觀近年來各地高考模擬、強基、高聯(lián)試題，都有以上述問題為模板的題目，或者直接出現(xiàn)，或者變換函數(shù)，或者變換設(shè)問方式.簡錄幾個如下：

題1 （2010年全國高聯(lián)）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），當(dāng)0≤x≤1時，|f ′（x）|≤1，試求a的最大值.

（1）當(dāng)a=0，b=1時，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意實數(shù)a，b，總存在實數(shù)x0∈［0，4］，使不等式f（x0）≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍.

題4 （2021年競賽模擬）對于區(qū)間I=［a，b］（a

題5 （2022年強基模擬）已知函數(shù)f（x）=1-x2x2+bx+c，x∈-1，1，記f（x）的最大值為Mb，c.當(dāng)b，c變化時，求Mb，c的最小值.

題6 （2023年紹興期末）已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x2+b|，x∈［0，1］.設(shè)f（x）的最大值為M，若M的最小值為1時，a的值可以是（ ）.

5 幾點感悟

5.1 合理布局函數(shù)圖象是破題關(guān)鍵

從某種意義上講，函數(shù)解析式是隱性的，函數(shù)圖象是顯性的.函數(shù)的性質(zhì)是抽象的，函數(shù)的圖象是具象的.函數(shù)的性質(zhì)為函數(shù)設(shè)定了“邊界”，使函數(shù)只能滿足某些特定的屬性，而不能擁有與之相悖的屬性.但在這指定的“邊界”內(nèi)，函數(shù)依舊有著多樣的可能性.如何在這些“可能性”中恰當(dāng)選擇，我們需要一個可視化的操作對象.函數(shù)圖象就是這個操作對象.利用函數(shù)的零點、特殊點、極值、最值、對稱軸、對稱中心、單調(diào)性、奇偶性、周期性等，結(jié)合圖象的平移、翻折、伸縮、旋轉(zhuǎn)等變換，合理調(diào)整、布局函數(shù)的圖象，是破題的關(guān)鍵.如在引例中，通過對二次函數(shù)單調(diào)性、對稱性、最值，以及絕對值函數(shù)圖象變換規(guī)律，最終在七種圖象中，通過對比、調(diào)整，選定了f（1）=f（5）=f（3）形式的圖象.而在例2中，無法直接作出φ（x）=（x-1）lnx+ax+b的圖象時，通過轉(zhuǎn)化，再合理布局g（x）=（x-1）lnx與h（x）=-ax-b的圖象，才實現(xiàn)了題目的突破.同時，合理布局的函數(shù)圖象，還能實現(xiàn)題目幾何意義的表達，借助幾何關(guān)系，進而實現(xiàn)解題目標(biāo)的直觀和路徑通暢.在例2中，正是利用切線和割線，完成了從最大值的最小值到“中位平行線”的轉(zhuǎn)化.

5.2 嚴密代數(shù)推理盡顯解答之妙

雖然函數(shù)圖象能夠快速直觀地解決問題，但在說理過程中，其依舊有著諸多缺陷.由于圖象的具象性，具體函數(shù)圖象只是列舉了函數(shù)的某些可能性，而滿足某種性質(zhì)的函數(shù)是無限的.如函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可以是一次函數(shù)，可以是三次函數(shù)，也可以是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)等.當(dāng)然，如果情形是有限的，可以使用圖象結(jié)合分類討論的方法解決問題.函數(shù)圖象的說理具有不嚴密性，如從函數(shù)的意義上講，函數(shù)上的點是無限的，而所作出的圖象是有限的.圖象甚至具有誤導(dǎo)性，如在例1的探究過程中，筆者在最初作圖探究時發(fā)現(xiàn)函數(shù)的左右端點處等值，三次函數(shù)的對稱中心處值為0就能得到最大值的最小值，進而進行了忽略三次函數(shù)中端點、極值點、對稱中心橫坐標(biāo)等差性的限定.另外，圖象還有局限性和冗余性等特點，而代數(shù)推理高度概括的特點使之具有更廣的操作空間.

5.3 高位知識是活水之源

所謂高位知識，是指在學(xué)生知識體系之外，高于學(xué)生認知的知識，其包括高等數(shù)學(xué)的弱化、初等數(shù)學(xué)的升華、跨學(xué)科的融合等.高位知識并非深不可測，他只需學(xué)生在現(xiàn)有知識體系內(nèi)，往前邁出一小步.如本文中的切比雪夫逼近直線所用的知識全是高中知識，只是將解答流程規(guī)范化、名詞化.立足高位知識，更容易建立起知識的體系性.如通過切比雪夫多項式和最佳逼近直線，很容易建立起一元n次多項式和一般連續(xù)函數(shù)在最大值的最小值問題上的遞進性關(guān)系.立足高位知識，更容易發(fā)現(xiàn)解法之間的關(guān)聯(lián)，如對于例1，布局函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為一個三次函數(shù)與一條直線縱坐標(biāo)差值，或者特征點法三種方法，其實都是關(guān)于三個特征點的處理.高位知識是命題的活水之源，只要是函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上存在二階導(dǎo)數(shù)，且f ″（x）在［a，b］上不變號，就能通過最佳逼近直線求得最大值的最小值.只要掌握高位知識，就能達到解一題知一類，實現(xiàn)知識的通達和思維的深化.

6 結(jié)束語

總之，合理布局函數(shù)圖象是解題的切入點，嚴密代數(shù)推理是解題的基本素養(yǎng).初等方法是解題的必須要求，高位知識是思維貫穿的保障.綜合并用，方能更好抵達.

參考文獻：

［1］甘志國.一元三次函數(shù)圖象對稱性的推廣[J].高中數(shù)理化，2019（24）：2-3.

[2] 李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].安徽：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

[3] 佩捷，林常.切比雪夫逼近問題[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013.