例談摩擦力作用下的局部簡諧運(yùn)動

許冬保

摘 要：物體在阻力作用下的振動是阻尼振動，振幅在不斷減小.在高中物理習(xí)題教學(xué)中，經(jīng)常遇到一類在摩擦力作用下的振動問題，該類問題因涉及變力作用，運(yùn)動過程復(fù)雜，知識綜合應(yīng)用的能力要求較高，是教學(xué)之難點(diǎn).分析表明：在摩擦力作用下的振動，可以轉(zhuǎn)化為局部簡諧運(yùn)動來進(jìn)行分析.

關(guān)鍵詞：簡諧運(yùn)動；摩擦力；局部簡諧運(yùn)動；實(shí)例分析

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0124-03

簡諧運(yùn)動是一種理想化的振動，振動中的機(jī)械能守恒，振幅保持不變.可實(shí)際上，振動系統(tǒng)不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用，振動系統(tǒng)克服阻尼作用做功，系統(tǒng)的機(jī)械能就要損耗，振動的振幅也逐漸減少，待到機(jī)械能耗盡之時，振動就停下來了，這種振幅逐漸減小的振動叫做阻尼振動[1].在高中階段，阻尼振動大多考查振動系統(tǒng)受摩擦力作用的情形，本文就此問題，例談分析策略.

1 探究水平彈簧振子在摩擦力作用下的振動規(guī)律

一個水平放置的彈簧振子，如果物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ，在水平方向上物塊僅受摩擦力及彈簧彈力作用，可以證明該系統(tǒng)的振動為簡諧運(yùn)動.

如圖1，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，若將物塊向右拉離平衡位置，并有較大的位移x（在彈簧彈性限度內(nèi)），那么當(dāng)釋放此物塊，讓其從右向左運(yùn)動時，取向右為正方向，則運(yùn)動中物塊受到的合力F1為

F1=-kx+μmg

同理，當(dāng)此物塊從左向右運(yùn)動時，物塊所受的合力為

綜上所述，物體在摩擦力作用下作阻尼振動，整個運(yùn)動不是簡諧運(yùn)動.但是在單方向的運(yùn)動中，摩擦力不變，在該過程中物體做簡諧運(yùn)動.在下一個單方向的運(yùn)動中，物體仍做簡諧運(yùn)動……如此循環(huán)，平衡點(diǎn)位置交替變化，連續(xù)的振動中，物體的振幅周期性遞減.

由于簡諧運(yùn)動的周期公式僅與m、k有關(guān)，所以在每個簡諧運(yùn)動中物塊運(yùn)動的時間均相同.若某次振動中，速度為零時記為時刻零點(diǎn)，則物塊振動的x-t圖像如圖2所示.

為區(qū)別于一般的簡諧運(yùn)動，本文將此類簡諧運(yùn)動稱為“局部簡諧運(yùn)動”.

2 實(shí)例分析

振動問題往往涉及力學(xué)中的牛頓運(yùn)動定律、功能關(guān)系等規(guī)律的應(yīng)用，由于振動物體受到彈簧的彈力是變力，因此對速度、位移、加速度、能量等物理量的分析，成為教學(xué)的難點(diǎn).下面以水平面、斜面及豎直面的情形分類分析，對于摩擦力作用下的振動問題，基于局部簡諧運(yùn)動的觀念進(jìn)行分析.2.1 物體在水平面上的局部簡諧運(yùn)動

例1 如圖3，勁度系數(shù)為k的水平輕彈簧一端固定在墻上O點(diǎn)，原長為OB，另一端與質(zhì)量為m的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）緊靠但不拴接.先壓縮彈簧，置物塊于A點(diǎn)，然后由靜止釋放，小物塊運(yùn)動到C點(diǎn)恰好停止.設(shè)小物塊從A到B用時t1，從B到C用時t2，已知物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為μ.水平地面上A、B、C三點(diǎn)滿足關(guān)系A(chǔ)B=BC=l.重力加速度為g.

（1）證明小物塊從A到B的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動；

（2）比較時間t1、t2的長短；

（3）若l未知，試寫出由已知量表示l的表達(dá)式.

解析 （1）考察在A、B之間的任意位置，若物塊相對位置B（彈簧原長）的位移為x，取向右為正方向，則小物塊所受的合外力為F=-kx-μmg

（2）小物塊做簡諧運(yùn)動，速度隨時間按正弦函數(shù)規(guī)律變化，在B處，彈簧與小物塊分離，此后，小物塊做勻減速運(yùn)動，可作出v-t圖像，如圖4所示.

評述 在水平方向上小物塊受彈簧彈力及摩擦力作用，開始一段時間做局部簡諧運(yùn)動.達(dá)最大速度時，合力為零，平衡點(diǎn)的位置在B點(diǎn)左側(cè).在B處彈簧為原長，由于彈簧未與小物塊拴接，因此，小物塊與彈簧在B處分離，此后小物塊做勻減速運(yùn)動.由v-t圖像比較運(yùn)動時間，形象、直觀.

2.2 物體在斜面上的局部簡諧運(yùn)動

例2 如圖5，輕彈簧一端固定在傾角為θ=37°的粗糙斜面頂端，另一端與質(zhì)量為2m的物塊A連接，質(zhì)量為m的物塊B疊放在A上.若將彈簧與A、B系統(tǒng)從彈簧原長處由靜止釋放.當(dāng)A、B沿斜面向下運(yùn)動至最低點(diǎn)Q（圖中未標(biāo)出）時將B取下，此后，A將沿斜面返回并恰好滑至原出發(fā)點(diǎn).已知A、B在運(yùn)動過程中未發(fā)生相對滑動，斜面體始終靜止在水平地面上，彈簧形變處在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g.則（? ）.

A.下滑過程中可能存在A、B間摩擦力為零的位置

B.整個過程中系統(tǒng)增加的內(nèi)能小于物塊B減少的重力勢能

C.A與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.15

D.A上滑過程所需時間與A、B下滑過程所需時間一定相同

解析 已知A、B在下滑過程中未發(fā)生相對滑動.當(dāng)某時刻A、B間摩擦力為零時，由牛頓運(yùn)動定律知，A、B的加速度大小均為gsin37°=0.6 g，方向平行斜面向下；此時，A所受彈簧彈力一定等于A受斜面的摩擦力，因摩擦力方向平行斜面向上，故彈簧彈力方向一定平行斜面向下，則彈簧必處于壓縮狀態(tài)，這不合題意，選項(xiàng)A錯誤.

系統(tǒng)增加的內(nèi)能源于克服物塊A與斜面間的滑動摩擦力做功.全過程中，因始末狀態(tài)彈簧的彈性勢能均為零，由能量守恒定律知，整個過程中系統(tǒng)增加的內(nèi)能等于物塊B減少的重力勢能，選項(xiàng)B錯誤.

在A、B下滑過程中，整個系統(tǒng)在沿斜面方向上，所受重力的下滑分力及摩擦力恒定，因此，A、B構(gòu)成的系統(tǒng)做簡諧運(yùn)動；同理，A上滑，仍做簡諧運(yùn)動.由簡諧運(yùn)動的對稱性可知，兩次簡諧運(yùn)動的平衡位置相同，則彈簧彈力F相同，對于下滑、上滑過程分別有

F=3mgsinθ-3μmgcosθ；

F=2mgsinθ+2μmgcosθ

解得μ=0.15，選項(xiàng)C正確.

由簡諧運(yùn)動的周期公式知，周期與質(zhì)量的二次方根成正比，則A上滑過程所需時間小于A、B下滑過程所需時間，選項(xiàng)D錯誤.

2.3 物體在豎直面上的局部簡諧運(yùn)動

例3 如圖6，固定在天花板上的輕桿將光滑輕質(zhì)小定滑輪懸掛在空中，一根彈性輕繩一端固定在左邊墻壁上O點(diǎn)，另一端與套在粗糙豎直桿上P點(diǎn)、質(zhì)量為m的滑塊連接，用手平托住滑塊，使OAP在一條水平線上.繩的原長與O點(diǎn)到滑輪距離OA相等，AP之間的距離為d，繩的彈力F與其伸長量x滿足胡克定律F=kx，滑塊初始在P點(diǎn)時對桿的彈力大小為mg，滑塊與桿之間的動摩擦因數(shù)為0.2.現(xiàn)將滑塊由靜止釋放，當(dāng)滑到Q點(diǎn)時速度恰好為零，彈性繩始終處在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g.下列說法正確的是（? ）.

A.滑塊從P點(diǎn)釋放瞬間的加速度大小為g

B.滑塊下滑過程中速度達(dá)到最大值時的位置到P點(diǎn)距離為0.8d

C.滑塊從P運(yùn)動到Q的過程中，彈性繩對滑塊做功-0.8mgd

D.PQ之間的距離為1.6d

答案：BD.

3 結(jié)束語

本文分析了在摩擦力作用下的振動問題.振動物體若局部（即單一方向的運(yùn)動過程）所受摩擦力恒定，則物體做局部簡諧運(yùn)動.需要指出的是：普通物理學(xué)對阻尼振動的討論是比較復(fù)雜的.一個經(jīng)典的模型是振動物體受到的阻力隨速度按線性規(guī)律變化的情形，這樣的阻尼振動不是簡諧運(yùn)動.

參考文獻(xiàn)：

［1］張同恂等.高級中學(xué)課本（試用）物理（甲種本）第一冊[M].北京：人民教育出版社，1983：294.

[2] 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理講座[M].第2版.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2017：163-164.