融合小生境機制的增強麻雀搜索算法及其應用

摘 要：針對麻雀搜索算法SSA易陷入局部最優(yōu)、算法過早收斂等問題，提出一種融合小生境的麻雀搜索算法NSSA。首先，NSSA使用一種基于發(fā)現(xiàn)者相似性形成自適應物種的小生境策略將麻雀種群自動劃分為以發(fā)現(xiàn)者為中心的若干個小種群或物種，且使跟隨者朝所屬物種內(nèi)的發(fā)現(xiàn)者位置移動，以保持種群的多樣性。其次，通過結合模糊邏輯的差分變異并使用發(fā)現(xiàn)者所屬物種內(nèi)的其他個體信息對發(fā)現(xiàn)者進行變異操作，以提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。選用CEC2017測試集中的12個函數(shù)作為實驗測試集，將NSSA與CSSOA、ISSA、MSSSA、SHSSA、MSWOA進行性能測試。實驗結果表明，在大多數(shù)多峰目標函數(shù)上，NSSA與排名第二的算法相比，收斂精度提升了10%以上。對NSSA的各改進策略進行了消融實驗，結果表明，在綜合改進策略的共同作用下，NSSA的綜合優(yōu)化性能排名第一。最后將NSSA應用于壓力容器設計問題，結果表明，相比于其他算法，NSSA仍能夠獲得最優(yōu)的解。

關鍵詞：麻雀搜索算法； 小生境； 差分變異操作； 模糊邏輯； 壓力容器設計

中圖分類號：TP301.6文獻標志碼： A文章編號：1001－3695（2024）04－018－1077－09

doi：10.19734/j.issn.1001－3695.2023.08.0353

Enhanced sparrow search algorithm by integrating nichemechanism and its application

Li Dahai， Li Xin， Wang Zhendong

Abstract：Aiming at overcoming drawbacks of lower accuracy and being trapped easily into local optimums of the sparrow search algorithm（SSA）， this paper proposed an enhanced sparrow search algorithm by integrating niche mechanism（NSSA）. Firstly， NSSA adopted an adaptive niche mechanism based on producers’ similarity to automatically partition the whole sparrow population into several producer－centered speciation， and to move scroungers inside the speciation towards to the producer inside the same speciation， in order to maintaining the diversity of the whole population. Secondly， NSSA applied a fuzzy logic based differential mutation operation to further mutate sparrow producers to raise the probability to jump out of local optimums. It used 12 functions selected from the CEC2017 benchmark function as the testbed to evaluate NSSA with CSSO ISS MSSS SHSS and MSWOA. Experimental results show that NSSA even can raise convergence accuracy up by 10% compared with the second ranked evaluated algorithm on most of multimodal objective test functions. This paper also conducted ablation experiments for each improved strategy proposed in NSSA. Experimental results show NSSA can achieve supreme performance by applying all 3 strategies simultaneously. At last， NSSA is applied to solve the pressure vessel design problem. Experimental results illustrate that NSSA has the ability to find the best solutions compared to other evaluated algorithms.

Key words：sparrow search algorithm（SSA）; niche; difference mutation operation; fuzzy logic; pressure vessel design

0 引言

很多實際的工程問題可以轉換為求解目標函數(shù)的最優(yōu)值問題，如機器人路徑規(guī)劃［1］、發(fā)電機優(yōu)化調度［2］等。近年來，隨著工程優(yōu)化問題的規(guī)模不斷增大并且問題的維度也越來越高，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法如梯度下降法、牛頓法已經(jīng)難以解決上述工程優(yōu)化問題。受自然界生物的啟發(fā)，學者們提出了很多智能優(yōu)化算法，例如粒子群算法［3］、基因算法［4］、蟻群算法［5］等來求解上述的工程優(yōu)化問題。

麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）是在2020年由Xue等人［6］提出的一種新型的高效輕量級群智能優(yōu)化算法。與其他群智能優(yōu)化算法相比，SSA具有算法結構簡單、參數(shù)少、收斂速度快、易實現(xiàn)等特點，目前已經(jīng)被廣泛應用于輪轂減速器優(yōu)化［7］、SVM參數(shù)尋優(yōu)［8］等領域。SSA在求解復雜問題的時候，也與其他群智能優(yōu)化算法有著類似的易陷入局部最優(yōu)、全局搜索能力偏弱等缺點。為了增強SSA的尋優(yōu)能力，目前，眾多學者已經(jīng)對SSA進行了諸多改進。

Ma等人［9］為解決SSA收斂精度低和易陷入局部最優(yōu)等問題，提出一種增強型多策略麻雀搜索算法（enhanced multi－strategies sparrow search algorithm，EMSSA）。該算法使用了三種策略對SSA進行改進。一是在種群初始化位置使用自適應tent混沌映射，使初始種群中具有豐富的多樣性和更大的隨機性；二是在警戒者位置更新處引入加權的正余弦算法，避免移動距離取決于最優(yōu)麻雀與最差麻雀之間的距離的原因而使得算法陷入局部最優(yōu)；三是利用三角形相似性原理對當前最優(yōu)麻雀位置進行擾動，提高了算法的搜索能力。

張曉萌等人［10］提出了一種融合正弦搜索策略和多樣化變異處理的改進麻雀搜索算法（improved sparrow search algorithm，ISSA）。根據(jù)群體中麻雀的適應度，采用正弦搜索策略自適應地調整個體權重值，有效地平衡了SSA算法的全局和局部搜索能力。同時引入聚集度的概念，當聚集度大于預設閾值時，使用柯西變異對全局最優(yōu)解進行變異處理，增大了SSA算法跳出局部最優(yōu)的可能。

呂鑫等人［11］提出了一種混沌麻雀搜索優(yōu)化算法（chaos sparrow search optimization algorithm，CSSOA）。在種群初始化階段利用改進tent混沌序列提高初始解的質量。在一次迭代完成后分別使用高斯變異與tent混沌擾動，加強算法局部搜索能力和跳出限制繼續(xù)搜索的能力。

毛清華等人［12］為解決SSA種群多樣性減小，容易陷入局部極值的問題，提出一種融合柯西變異和反向學習的改進麻雀算法（improved sparrow algorithm combining Cauchy mutation and opposition－based learning，ISSA）。首先，采用sin混沌初始化種群，提升初始種群的質量；其次，在麻雀發(fā)現(xiàn)者飛行公式中引入上一代全局最優(yōu)解，同時為協(xié)調局部挖掘和全局探索的能力，加入自適應權重；最后，引入融合柯西變異算子和反向學習的策略對當前最優(yōu)解進行擾動，增強算法跳出局部空間的能力。

Gao等人［13］提出了一種多策略改進進化麻雀搜索算法（multi－strategy improved evolutionary sparrow search algorithm，MSSA）。MSSA在種群初始化時引入tent混沌使得麻雀初始種群能均勻地分布在搜索域中，同時在發(fā)現(xiàn)者位置更新中引入Lévy飛行方法以增強算法的全局搜索能力。最后MSSA在警戒者位置更新處加入交叉變異策略，以增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。

陳功等人［14］提出一種螺旋探索與自適應混合變異的麻雀搜索算法（sparrow search algorithm based on spiral search and adaptive hybrid mutation，SHSSA）。首先，在種群初始化階段引入ICMIC混沌映射初始化種群以增加初始種群的多樣性；其次，為提升算法全局搜索性能，在發(fā)現(xiàn)者位置更新處加入螺旋探索因子；最后，在最優(yōu)個體處使用融合精英差分和隨機反向的混合策略對最優(yōu)個體進行擾動，以增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。

上述文獻提出的改進SSA主要是從以下幾個方面進行改進：a）使用混沌算法對初始種群進行擾動，以增強種群多樣性；b）與其他算法相融合，對某種角色麻雀的飛行方式進行改進；c）對當前最優(yōu)或是全局最優(yōu)位置進行處理，使得算法跳出局部最優(yōu)的能力變強。上述改進算法提高了原SSA的優(yōu)化能力，但在一些復雜多峰問題上，仍存在易陷入局部最優(yōu)、算法過早收斂等問題。為進一步提升SSA的性能，本文提出一種融合小生境機制的增強麻雀搜索算法（enhanced sparrow search algorithm by integrating niche mechanism，NSSA）。NSSA主要采取了以下兩項改進策略：

a）引入了一種自適應物種形成的小生境策略來劃分麻雀種群，該策略可以保持種群的多樣性，加快算法的收斂速度。

b）針對麻雀發(fā)現(xiàn)者在尋優(yōu)過程中容易陷入局部最優(yōu)的問題，通過引入同物種中其他的位置，結合差分變異操作產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)者位置，增加算法跳出局部最優(yōu)的概率。

本文采用CEC2017中的12個測試函數(shù)，將NSSA與其他四種改進麻雀算法和一種改進的鯨魚算法進行性能測試，并對于采用的改進策略進行了消融實驗。實驗結果表明，在綜合改進策略的共同作用下，NSSA的綜合優(yōu)化性能突出，且全局收斂性能較為穩(wěn)定。最后，將NSSA應用于壓力容器設計實驗，結果表明NSSA能夠獲得最低成本的壓力容器。

1 麻雀搜索算法

SSA是通過模擬麻雀捕食與反捕食機制而提出的群智能優(yōu)化算法。在算法中存在發(fā)現(xiàn)者、跟隨者、警戒者三種角色。發(fā)現(xiàn)者負責尋找整個搜索區(qū)域中食物較充足的位置，并帶領其他麻雀移動到食物位置，跟隨者則是跟隨發(fā)現(xiàn)者來獲取食物。發(fā)現(xiàn)者與跟隨者的角色會根據(jù)個體的適應度值動態(tài)變化，只要麻雀可以搜尋到更優(yōu)的食物所在位置，都可以成為發(fā)現(xiàn)者，但發(fā)現(xiàn)者在整個種群中所占的比例是固定的。

發(fā)現(xiàn)者有兩種飛行方式。當R＜ST時，表示發(fā)現(xiàn)者在周圍未發(fā)現(xiàn)危險，這時發(fā)現(xiàn)者會進入廣域搜索；當R≥ST時，表示發(fā)現(xiàn)者發(fā)現(xiàn)了危險，這時發(fā)現(xiàn)者會向安全區(qū)移動。發(fā)現(xiàn)者的位置更新公式為

其中：Xbest是當前全局最佳位置；β是一個步長控制參數(shù)，服從均值為0，方差為1的正態(tài)分布；K是［-1，1］中的一個隨機數(shù)；fi為當前個體的適應度；fg和fw為當前全局最佳和最劣適應度值；ε是一個常數(shù)，避免分母為零。

2 融合小生境機制的增強麻雀搜索算法

對跟隨者的位置更新式（2）進行分析可知，原SSA的跟隨者在每次迭代都會向當前最優(yōu)的發(fā)現(xiàn)者位置靠近。這意味著麻雀種群的多樣性可能會隨著算法的迭代快速降低，導致算法易陷入局部最優(yōu)并早熟。NSSA采用了兩項改進策略解決上述問題：第一項是引入新式小生境機制，將種群分成小種群（物種），并使每個物種中的跟隨者向該物種內(nèi)的發(fā)現(xiàn)者靠近，以保持種群的多樣性并提升算法的收斂速度；第二項是對所有的發(fā)現(xiàn)者進行差分變異操作，避免由于發(fā)現(xiàn)者陷入局部最優(yōu)而導致算法陷入局部最優(yōu)的情況。

2.1 改進的小生境策略

SSA的搜索機制總是選擇個體適應值排序靠前的小部分麻雀個體作為發(fā)現(xiàn)者，并且使占種群多數(shù)的跟隨者向當前最優(yōu)的發(fā)現(xiàn)者移動，容易使麻雀個體迅速向當前最優(yōu)位置匯聚，造成麻雀算法具有較快的收斂速度，但也會造成算法的種群多樣性快速減少，導致算法易陷入局部最優(yōu)或者早熟。文獻［9，11～14］都使用某種混沌映射機制對種群的初始分布進行擾動，目的是增強種群的初始多樣性，但其只能在初始化階段對種群進行優(yōu)化。為直觀顯示原SSA中麻雀種群隨迭代次數(shù)變化的情況，在種群數(shù)量為50，發(fā)現(xiàn)者規(guī)模為種群的20%，搜索空間每一維是［-500，500］的情況下，對2維的generalized Schwefel’s problem函數(shù)進行優(yōu)化。圖1（a）和（b）顯示了麻雀種群分別迭代了1次和5次的分布情況。從圖1（a）中可以看出，在進行了1次迭代后，麻雀種群還較為分散；而1（b）中，只進行了5次迭代，麻雀種群就已經(jīng)聚集在某幾個點附近。

在智能優(yōu)化算法領域，通常采用基于物種形成的小生境策略（niche strategies based on speciation，NBS）［15］來將種群劃分成若干個小種群或者物種。NBS根據(jù)兩個個體之間的歐氏距離來確定它們之間的相似性，即兩個個體的距離越小，它們之間的相似性就越大。物種的形成取決于預設的參數(shù)，即物種半徑R。其表示從物種中心到其邊界的歐氏距離的半徑。物種的中心被稱為物種種子，其是該物種中具有最優(yōu)適應值的個體。所有落在距離物種種子半徑R距離內(nèi)的個體都被歸類為同一物種。NBS策略形成物種種子并完成物種劃分的具體步驟為：

a）以適應度最好的個體為物種種子，將與之距離小于R的個體劃分為屬于同一物種。

b）若有物種種子距離大于R的個體，將這些個體保存在種子集中，將種子集中的候選種子進行適應度排序。

c）如果種子集非空，重復a），否則完成物種劃分。

NBS存在以下兩個問題：a）NBS使用的物種半徑R是預先設置的固定值，其可能不利于算法隨搜索環(huán)境變化而作出相應的調整；b）其時間復雜度較高，NBS的時間復雜度為O（n2） ［15］。

文獻［16］提出了一種基于粒子相似性形成自適應物種的小生境策略（niche strategy for adaptive speciation based on particle similarity，NABPS）對NBS策略進行了改進。NABPS策略采用了基于粒子相似性的自適應機制動態(tài)地設置物種半徑，具體過程如下：

a）計算每個個體xi與其最近粒子的距離Li，將所有的Li依次相加得出總距離L，再將L除以個體數(shù)就可以得出自適應半徑R的值是對所有個體即計算整個種群的聚集程度，然后根據(jù)這些距離設置自適應半徑R。

b）為每個個體xi找到半徑R內(nèi)所有比xi適應度好的個體xj，這些xj可認為屬于xi的物種A，其中A物種中最優(yōu)的個體被稱為nbest個體，算法進行迭代時可用nbest個體代替算法的全局最優(yōu)位置，維持種群的多樣性。

NABPS存在幾個問題：a）設置自適應半徑時需計算每個個體與之最近個體的距離，這大大地增加了算法的時間復雜度；b）在劃分小生境時需要為每個個體生成以該個體為中心的小生境，可能會存在一個個體屬于多個物種的現(xiàn)象，這與現(xiàn)實情況不相符。上述的i，j∈N，N是種群個體數(shù)。

本文在文獻［15，16］的基礎上加以改進，提出基于發(fā)現(xiàn)者相似性形成自適應物種形成的小生境策略（niche strategy for adaptive speciation based on finders similarity，NABFS）。與NABPS類似，NABFS的自適應半徑可由發(fā)現(xiàn)者的聚集程度進行設置。首先計算每個發(fā)現(xiàn)者與其最近發(fā)現(xiàn)者的距離并進行求和，進行求和之后對和求平均值即是半徑。具體做法如式（4）（5）所示。

以發(fā)現(xiàn)者為中心，并以發(fā)現(xiàn)者的聚集程度設置半徑，不需要對每個粒子的最小距離進行計算，大大減少了算法的時間復雜度，同時NABFS限定某個跟隨者只能屬于某一個物種，符合現(xiàn)實情況。

在組成物種后，跟隨者不再向當前最優(yōu)發(fā)現(xiàn)者靠近，而是改為向物種中發(fā)現(xiàn)者靠近，為方便稱呼，本文將物種中的發(fā)現(xiàn)者稱為整個物種的neighbor best個體，簡稱NB個體，物種中的跟隨者則稱為neighbor個體，簡稱NE個體。若物種中存在一個發(fā)現(xiàn)者，則該發(fā)現(xiàn)者既是NB個體也是NE個體。與標準SSA中麻雀飛行方式不同的是，NABFS策略中的跟隨者并不再向當前最優(yōu)的發(fā)現(xiàn)者靠近，而是向著

其中：XNB為物種中的NB個體；YNE為物種中隨機一個NE個體YNE≠Xti；rand∈［0，1］。

當進行物種劃分時，存在一些與任何發(fā)現(xiàn)者的距離都大于自適應半徑的跟隨者，這些個體不屬于任何物種的跟隨者。若這些個體不加入某個物種，則沒有引導者指導其飛行。為了模仿自然界中優(yōu)勝劣汰的特性，本文將上述個體進行淘汰，即可認為上述麻雀因為沒有引導者而被淘汰，本文將這些個體稱為淘汰個體。為了保證種群的數(shù)量，在離淘汰個體距離最短的物種中會隨機生成一個新的跟隨者，設新個體生成的物種中發(fā)現(xiàn)者是NB，則被新生成的跟隨者位置為

2.2 結合模糊邏輯的差分變異操作

差分進化算法（differential evolution，DE）［17］是一種基于群體差異的進化算法。DE算法的每次迭代都會對種群執(zhí)行變異操作、交叉操作和選擇操作。其中差分變異操作是用來產(chǎn)生父代個體的變異個體，并選擇優(yōu)勢個體保留至下一次迭代。常見的差分變異操作有DE/rand/1、DE/best/2、DE/current－to－best/1［18］。

對于標準SSA中發(fā)現(xiàn)者的飛行方式分析可得：隨著迭代次數(shù)的增加，R＜ST時發(fā)現(xiàn)者位置更新公式中的指數(shù)部分會不斷變小，于是發(fā)現(xiàn)者個體的每一維也在變小，若無其他的變異機制，在面對多維搜索空間時難以進行全面的搜索，導致算法陷入局部最優(yōu)。本文結合2.1節(jié)小生境中的NE個體提出一種SSA/current－to－neighbor/1策略，對發(fā)現(xiàn)者種群進行差分變異操作，具體如式（8）所示。

其中：ui為發(fā)現(xiàn)者進行差分變異后的變異個體；F為放縮因子；XNE是Xi的NE個體；Xr1和Xr2為不同于當前發(fā)現(xiàn)者個體位置的兩個隨機位置，且r1≠r2。生成變異個體后，與父代Xi交叉生成子代個體ui，j，該過程的數(shù)學公式為

在經(jīng)典 DE 算法中，放縮因子F與交叉概率CR的設置對于算法的性能非常重要，但經(jīng)典DE算法采用的是固定參數(shù)的方式，即參數(shù)在搜索之前預先設置好，并且在整個迭代過程中保持不變。然而，這種固定參數(shù)的方式很難在迭代的各個階段都生成符合要求的變異向量。為了靈活控制參數(shù)，使算法在各個階段都能獲得符合要求的變異向量，有學者提出利用模糊推理系統(tǒng)來完成對參數(shù)的靈活控制［19］。

模糊推理系統(tǒng)以模糊邏輯理論為主要計算工具，能夠方便且高效地實現(xiàn)多輸入變量與單輸出變量之間復雜的非線性映射關系［20］。模糊推理系統(tǒng)功能主要由模糊化、模糊規(guī)則庫、模糊推理方法和去模糊化四個部分組成。

本文提出的用來動態(tài)改變放縮因子F與交叉概率CR的模糊推理系統(tǒng)的兩個輸入變量分別是當前的迭代階段Iter和種群多樣性Diver。當前的迭代階段Iter如式（10）所示。

其中：N為種群數(shù)量；D為變量維度；Xi，d（t）為迭代t時第i個個體的第d維的值;cd（t）為迭代t時麻雀種群的質心;∑ N/i=1 ∑ D/j=1 （Xi，j-cd（t））2表示的是t次迭代時總體與質心cd（t）的離散度。計算離散度后，經(jīng)過歸一化可表示個體差異程度的高低，當Diver越小，則表示個體差異程度越低，反之則個體差異程度越高。

模糊推理系統(tǒng)的兩個輸入變量Iter和Diver的隸屬度函數(shù)分別如圖3（a）和（b）所示。當前的迭代階段，Iter被三個隸屬度函數(shù)分別劃分為early、medium、late三個階段，分別表示前期、中期、后期。種群多樣性Diver被三個隸屬度函數(shù)分別劃分為low、medium、high三種狀態(tài)，分別表示種群多樣性低、中等、高。輸出放縮因子F與交叉概率CR都被五個隸屬函數(shù)分別劃分為small、small_medium、medium、medium _big、big五個階段，分別表示小、中等偏小、中等、中等偏大、大。同時由文獻［21］可知，放縮因子的理想?yún)^(qū)間應該為0.4～0.95，其中F為0.9時可實現(xiàn)搜索能力與開發(fā)能力的平衡；文獻［22］指出交叉概率CR的取值應為［0.3，0.9］。本文輸出的F與CR采用上述兩個取值范圍。

在模糊推理系統(tǒng)中除了對輸入和輸出進行選擇，還需要進行合理的模糊規(guī)則設計。放縮因子F和交叉概率CR的模糊規(guī)則如表1、2所示。這些模糊規(guī)則基于以下幾點進行設計：a）算法迭代初期需要進行大范圍的搜索，這時不考慮種群多樣性的情況都需要一個較大的放縮因子和較小的交叉概率使差分操作能生成較大范圍內(nèi)的變異向量；b）算法在迭代過程中搜索方式逐漸由大范圍的全局搜索變?yōu)榫植克阉鳎噪S著當前迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)之間的百分數(shù)變大，放縮因子隨之變小而交叉概率隨著變大；c）種群多樣性較低時，算法進入局部搜索，這時需要一個較小的F和一個較大的CR以生成一個小范圍的擾動值；反之則需要較大的F和較小的CR，使生成的擾動解在充分大的范圍中搜索。

設計模糊規(guī)則之后，對模糊輸出去模糊化就可以得到經(jīng)過模糊系統(tǒng)推理輸出的放縮因子F和交叉概率CR，如圖4所示。在對發(fā)現(xiàn)者個體進行差分變異操作差分得到其變異個體后進行適應值對比，并選擇適應值優(yōu)者作為發(fā)現(xiàn)者進行下一輪迭代。

2.3 算法流程

綜上所述，NSSA的偽代碼如下：

輸入：算法最大迭代次數(shù)It；種群規(guī)模N；發(fā)現(xiàn)者規(guī)模PD；警戒者規(guī)模SD；問題維度D；預警值ST。

輸出：全局最優(yōu)位置Xbest以及其適應度值f（Xbest）。

a）初始化種群個體，評估其適應度;

b）for t=1∶ It

c） 對適應度進行排序，適應度優(yōu)的前N×PD個麻雀為發(fā)現(xiàn)者，其余麻雀為跟隨者；

d） for i=1∶ PD

e）按照式（1）更新發(fā)現(xiàn)者位置;

f） end for

g） 按照式（4）（5）計算小生境的半徑R的值;

h） for i=1∶ PD

i）for j=（PD+1）∶ N

j） 計算Xi與Xj的距離L1;

k） if L1＜R

l）Xj加入Xi的物種A;

m） end if

n） end for

o） q=i+1

p） 計算Xi與Xq的距離L2;

q） if L2＜R

r） q++;返回步驟p）;

s）else

t） i=q;

u） end for

v） 使用式（7）對不屬于任何物種的跟隨者進行淘汰

w） 通過式（10）和（12） 計算Iter和Diver，并調用模糊邏輯得到放縮因子F與交叉概率CR;

x） for i=1∶ PD

y）通過式（8）和（9）進行混合差分變異操作，產(chǎn)生變異發(fā)現(xiàn)者子群并擇優(yōu)交換;

z） end for

aa） for i=（PD+1）∶ N

ab）按照式（6）更新跟隨者位置;

ac） end for

ad） for i=1∶ SD

ae）使用式（3）更新偵查者位置;

af）end for

ag）t=t+1;

ah）判斷算法是否達到最大迭代，是則停止搜索，否則進行步驟c）;

ai）end for

2.4 NSSA的時間復雜度分析

原SSA的時間復雜度可以表示為O（T×D×M），其中T為最大迭代次數(shù)、D為問題維度、M為種群規(guī)模。在引入自適應物種形成的小生境策略時需要進行半徑R的計算，設PD為發(fā)現(xiàn)者的占比，則額外增加的時間復雜度為O1（T×D×PD×（M-PD）），物種淘汰機制每次需要淘汰常數(shù)個物種，設每次淘汰的物種為C個，則額外增加的時間復雜度為O2（T×D×C）。在結合模糊邏輯的差分變異操作策略中，首先會通過式（10）（12）計算當前迭代階段的百分比、種群多樣性百分比并調用模糊系統(tǒng)計算放縮因子F與交叉概率CR，最后通過計算出的F與CR生成子代個體。在該步驟中，計算當前迭代階段的百分比時間為一個常數(shù)，可假設為t1，計算種群多樣性百分 比增加的時間復雜度為O3=O（T×M）+O（T×D×M）=O（T×D×M） ，生成子代個體增加的時間復雜度為O4（T×D×PD），因為發(fā)現(xiàn)者的占比PD只占種群規(guī)模M的小部分，該步驟增加的時間復雜度為O5=t1+O3+O4=O（T×D×M）。綜上所述，NSSA的時間復雜度為O6=O（T×D×M）+O1+O2+O5=O（T×D×M）。NSSA的時間復雜度與原SSA相同。

3 算法性能測試與分析

3.1 實驗設計

為保證實驗的嚴謹和公平，所有的仿真實驗均是處于同一實驗環(huán)境：使用MATLAB R2021b作為算法仿真軟件，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 10，硬件配置為AMD Ryzen 5 5500U with Radeon Graphics 2.10 GHz，16.0 GB內(nèi)存。為了驗證NSSA的有效性，本文選取12個CEC2017中有代表性的測試函數(shù)用于測試。將NSSA和其他四個改進麻雀算法，即CSSOA［11］、ISSA［12］、MSSA［13］、SHSSA［14］以及一個改進鯨魚優(yōu)化算法MSWOA［23］，在12個測試函數(shù)上進行測試。其中F1～F4為多峰函數(shù)、F5～F8為混合函數(shù)、F9～F12為復合函數(shù)。測試函數(shù)的名稱與相關參數(shù)如表3所示。

將NSSA與其他五種算法在維度為100維的測試函數(shù)上進行測試， 且獨立運行30次，算法的迭代次數(shù)為500次，所有參與實驗的改進麻雀搜索算法參數(shù)皆被設置為一致：種群規(guī)模為100，發(fā)現(xiàn)者占總種群的20%，警戒者占總種群的10%，預警值ST=0.6。30次運算后根據(jù)每個算法最優(yōu)解的均值（mean）和方差（std）來評估算法的優(yōu)越性和穩(wěn)定性。本文對各個算法的性能進行排名（rank），排名越小表示效果越好。其中排名的標準是先比較同一函數(shù)上獲得的平均值，平均值越小算法的性能越好；在平均值相等時，再比較方差，方差越小表示算法的穩(wěn)定性和性能越好。

3.2 實驗結果分析

表4給出了各算法在100維下的測試數(shù)據(jù)，其中“count”表示的是各算法得第一名的次數(shù)，“ave rank”表示算法的平均排名，“total rank”表示的是對ave rank的排名。從表4可以看出，在100維的測試環(huán)境下，NSSA的改進策略有效，由兩種改進策略的引導，NSSA在高維的測試函數(shù)中有著更好的表現(xiàn)。結果表明NSSA在12個測試函數(shù)上均獲得了第一，同時在total rank總排名中也取得第一名的好成績， 說 明NSSA相比于其他 改進算法有更好的解決高維問題的能力。同時，NSSA在多峰函數(shù)F1～F4中均有很大的提升，分別比排名第二的算法提升了82.8%、12.6%、0.58%、10.1%。這表明NSSA相比于其他的改進SSA，在處理有著多個局部最優(yōu)點的高維多峰函數(shù)上具有更好的性能。算法在std方差上取得的成績代表了算法在處理復雜問題上的魯棒性，在std的對比中，NSSA僅在F8上次于MSWOA、CSSOA、ISSA排名第四，在F9上次于MSWOA、SHSSA排名第三，在其余的10個測試函數(shù)上均比其他算法更具有優(yōu)勢，這表示在引入改進策略后，NSSA在處理復雜問題上比其余的改進SSA具有更好的魯棒性。綜上所述，在高維的情況下，NSSA相對于對比算法有著更好的收斂精度和魯棒性。

3.3 算法收斂曲線對比分析

為了直觀觀察NSSA與其他改進SSA尋優(yōu)能力的優(yōu)劣，圖5列出了六種算法對上述12個測試函數(shù)在維度為100時的收斂曲線對比圖。從收斂圖可以看出，在12個函數(shù)中，NSSA在全部的測試函數(shù)中都有更好的收斂精度，其中在F5、F12中分別比第二名的算法高了兩個量級與一個量級。從圖5的大部分收斂圖可以看出，NSSA有著更快的收斂速度，其中在F1、F4、F7、F10等函數(shù)中，在算法迭代前期就已經(jīng)迅速搜尋到全局最優(yōu)附近，這說明基于發(fā)現(xiàn)者相似性形成自適應物種形成的小生境策略在保持種群多樣性上的有效性，使NSSA在收斂速度上有著良好的表現(xiàn)。NSSA跳出局部最優(yōu)的能力也在收斂曲線上體現(xiàn)，例如在F5中，當算法迭代搜索到50代左右，只有MSSA、SHSSA、NSSA三個算法繼續(xù)向前搜索，剩余的三個算法都已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，在這三個能繼續(xù)向前搜索的算法中，NSSA收斂的速度最快、精度最高，這表明結合模糊邏輯的差分變異操作能夠有效地對發(fā)現(xiàn)者個體進行擾動，令NSSA具備在防止陷入局部最優(yōu)方面有著更強的能力。以上表明，NSSA 在多策略的作用下，在提高種群多樣性，防止陷入局部最優(yōu)等策略的改進中，加快了收斂速度，并提高了尋優(yōu)精度。

3.4 算法箱線圖對比分析

圖6包括了NSSA與各對比算法對上述12個測試函數(shù)在維度為100時獨立執(zhí)行30次條件下獲取最優(yōu)解的箱線圖。在箱線圖中，箱體的高度代表了算法最優(yōu)值的波動情況，箱體底部表示著算法的最優(yōu)值。F1、F5、F6、F10與F12等函數(shù)中的NSSA箱體較窄，說明NSSA在這幾個測試函數(shù)中的所有最優(yōu)值波動情 況小，即算法收斂速度較快，導致每一代的最優(yōu)解之間跨度較小。而其他改進算法的箱體較寬，代表算法從開始搜索到迭代結束獲取的所有解變化大，魯棒性比NSSA算法低。同時也可以明顯看出，NSSA的F1、F5、F6、F10、F12等函數(shù)中箱體的下限比其他算法更低，也就代表它的搜索精度更高。以上表明了由于兩種策略的協(xié)助有利于增強NSSA的求解精度與穩(wěn)定性。

3.5 完整性消融實驗

為體現(xiàn)本文各策略的有效性，對NSSA中的策略進行完整性消融實驗。設SSA中只融入小生境策略的算法為NSSA1、只融入小生境策略與差分進化策略的算法為NSSA2，即NSSA2中F與CR為固定值、在NSSA2的基礎上加上模糊推理系統(tǒng)的 算法為NSSA3。本文將標準SSA、NSSA1、NSSA2、NSSA3與NSSA一起進行函數(shù)測試。這些測試是基于表3中的測試函數(shù)進行的，參與測試的所有算法在維度為30維的測試函數(shù)上進行，且獨立運行10次，算法的迭代次數(shù)為500次，其余算法參數(shù)與3.1節(jié)中的設置相同。表5展示了不同改進策略的收斂精度情況。

從表5可以看出，只融入小生境策略對的NSSA1在12個函數(shù)上都優(yōu)于SSA，同時只融入小生境策略與差分進化策略的NSSA2在12個函數(shù)上也都優(yōu)于SSA。對比NSSA2與NSSA3可以看出，加上模糊推理系統(tǒng)可以使得算法獲得更優(yōu)的解，這說明使用模糊推理系統(tǒng)能夠在迭代的各個階段都生成符合要求的變異向量，進一步增強差分變異的效果。這證明了每個策略在SSA上都是有效的。最后對于融合改進策略的NSSA，其收斂精度高于參與測試的任何算法，這表明所有改進策略都是相輔相成且穩(wěn)定有效的，它們能夠提升NSSA的綜合求解能力。

3.6 Friedman檢驗

本次還對記錄的六種算法運行30次得到的平均值采用Friedman檢驗［24］，結果如表6所示。表中的P－value表示漸進顯著性。P－value是判斷算法之間是否存在顯著性差異的重要指標，若該值小于0.01，則表示各項數(shù)據(jù)之間存在顯著性差異。其他的值為各個算法在不同維度中的秩平均值。從表6可以看出，對于30維、50維、100維，NSSA的P－value分別為1.069 9E-7、1.09E-08、2.39E-09，都遠遠小于0.01，表明NSSA和其他改進算法之間存在明顯的差異。在三種不同維度中，NSSA的秩的平均值都是最小的，再次證明NSSA的性能最優(yōu)?？傮w上，NSSA的優(yōu)化能力在統(tǒng)計學意義上相較于其他改進算法有較大的提升。

4 工程設計問題

為了進一步驗證NSSA解決實際問題的能力，將NSSA應用于壓力容器設計這個經(jīng)典的工程設計問題。利用NSSA與標準SSA［6］、CSSOA［11］、ISSA［12］、MSSA［13］、SHSSA［14］、MSWOA［23］，對每個問題獨立運行30次，并進行優(yōu)化結果比較。參與實驗的算法的迭代次數(shù)為500次，種群規(guī)模為50，其中改進麻雀算法的發(fā)現(xiàn)者占總種群的20%，警戒者占總種群的10%，預警值ST=0.6。

在壓力容器設計問題中，有四個設計變量，分別為容器厚度Ts、封頭厚度Th、內(nèi)半徑R、長度L，如圖7所示。

壓力容器的設計是基于四個參數(shù)（x1、x2、x3和x4）和四個約束（g1、g2、g3和g4）來最小化容器的制造成本。實驗中采用罰函數(shù)法處理有約束的壓力容器設計問題，若計算出的參數(shù)滿足約束條件則計算適應度值，否則將適應度值記為無窮大。壓力容器的數(shù)學模型如式（13）所示。

前文的仿真實驗已經(jīng)驗證了NSSA在無約束的測試函數(shù)上有著良好的表現(xiàn)。壓力容器設計問題作為經(jīng)典的約束問題，可證明NSSA在解決帶約束問題也具有優(yōu)越性。表7列出了NSSA和其他六種算法在求解壓力容器設計問題的實驗結果。

從表7可知，NSSA在Ts=1.346 6、Th=0.651 4、R=67.457 9、L=10.000 0處求得最優(yōu)解8 252優(yōu)于其他六種算法。說明NSSA在求解壓力容器設計問題時，能夠求得最低成本，適合該類有約束的工程設計問題的求解，相較于其他算法擁有更加優(yōu)越的性能。綜上所述，NSSA在無約束和帶約束問題上都有很好的表現(xiàn)，能適用于求解數(shù)學問題，也能適用于現(xiàn)實世界問題。

5 結束語

針對SSA容易陷入局部最優(yōu)等問題，本文提出一種融合小生境的麻雀搜索算法NSSA。首先，使用自適應物種形成的小生境技術將麻雀種群分成若干個小種群，提出一種新型跟隨者飛行方式，使得各個物種在各自的搜索域中同步搜索，同時提出一種物種淘汰機制，小生境技術可以避免麻雀種群多樣性的減少；其次，引入結合模糊邏輯的差分變異操作，使用物種中跟隨者麻雀的位置信息在不同的迭代時期與不同的種群多樣性的情況下，靈活地對麻雀發(fā)現(xiàn)者進行變異操作，降低算法陷入局部最優(yōu)的可能性?；?2個CEC2017測試函數(shù)的實驗結果表明，相比參與測試的其他五個改進SSA，NSSA可以獲取最優(yōu)的性能。最后將NSSA應用于壓力容器設計實驗，結果表明NSSA能夠得到最低成本。未來計劃對NSSA進行進一步的改進，并將其應用于解決多目標問題。

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收稿日期：2023－08－23；修回日期：2023－10－07基金項目：國家自然科學基金資助項目（61563019，615620237）;江西理工大學校級基金資助項目（205200100013）

作者簡介：李大海（1975—），男，山東乳山人，副教授，碩導，博士，CCF會員，主要研究方向為智能優(yōu)化算法、強化學習算法及應用等；李鑫（1996—），男（通信作者），江西贛州人，碩士研究生，主要研究方向為智能優(yōu)化算法（1270533160@qq.com）；王振東（1982—），男，湖北人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡、智能優(yōu)化算法等．