一道課本例題變式探究教學(xué)之芻議

熊燕

一、原題再現(xiàn)

例題 （人教版教材八年級(jí)上冊(cè)P83第12題或九年級(jí)上冊(cè)P63第10題）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證：BE=CD.

分析：欲證BE=DE，可聯(lián)想到△ADC與△ABE全等.對(duì)于△ADC≌△ABE的證明，可從兩個(gè)角度分析：（1）從動(dòng)態(tài)的角度來觀察，把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B與點(diǎn)D，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得到△ADC，所以△ADC≌△ABE.

（2）從靜態(tài)的角度來分析，由題目“△ABD，△AEC都是等邊三角形”的條件中可得到AD=AB，AC=∠BAE，且∠DAB=∠CAE=60°，再從∠DAB=∠CAE=60°這一條件進(jìn)一步加工得出條件“∠DAC=∠BAE”，從而得到△ADC與△ABE全等（邊角邊）.

點(diǎn)評(píng)：通過這樣動(dòng)與靜兩個(gè)角度的分析引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力及幾何直觀能力，再把解題過程按條理順序?qū)懗?，提高了學(xué)生的邏輯思維推理能力，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

追問1：如圖2，設(shè)CD與BE相交于點(diǎn)O，AB與CD相交于點(diǎn)M，AC與BE相交于點(diǎn)N.求∠BOD，∠DOE的度數(shù).

分析：由原題的求證可得△ADC≌△ABE，則∠ADC=∠ABE，在線段AB與OD形成的“8”字型圖形中，可得到∠DAB=∠BOD=60°，則∠DOE=120°；也可由∠DOE=∠BDO+∠DBO，從三角形全等得到角相等，即∠ADC=∠ABE，又∠BDO=60°-∠ADC，∠DBO=60°+∠ABE通過等量代換，進(jìn)而得到∠DOE=120°.

點(diǎn)評(píng)：前者的解法建立在模型的基礎(chǔ)上，后者的解法建立在等量代換基礎(chǔ)上.

追問2：如圖3，連接AO，其他條件不變.求證：AO平分∠DOE.

分析：要證明AO平分∠DOE，可聯(lián)想到角平分線的逆定理——到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，因此，過點(diǎn)A分別作AG⊥CD，AH⊥BE，垂足分別是點(diǎn)G和點(diǎn)H.可通過再證明△ADG≌△ABH（或△AGC≌△AHE），得到AG=AH，從而證明AO平分∠DOE.當(dāng)然，還可以由△ADC≌ABE，得到S_△ADC≌S△AHE，且CD=BE，則AG=AH.

點(diǎn)評(píng)：不僅能通過證明三角形全等來證明AG=AH，還能通過等面積法來證明，讓學(xué)生感受到面積法的美妙，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

追問3：如圖3，其他條件不變，求∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠AOC，∠BOC的度數(shù).

分析：綜合上述追問1和追問2的相關(guān)結(jié)論，很自然地求得∠AOD=∠AOE=60°，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.

點(diǎn)評(píng)：通對(duì)課本教材原題不懈地追問思考，得到許多結(jié)論；同時(shí)，對(duì)于追問1、追問2的多解思考，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、變式探究

變式1 已知△ABC中，每一個(gè)內(nèi)角都小于120°，在△ABC內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)O，使∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.請(qǐng)畫圖找出點(diǎn)O，并證明.

分析：如圖3，分別以AB，AC邊為邊向外作等邊三角形△ABD，△AEC，連接CD，BE，則相交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)O.此題的證明不難，實(shí)際上就是原題與追問3結(jié)論的應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：從逆向思考的角度，對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用的變式.通對(duì)這樣的變式，對(duì)原題與追問的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的理解并應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).同時(shí)，該變式也可進(jìn)一步拓展應(yīng)用，點(diǎn)就是的費(fèi)馬點(diǎn)，這對(duì)學(xué)生后續(xù)進(jìn)入高中學(xué)習(xí)平面向量知識(shí)奠定了基礎(chǔ)，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

變式2 如圖4，以△ABC的三邊為邊在BC邊的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD，△AEC，△BCF.請(qǐng)回答下列問題：

（1）判斷四邊形ADFE是什么四邊形？

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是菱形、矩形、正方形？

（3） 當(dāng)滿足什么條件時(shí)，以A，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形不存在？

分析：（1）要證四邊形ADFE是平行四邊形，可通過兩組對(duì)邊分別相等來證明.

（2）當(dāng)△ABC中的AB=AC時(shí)，則AD=AE，平行四邊形ADFE是菱形.

當(dāng)△ABC中的∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形ADFE是矩形.因?yàn)椤螪AB=∠EAC=60°，∠BAC=150°，所以∠EAD=90°，所以平行四邊形ADFE是矩形.由上述條件可得，當(dāng)△ABC中的AB=AC，∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形ADFE是正方形；即同時(shí)滿足是菱形與矩形的條件，則平行四邊形ADFE是正方形.

（3）當(dāng)△ABC中的∠BAC=60°時(shí)，以A，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形不存在.因?yàn)椤螩AB=∠BAD=∠EAC=60°，所以∠EAD=180°，此時(shí)A，D，E三點(diǎn)共線，四邊形不存在.（也可用幾何畫板拖動(dòng)點(diǎn)來驗(yàn)證.）

點(diǎn)評(píng)：從原題的角度進(jìn)行拓展變式，即再以邊向外作一個(gè)等邊，從而產(chǎn)生出新的四邊形，得出多個(gè)相關(guān)結(jié)論.通過這樣的變式拓展，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力.

變式3 （人教版教材九年級(jí)上冊(cè)P76第5題）如圖5，△ABC和△ECD都是等邊三角形，△EBC可以看作是△DAC經(jīng)過平移、軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)得到.說明得到△EBC的過程.

分析：△EBC可以看作是△DAC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的.

追問1：如圖6，設(shè)AD與EB相交于點(diǎn)O，AC與BE相交于點(diǎn)M，AD與CE相交于點(diǎn)N.求∠ACE，∠BOD的度數(shù).

分析：可類比前面原題的追問1，根據(jù)△ABC和△ECD都是等邊三角形，所以∠ACB=∠ECD=60°，∠ACE=60°，由三角形全等或旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠CAD=∠CBE，在線段AC與OB形成的“8”字型圖形中，可得到∠AOB=∠ACB=60°，則∠BOD=120°；也可由∠BOD=∠BAO+∠ABO，從三角形全等或旋轉(zhuǎn)得到角相等，即∠CAD=∠CBE，又∠BAO=60°+∠CAD，∠ABO=60°-∠CBE，通過等量代換，進(jìn)而得到∠BOD=120°.

追問2：如圖7，連接CO，其他條件不變.求證：CO平分∠BOD.

分析：可以類比前面原題的追問2，過點(diǎn)A分別作CG⊥AC，CH⊥CE，垂足分別是點(diǎn)G和點(diǎn)H.可通過再證明△BCG≌△ACH（△ECG≌△DCH或）得CG=CH，從而證明CO平分∠BOD.當(dāng)然，也可以由△ACD≌△BCE得S_△ACD=S_△BCE，且AD=BE，則CG=CH.

追問3：如圖8，若BD=10cm，點(diǎn)C是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以線段BC，CD邊向上作等邊三角形△ABC與△CDE，連接AE，點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度是多少？

分析：如圖9所示，延長(zhǎng)BA和DE相交于點(diǎn)G，可證△BDG是等邊三角形，四邊形ACEG是平行四邊形，連接CG，由AF=FE可得點(diǎn)F是線段CG的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是△BDG的中位線，長(zhǎng)度是12BC=5cm.

另解：過點(diǎn)F作交FH∥BD交AB，AC，DG分別于點(diǎn)H，I，J，可證△AHI是等邊三角形，四邊形CIJD是平行四邊形，設(shè)AB=a，由AF=FE可證△AFI≌△EFI，AI=EJ，設(shè)AB=a，AI=EJ=x，則DE=CD=IJ=10-a，CI=DJ=DE+EJ=10-a+x，所以AC=AI+CI=a，從而x=a-5，所以FH+FJ=HI+IJ=AI+CD=a-5+10-a=5.點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度是5cm.

點(diǎn)評(píng)：從特殊化的角度進(jìn)行變式，追問1和追問2類比于原題的追問1和追問2，追問3拓展到動(dòng)點(diǎn)問題.上述三道變式背景均來自對(duì)原題的再思考，通過這樣的變式拓展，可培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新能力，在學(xué)生理解的情況下，注重變式思考的方向與模式，同時(shí)對(duì)其他題目的再思考起到借鑒作用.

三、題后反思

教材中的習(xí)題是解題的素材，要深入理解教材中習(xí)題，并引導(dǎo)學(xué)生深入分析，之后再進(jìn)行解題的反思與歸納，從而提升學(xué)生的歸納能力.如：原題證明線段相等之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行線段相等的證明方法的歸納.線段相等的證明方法總體可分為兩種方法：第一，代數(shù)法，通過代數(shù)的計(jì)算，求出兩線段的長(zhǎng)度一樣而相等（用勾股定理等），如原題的追問2中，通過面積相等從而求得線段相等；第二，幾何法，通過幾何證明得到線段相等，主要有三種方法：通過證明兩個(gè)三角形全等，從而得到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，如原題的證明；通過等角對(duì)等邊證明；特殊圖形中的特殊線段相等，如平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分等知識(shí).

習(xí)題變式探究教學(xué)是促進(jìn)有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑，通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)學(xué)概念、定理、公式等）從不同角度、不同層次、不同背景進(jìn)行合理的變式探究，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，將特殊問題一般化，使零散知識(shí)規(guī)律化，改善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高識(shí)別、應(yīng)變、概括能力，達(dá)到學(xué)生能“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題”的目的，從而提高應(yīng)用創(chuàng)新能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).