“指對混搭函數(shù)不等式的證明”教學設(shè)計與思考

盧珍　李紅春

1.問題提出

函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問題是高考的熱點和難點，不少高三教師面對這塊內(nèi)容的復(fù)習常常老生常談，缺乏自己深入的見解，課后再輔以“題海戰(zhàn)術(shù)”，展現(xiàn)的是大題量，快節(jié)奏，機械重復(fù)的教學形態(tài)，因此學生對所學的內(nèi)容興趣不高，解題停留于模仿，對問題的本源不明，解題無序，推論無理．為了提升教師的思想認識，不斷優(yōu)化教學行為，前不久，筆者執(zhí)教了一節(jié)題為《指對混搭函數(shù)不等式的證明》的展示課，獲得了聽課老師的充分好評.本文將這節(jié)課的教學設(shè)計和教學思考呈現(xiàn)出來，供分享．

2.教學設(shè)計展示

2.1 教學目標

（1）能從“階”的角度分析分式型函數(shù)的極值；

（2）體會“分而治之”法解決問題的要領(lǐng)，并能用它證明一些常見指對混搭函數(shù)不等式；

（3）更加深刻體會到數(shù)學學習中“重視基礎(chǔ)，回歸基本”的價值.

2.2 教學重難點

教學重點：用“分而治之”法證明指對混搭函數(shù)不等式.

教學難點：靈活對函數(shù)不等式進行變形.

2.3 教學過程

本節(jié)課為借班授課，授課班級為某省級示范學校學生，學生基礎(chǔ)較好，課前老師已將如下問題1讓學生提前進行了思考.

問題1 （2020年山東卷改編）求證2e^x－1－lnx>1+ln2.

（1）問題鋪墊

課堂開始，教師巡查課堂，找到了三種不同的解法，并讓學生代表用投影儀展示出來.

設(shè)計意圖：分而治之法解題的重點不在計算，而在于學生動筆時，能準確判斷如何將函數(shù)式分開，以及不等式兩邊變形的度.問題5對學生的考查力求“好鋼用在刀刃上”.問題6是高考壓軸題，讓學生在課堂有限時間完成，難度頗大，設(shè)計為“閱讀與反思”，更接地氣.高考試題具有導(dǎo)向性，學習考試中心給出的參考答案就是在和命題專家直接對話，領(lǐng)悟試題解法背后的意圖，對于學生改進學習方法很有意義.

（5）數(shù)學創(chuàng)新

問題7 結(jié)合本節(jié)課學習的內(nèi)容，立足函數(shù)的階，從函數(shù)最值的角度出發(fā)，能否命制一道“指對混搭函數(shù)不等式”的證明題，并和大家分享你的命題思路.

設(shè)計意圖：這一課堂環(huán)節(jié)的設(shè)置具有開放性，旨在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，借助從解題到命題的引導(dǎo)，將學生的思維引向深入，讓學生不但會做別人命的題，更要善于自己提出問題.

（6）課堂小結(jié)及課后鞏固（略）

3 教學反思

圍繞這節(jié)課的教學設(shè)計，結(jié)合評委的意見，筆者覺得有如下幾個亮點可供探討.

3.1 適當鋪墊，展現(xiàn)數(shù)學課堂教學的智慧

裴光亞老師曾經(jīng)說過：教學藝術(shù)的基本特征是錯位，為了抵達目標而偏離目標，其實不是偏離，而是營造目標賴以生存的環(huán)境，越是重要的東西，越是要隱藏起來，隱藏是為了展現(xiàn)誘惑^［1］.當學生們?yōu)檎n前給出的問題能“一題多解”，自我感覺良好時，老師接下來拋出的問題變式讓他們一籌莫展，進退兩難，在這樣的情緒背景下，學生學習新方法的熱情自然高漲.

3.2 用心設(shè)計，著力提升問題的針對性

問題是數(shù)學的心臟，本節(jié)課的難點在于引導(dǎo)學生對待證式進行合理變形，問題5設(shè)計為讓學生觀察待證不等式用“分而治之法”該如何去變形，重點考查學生變形方向的選擇，顯得獨具匠心，如果設(shè)計為一般的證明題，求導(dǎo)計算的繁瑣必將沖淡主題.問題7的設(shè)置具有相當?shù)拈_放性，直接指向考查學生的創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學生去探究和發(fā)現(xiàn).

3.3 優(yōu)化學法，于潤物細無聲處指導(dǎo)

“授人以魚不如授人以漁”，教師在傳授學生知識的同時，更要教給學生科學的學習方法.正如同教材，既蘊含了豐富的數(shù)學知識，更體現(xiàn)了研究問題的方法.我們一直強調(diào)學習要重視基礎(chǔ)，回歸基本，這就需要從復(fù)雜的情境中看到基本元素，從幾何中看到基本圖形，從代數(shù)中看到基本公式，從三角中看到基本變換，從統(tǒng)計中看到基本模型.如何做到這點，空洞的說教都不如讓學生自己去體會.學生研讀了問題6的參考答案，發(fā)現(xiàn)作為高考的壓軸難題，卻根基于這些學生耳熟能詳?shù)摹盎竞瘮?shù)”，倘若自己對這些“基本函數(shù)”的特征性質(zhì)掌握得足夠熟練，自然不會盲目變形.它帶給學生的啟示是：即使面對高考，夯實基礎(chǔ)，回歸基本絕不過時.

3.4 以身示范，教師樹立了很好的榜樣

《課程標準》中提出：要在數(shù)學教學中著力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力^［2］，優(yōu)秀的教師是用教材而不是教教材.特別是高三復(fù)習階段，教師要善于對知識進行整合與重構(gòu)，對一些內(nèi)容要有自己的獨到見解.創(chuàng)新精神從何而來？教師首先要以身示范，成為學生心中樂于鉆研問題的榜樣；其次要留足時空，讓學生放手去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.“分而治之”法求解指對混搭函數(shù)不等式的證明問題，平常解題中并不多見后，課堂上教師敢于選擇這節(jié)內(nèi)容來教學，源于教師的不斷學習與鉆研.在問題7的命題環(huán)節(jié)，更是留足時空，讓學生將思維從課內(nèi)引向課外，不斷去探索和發(fā)現(xiàn).

參考文獻

［1］裴光亞，教學藝術(shù)的基本特征是錯位［J］.中學數(shù)學教學參考，2016（25）：1

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.