數(shù)學(xué)課代表也有“周期性問題”

3月5日? ?星期二? ?天氣：晴

這一周，我們班真是“怪事”連連。陸小豆當(dāng)上了數(shù)學(xué)課代表，趙依茗又提議“六一”出去郊游。我一直認(rèn)為學(xué)霸的假期只屬于圖書館或書店或宅家刷題，我班的這個(gè)滿分公主可絕對(duì)不是尋常的學(xué)霸，她是一位玩著玩著就學(xué)會(huì)了的標(biāo)準(zhǔn)學(xué)霸。我還一直認(rèn)為課代表都是那些學(xué)習(xí)超好的人才能被老師選中，結(jié)果我班這倆“學(xué)霸”都讓我李嘉陽大跌眼鏡，長(zhǎng)了見識(shí)。要說陸小豆的成功來自那個(gè)像貓一樣的小精靈的幫助，那趙依茗呢？所以，我總結(jié)，學(xué)霸終究還是學(xué)霸！

李嘉陽

到底哪天放假

這天課間休息的時(shí)候，大家三三兩兩地聊起了假期去了哪里玩，雖然對(duì)到底哪里好玩并沒有論出個(gè)高低，但最終都有一個(gè)共識(shí)：假期太短了，還沒放夠。

趙依茗看快上課了，于是說道：“別討論了，之后不是還有很多假期，我看等‘六一，咱們班同學(xué)一起出去玩一次怎么樣？”

大班長(zhǎng)的提議馬上得到了附和，大家都開始期待了起來。

“不知道‘六一那天是星期幾，要是正好連著周末，那就可以玩三天。”忽然有人問道。

“誰帶日歷了？手機(jī)查一下也行?！?/p>

“沒有日歷，學(xué)校也不讓帶手機(jī)啊?！?/p>

“唉……”

“今天是2024年3月5號(hào)，誰來算一下得了?！?/p>

“讓陸小豆算，他是數(shù)學(xué)課代表，肯定能馬上算出來。”

聽到有人喊自己，陸小豆迷迷糊糊地站了起來，“這個(gè)……我看還是看日歷方便些，一天一天數(shù)最準(zhǔn)了?！?/p>

“切，就這……”

陸小豆的一番言論，頓時(shí)遭到了大家的鄙視，還好上課鈴正好響了……

未來世界的管理危機(jī)

放學(xué)回到家后，陸小豆看起來心事重重，飯都沒吃好就回到了自己的房間。

學(xué)霸精靈忽然跳出來：“怎么了？跟霜打的茄子似的?！?/p>

“唉，別提了，丟人了，這數(shù)學(xué)課代表看來當(dāng)不長(zhǎng)了?！庇谑顷懶《咕桶呀裉斓氖虑楦嬖V了學(xué)霸精靈。

學(xué)霸精靈聽完一蹦三尺高：“怎么不早說，周期性問題你都搞不懂，這下糟糕了，等我和未來聯(lián)絡(luò)一下再來罵你！”

學(xué)霸精靈的眼睛開始閃過一行行的數(shù)據(jù)，沒多大一會(huì)兒，它就氣哼哼地說道：“完了完了，全都亂套了，整個(gè)管理系統(tǒng)都亂了。醫(yī)院的自動(dòng)開藥程序胡亂地給病人開藥，本來一周吃完的藥一天就都給病人吃了；電力供應(yīng)嚴(yán)重不穩(wěn)定，電壓時(shí)高時(shí)低；通訊也總是斷斷續(xù)續(xù)。太糟糕了！”

陸小豆：“啊？這都是什么情況 ？難道又是我的錯(cuò)？”

“你說得太對(duì)了！你知道周期性問題有多重要嗎？”

“不就是算算星期幾嗎？”

“那當(dāng)然是最基礎(chǔ)的，但如果基礎(chǔ)都沒掌握，自然更高深也不會(huì)搞明白。你看我瞬間就能算出2024年的‘六一是星期六?！?/p>

“你是電腦，當(dāng)然……”

“別說了，馬上給我變身！”

變身之后，陸小豆一下子想到了很多。

“3月份有31天，31-5=26（天），因此再過26天就是3月31日。在此基礎(chǔ)上再過30天正好就是4月30日，然后再過31天就是5月31日。此時(shí)已過了26+30+31=87（天），再過1天就是6月1日了，因此還要再過88天?！?/p>

“一周7天是一個(gè)周期，88÷7=12……4，今天是星期五，過了12個(gè)完整的周期，再往后推4天，六一是星期六。”

若一組事件或現(xiàn)象按同樣的順序重復(fù)出現(xiàn)，則把完成這一組事件或現(xiàn)象的時(shí)間或空間間隔，稱為周期。解決有關(guān)周期性問題的關(guān)鍵是確定循環(huán)周期。

介紹三種確定周期的方法：

（1）觀察找周期：規(guī)律比較明顯，可以通過觀察直接發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如數(shù)字排列規(guī)律；

（2）計(jì)算找周期：規(guī)律比較隱蔽，需要通過分析比較、計(jì)算才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如計(jì)算多個(gè)相同數(shù)字相乘，積的個(gè)位數(shù)字是多少；

（3）根據(jù)生活常識(shí)找周期：有些周期，我們可以根據(jù)生活常識(shí)來確定，如判斷某天是星期幾。

難度：

在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的開幕式上，46名同學(xué)組成儀仗隊(duì)站成一排。如圖所示，每人手里都舉著一面彩旗，從左到右顏色依次是紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色依次循環(huán)。問：最右側(cè)的同學(xué)手里舉的彩旗是什么顏色的？

答案：黃色

解答：由題中條件可知，紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色為一個(gè)周期。

46÷4=11……2，商11代表一共有11個(gè)完整的周期，而余數(shù)2代表最后余下2個(gè)。

所以第46個(gè)人旗幟的顏色是一個(gè)周期（紅、黃、藍(lán)、綠）中的第二個(gè)—黃色。

難度：

（1）工廠的倉(cāng)庫里有80噸貨物，這些貨物都由同一輛卡車負(fù)責(zé)運(yùn)輸。第一天往倉(cāng)庫里運(yùn)進(jìn)了50噸，第二天運(yùn)出了60噸，第三天又運(yùn)進(jìn)了50噸，第四天再運(yùn)出60噸……如此不停地運(yùn)下去。第幾天的時(shí)候，倉(cāng)庫里的貨物恰好被運(yùn)完？

（2）工廠的倉(cāng)庫里有80噸貨物，同樣是由一輛卡車負(fù)責(zé)貨物的運(yùn)輸。第一天，從倉(cāng)庫里運(yùn)出了60噸，第二天再運(yùn)進(jìn)50噸，第三天又運(yùn)出了60噸，第四天再運(yùn)進(jìn)50噸……如此不停地運(yùn)下去。第幾天的時(shí)候，倉(cāng)庫里的貨物恰好被運(yùn)完？

答案：（1）第16天；（2）第5天

解答：（1）第一天運(yùn)進(jìn)50噸，第二天運(yùn)出60噸，相當(dāng)于2天一共運(yùn)出60—50=10（噸）；以后不停地循環(huán)下去，也就是以2天為一個(gè)周期，每個(gè)周期向外運(yùn)10噸貨物。

由于80÷10=8，因此要把倉(cāng)庫清空需要運(yùn)8個(gè)周期，即2×8=16（天）。

（2）方法一：由題意，得最后一天必為運(yùn)出60噸貨物，以2天為一個(gè)周期，每個(gè)周期運(yùn)出貨物60-50=10（噸）。

要使倉(cāng)庫中剩下60噸貨物，需要運(yùn)（80-60）÷10=2（個(gè)）周期，即2×2=4（天）。

運(yùn)完剩下的貨物還需1天，所以一共需要4+1= 5（天）。

方法二：以第2天為周期起點(diǎn)，把第2天與第3天看作一個(gè)周期，第4天與第5天看作一個(gè)周期，依此類推。那么在第1天后，倉(cāng)庫中還剩下80-60=20（噸）貨物。每個(gè)周期有2天，共運(yùn)出10噸，因此還需要運(yùn)2個(gè)周期，一共需要1+2×2=5（天）。

難度：

一只蝸牛從深30米的井底向上爬，第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再向上爬6米；第四天又向下滑了4米……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，蝸牛第幾天才能爬到井口？

難度：

爸爸比媽媽大5歲，而且兩人生日相同。如果爸爸是1982年6月17日星期四出生的，那么媽媽是在星期幾出生的？媽媽出生后第一次在星期二過生日的時(shí)候是哪一年？

答案：第25天

方法一：蝸牛要爬出井，一定是在某一天向上爬時(shí)爬出井的。蝸牛在這一天最多爬6米，那么在之前的時(shí)間內(nèi)，蝸牛一共至少爬了24米。

這只蝸牛爬一天休息一天，第一天向上爬6米，第二天滑下來4米，所以這2天實(shí)際上只向上爬了2米。把2天看作一個(gè)周期，那么要爬24米需要24÷2=12（個(gè)）完整的周期。

因此蝸牛要爬出井一共需要2×12+1=25（天）。

方法二：我們選取第二天作為周期的起點(diǎn)，以“下滑4米，上爬6米”為一個(gè)周期。

第一天上爬6米，剩下24米，那么還需要24÷2=12（個(gè)）周期。

每個(gè)周期2天，則一共24天，再加上第一天，所以一共25天。

答案：星期三；1997年

解答：（1）由于從1982年6月17日到1987年6月17日，只經(jīng)歷了一個(gè)2月29日，即1984年2月29日，因此只有1個(gè)閏年，其余4個(gè)都是平年。由此可得總天數(shù)是：365×4+366=1826（天）。

1826÷7=260……6，也就是這段時(shí)間包含了 260周多6天。

從星期四開始，再過6天是星期三，因此1987年6月17日是星期三。

（2）1987年6月17日星期三媽媽出生，再過1年是1988年6月17日，由于這1年包含了1988年的2 月29日（閏年），一共366天，366÷7=52……2，則1988年6月17日是星期五；再過1年應(yīng)該是一個(gè)平年，一共365天，365÷7=52……1，則1989年6月17日是星期六；用類似的方法分析，可知1990年6月17日是星期日，1991年6月17日是星期一，1992年6月17日是星期三，1993年6月17日是星期四，1994年6月17日是星期五，1995年6月17日是星期六，1996年6月17日是星期一，1997年6月17日是星期二。

因此1997年媽媽第一次在星期二過生日。

如圖，在A、B兩地之間有7個(gè)車站，一輛列車不停地往返于A、B兩地之間。它從A出發(fā)，每天行駛到下一站，到達(dá)B地后的下一天又回到7號(hào)站，如此反復(fù)。已知列車第4次駛?cè)?號(hào)站時(shí)是星期六，那么它第20次駛?cè)?號(hào)站時(shí)是星期幾？

答案：星期日

解答：A→1→2→3→4→5→6→7→B→7→6→5→4→3→2→1→A→1→2→3→4→……

容易看出，列車從A地到達(dá)B地需要8天，再返回A地又需要8天，然后再出發(fā)去往B地。

因此，列車往返運(yùn)行的周期是16天。

發(fā)現(xiàn)列車第4次是從右往左駛?cè)?號(hào)站的。同理，列車第6，8，10，12，14，16，18，20次到達(dá)4號(hào)站，都是從右往左駛?cè)氲?。把列車從右往左駛?cè)?號(hào)站看作每個(gè)周期的開始，因此第20次駛?cè)?號(hào)站時(shí)，正好是在第4次駛?cè)?號(hào)站的8個(gè)周期之后，即16×8=128（天）之后。

很明顯，列車從右往左行駛時(shí)，在到達(dá)4號(hào)站的前一天到達(dá)5號(hào)站，因此從第4次駛?cè)?號(hào)站往后數(shù)128—1=127（天），就是第20次駛?cè)?號(hào)站的日期。

127÷7=18……1，而列車第4次駛?cè)?號(hào)站是星期六，因此第20次駛?cè)?號(hào)站是星期日。