項(xiàng)目式學(xué)習(xí)在初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的應(yīng)用

吳香秀

習(xí)近平總書記在中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)開幕會(huì)上強(qiáng)調(diào)：“全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，聚天下英才而用之！ ”以數(shù)學(xué)史為例，為學(xué)科帶來(lái)翻天覆地變化的數(shù)學(xué)家屈指可數(shù)．我們必須找到下一代人中那極少數(shù)的頂尖人才，從小培養(yǎng)他們，才有可能解決高精尖領(lǐng)域“卡脖子”的問(wèn)題、推動(dòng)中國(guó)科學(xué)大跨步發(fā)展．

由此可見，人才的培養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)頂尖人才的培養(yǎng)對(duì)國(guó)家，世界的進(jìn)步是至關(guān)重要的．那作為中學(xué)數(shù)學(xué)老師該怎么培養(yǎng)數(shù)學(xué)頂尖人才呢？我想在初中數(shù)學(xué)課堂中開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是一個(gè)很有效的措施．通過(guò)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方式，學(xué)生能夠在挑戰(zhàn)性問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，自主設(shè)計(jì)解決他們真正關(guān)心的現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題．在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行資源查找、歸納整合、獨(dú)立思考、互相交流、接受、反思、再整合、給予同伴評(píng)價(jià)，獲得知識(shí)與技能．培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)信息技術(shù)獲取學(xué)習(xí)資源的能力，自學(xué)能力，語(yǔ)言表達(dá)能力，創(chuàng)新能力等，真正落實(shí)核心素養(yǎng)．下面就北師版七年級(jí)上冊(cè)綜合與實(shí)踐“探尋神奇的幻方”為例闡述怎樣開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)．

1 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的步驟

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出項(xiàng)目式學(xué)習(xí)應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的合理實(shí)施步驟，分別是選取項(xiàng)目主題、確定項(xiàng)目目標(biāo)、設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題、項(xiàng)目活動(dòng)實(shí)施和項(xiàng)目成果評(píng)價(jià)五個(gè)部分．

1.1 選取項(xiàng)目主題

開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)首先要確定研究的主題．教材中不是所有內(nèi)容都適合組織項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中要選擇那些與學(xué)生生活密切相關(guān)、學(xué)生感興趣和可操作的內(nèi)容作為項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的主題[1]，比如初中數(shù)學(xué)中的“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容，涉及數(shù)學(xué)知識(shí)多，涵蓋面廣，更適合作為項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的主題．

1.2 項(xiàng)目目標(biāo)確定

在確定項(xiàng)目主題后，教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)項(xiàng)目目標(biāo)進(jìn)行拆解，包括學(xué)科目標(biāo)、核心素養(yǎng)目標(biāo)和成果目標(biāo)三部分．對(duì)于如何從核心素養(yǎng)目標(biāo)到項(xiàng)目式學(xué)習(xí)目標(biāo)，夏雪梅認(rèn)為有兩種表述方式：分散型的表述可以更加詳細(xì)地解釋每一個(gè)目標(biāo)，使學(xué)生更容易理解和掌握；整合型的表述則更注重整體把握，將大概念、核心知識(shí)等整合成統(tǒng)整的表述．

1.3 驅(qū)動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)

適宜的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題是基于對(duì)本質(zhì)問(wèn)題和任務(wù)的充分思考打磨出來(lái)的最佳表達(dá)，依次為切入點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生打開思路，不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，將其聯(lián)系起來(lái)，指引項(xiàng)目方向．

1.4 項(xiàng)目活動(dòng)實(shí)施

首先在啟動(dòng)項(xiàng)目階段應(yīng)該以始為終，通過(guò)時(shí)間軸把控項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程，即事先告知學(xué)生本項(xiàng)目所要完成的產(chǎn)品，圍繞終極目標(biāo)，逆向思考做出規(guī)劃；其次在項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中教師要以項(xiàng)目的階段性產(chǎn)品為目標(biāo)，細(xì)化問(wèn)題和支架，確保項(xiàng)目實(shí)施中學(xué)科教學(xué)的質(zhì)量；最后項(xiàng)目結(jié)束的標(biāo)志是發(fā)布產(chǎn)品，這既是學(xué)生分享項(xiàng)目成果的過(guò)程，同時(shí)也是學(xué)生思維碰撞、理解學(xué)科本質(zhì)的過(guò)程，更是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．

1.5 項(xiàng)目成果評(píng)價(jià)

在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，評(píng)價(jià)的重點(diǎn)是學(xué)生自己完成的作品和過(guò)程，是對(duì)學(xué)生實(shí)際能力的檢測(cè)和評(píng)估．教師要根據(jù)項(xiàng)目任務(wù)制定評(píng)價(jià)方法和評(píng)價(jià)工具．包括對(duì)探究活動(dòng)過(guò)程、階段性成果、成果匯報(bào)交流和項(xiàng)目成果展示等的評(píng)價(jià)．要根據(jù)過(guò)程與成果特點(diǎn)確定評(píng)價(jià)方式，制定評(píng)價(jià)量表[2]．

2 以綜合與實(shí)踐課“探尋神奇的幻方”一節(jié)實(shí)施項(xiàng)目式學(xué)習(xí)

2.1 選取項(xiàng)目主題

幻方（Magic Square）是一種將數(shù)字安排在正方形格子中，使每行、列和對(duì)角線上的數(shù)字和都相等的方法，是學(xué)生比較熟悉、比較感興趣且有一定感性認(rèn)識(shí)的內(nèi)容，它與“有理數(shù)的運(yùn)算”及“字母表示數(shù)”有密切聯(lián)系．在此之前，可能部分學(xué)生對(duì)利用1～9九個(gè)數(shù)構(gòu)造三階幻方的方法有初步的了解，但可能并不太清楚其中的數(shù)學(xué)道理．因此這個(gè)主題很容易激發(fā)學(xué)生的研究興趣．

2.2 項(xiàng)目目標(biāo)確定

本節(jié)內(nèi)容綜合運(yùn)用有理數(shù)混合運(yùn)算、字母表示數(shù)及其運(yùn)算，探索三階幻方的本質(zhì)特征；學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、類比等活動(dòng)，初步積累構(gòu)造三階幻方的經(jīng)驗(yàn)；通過(guò)對(duì)蘊(yùn)含在具體事務(wù)中的規(guī)律性結(jié)論進(jìn)行分析和解釋，初步獲得“由特殊到一般”的探究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)；進(jìn)一步體驗(yàn)合作交流、自主探究的學(xué)習(xí)方式；能夠撰寫完整的調(diào)查報(bào)告，復(fù)盤在實(shí)踐過(guò)程中的收獲．

2.3 驅(qū)動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)

任務(wù)1 課前準(zhǔn)備．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題1 請(qǐng)同學(xué)以小組為單位，上網(wǎng)查閱幻方的相關(guān)知識(shí)，課堂上與同學(xué)分享．

任務(wù)2 發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題2 關(guān)于幻方，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能提出那些問(wèn)題？

任務(wù)3 分析并解決問(wèn)題．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題3 對(duì)于小組同學(xué)提出的問(wèn)題，同學(xué)們知道其中的道理嗎？

任務(wù)4 總結(jié)并反思問(wèn)題．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題4 關(guān)于幻方，同學(xué)們能總結(jié)那些規(guī)律呢，對(duì)于整個(gè)研究過(guò)程，進(jìn)展順利嗎？有沒(méi)有需要改進(jìn)的地方呢？

2.4 項(xiàng)目活動(dòng)實(shí)施

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題1 交流課前查找的資料，小組代表發(fā)言．

各小組代表分別從幻方的歷史、分類，簡(jiǎn)單介紹了幻方的相關(guān)知識(shí)．引出本節(jié)課課題《探索神奇的幻方》．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題2 如圖1，以三階幻方為例，你發(fā)現(xiàn)了什么？

小組1 我們發(fā)現(xiàn)很多相等關(guān)系，例如，每行、每列、每條角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等為15．

小組2 所以對(duì)于任意一個(gè)幻方，只要求出幻和（所有數(shù)字之和），再除以行數(shù)，就可以求出每行或者每列的數(shù)字和．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題3 如果把每行或者每列或者每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字看成是一個(gè)三位數(shù)，你發(fā)現(xiàn)每條線上的三位數(shù)和它的逆轉(zhuǎn)三位數(shù)，有什么數(shù)量關(guān)系嗎？小組合作交流．

小組3 把每列數(shù)字看出一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)之和等于他們的逆轉(zhuǎn)數(shù)之和

276951438672159834（1665）++=++=．

這三個(gè)三位數(shù)的平方和等于他們逆轉(zhuǎn)數(shù)的平方和

222222（2769514386721598341172421）++=++=．

對(duì)行來(lái)說(shuō)也有類似相等關(guān)系．

小組4 把中間一行、中間一列、每條對(duì)角線上的數(shù)字看出一個(gè)三位數(shù)，則每個(gè)三位數(shù)與它的逆轉(zhuǎn)數(shù)字之和都等于1110（因?yàn)?57753951159+=+=

2588524566541110+=+=）．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題4 如果把和相等的每一組數(shù)分別連線，這些連線段會(huì)構(gòu)成一個(gè)怎樣的圖形？描述你得到的圖形有什么特點(diǎn)．

小組5 構(gòu)成的如圖2所示的圖案，“5”在中間，四個(gè)角上的數(shù)是偶數(shù)，其余是奇數(shù)．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題5 請(qǐng)問(wèn)5為什么在最中間呢？有沒(méi)有成對(duì)的數(shù)呢？有小組合作交流．

小組6 有4對(duì)“成對(duì)”的數(shù)：4和6，9和1，2和8，7和3．

小組7 我們寫出所有三個(gè)數(shù)和為15的算式：

共8個(gè)算式，其中5出現(xiàn)的次數(shù)最多，在4個(gè)算式中出現(xiàn)，而中間位置的數(shù)字與4條線段相關(guān)聯(lián)，因此正中間位置的數(shù)必定是5．

小組8 如圖3，將9個(gè)數(shù)分別用abcdef，，，，，，ghi，，表示．因?yàn)?～9這9個(gè)數(shù)的和是45，所以每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都是15，即四式相加，得

小組1 如圖4，設(shè)中間一格的數(shù)為x，由于每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于15，因此兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和與第二列上的三個(gè)數(shù)之和相加得45，其中x出現(xiàn)3次，第一、三行的數(shù)均各出現(xiàn)一次，3215315x+×=×，所以5x=．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題6 中間位置上的數(shù)字是5，那其他位置上的數(shù)字怎么確定呢？四個(gè)角上的數(shù)字一定是偶數(shù)嗎？

小組2 因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，5填在最中間，2和8，4和6，3和7，1和9應(yīng)配對(duì)出現(xiàn)在5周圍，如果四個(gè)角上填奇數(shù)（如圖5），則其他四個(gè)填偶數(shù)，我們可以看到第一行的和、第三行的和、第一列的和、第三列的和都是偶數(shù)，而題目要求三個(gè)數(shù)之和為15，15為奇數(shù)，這與題意不符，如果四個(gè)角上是一對(duì)奇數(shù)、一對(duì)偶數(shù)（如圖6），則剩下的四個(gè)格中也應(yīng)該是一對(duì)奇數(shù)、一對(duì)偶數(shù)，此時(shí)我們可以看到第一行的和、第三行的和都是偶數(shù)，這同樣與題意不符．如果四個(gè)角上都填偶數(shù)（如圖7），則剩下的四個(gè)填奇數(shù)，這符合題意．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題7 除了如圖1的解法，能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使他們?nèi)匀粷M足上述的那些相等關(guān)系？

小組3 將圖8中的解逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90180270，，，可以得到3個(gè)新解（圖9）．

小組4 將圖8做四條直線（如圖10的軸對(duì)稱，又得到4個(gè)新解（如圖11-1、圖11-2、圖11-3、圖11-4），所以總共有8個(gè)解．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題8 你認(rèn)為怎樣的九個(gè)數(shù)可以滿足三階幻方的要求？應(yīng)怎樣把九個(gè)數(shù)填入三階幻方？小組合作、交流、討論，并發(fā)表看法．

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題9 你還有什么新的猜想？

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題10 以信息技術(shù)為依托，關(guān)于幻方及其相關(guān)問(wèn)題，還有什么不一樣的解法？請(qǐng)同學(xué)們借助網(wǎng)絡(luò)，以小組為單位，查找資料，進(jìn)行探究并匯報(bào)成果．

2.5 項(xiàng)目成果評(píng)價(jià)

包括過(guò)程性評(píng)價(jià)和總結(jié)性評(píng)價(jià)，具體如下表1