具有Markov 切換脈沖隨機時滯系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定

尹 浩 ，姚鳳麒 ，王國慶

(安徽工業(yè)大學 電氣與信息工程學院, 安徽 馬鞍山 243032)

隨機噪聲擾動在實際工程系統(tǒng)中是不可避免的，當系統(tǒng)的可靠性要求較高時，隨機噪聲擾動不可忽略。脈沖跳變可刻畫系統(tǒng)狀態(tài)在某些時刻的突變或重置，如電力網(wǎng)絡(luò)中開關(guān)電路的頻繁改變、生物種群系統(tǒng)中對生物的過度捕撈或投放等。脈沖隨機系統(tǒng)綜合考慮了隨機噪聲擾動和脈沖跳變兩因素對系統(tǒng)的影響。時滯也會影響系統(tǒng)的性能，作為一類重要的混雜系統(tǒng)，脈沖隨機系統(tǒng)得到了廣泛研究。對于大多系統(tǒng)，脈沖發(fā)生的時間間隔不是均勻分布的，因此難以準確判斷脈沖區(qū)間的長度。Lu 等[1]首次提出了平均脈沖區(qū)間的概念，允許脈沖區(qū)間的上確界可能非常大，而下確界可能相當小。Yao 等[2]利用平均脈沖區(qū)間方法，結(jié)合比較引理和Razumikhin技巧，建立考慮系統(tǒng)的矩指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件；Cai 等[3]利用Lyapunov 函數(shù)法和Razumikhin 技巧，建立了具有時滯脈沖離散時間不確定脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定；Wu 等[4]利用平均脈沖區(qū)間方法，建立脈沖隨機時變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的充分條件；Xu 等[5]建立了具有無限時滯的脈沖隨機微分系統(tǒng)的矩指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。

然而，上述研究成果多是基于Lyapunov 意義下的穩(wěn)定性與控制，較少涉及系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。Lyapunov 穩(wěn)定性描述系統(tǒng)在無窮區(qū)間上的漸進行為反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但不能反映系統(tǒng)的暫態(tài)性能。Lyapunov 漸進穩(wěn)定的系統(tǒng)具有較差的暫態(tài)特性，如超調(diào)過大等在實際系統(tǒng)中一般是不允許的。導彈系統(tǒng)、機器人操作系統(tǒng)等工作時間短暫，人們更關(guān)心的是系統(tǒng)是否滿足一定的暫態(tài)性能要求。為解決系統(tǒng)的暫態(tài)性能問題，俄羅斯研究者Kamenkov[6]在20 世紀50 年代首次提出有限時間穩(wěn)定的概念。有限時間穩(wěn)定，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)時，系統(tǒng)的狀態(tài)在一定時間區(qū)間內(nèi)不超過某一預先給定的界限。近年，系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性問題再次引起廣泛關(guān)注，并報道了系列研究成果[7-11]。Markov跳躍系統(tǒng)作為一類特殊的混雜系統(tǒng)，其中具有Markov 切換隨機系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題是熱門的研究方向之一。Liu 等[12]研究了離散時間正Markov 跳躍系統(tǒng)的隨機有限時間穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題；Cheng 等[13]針對一類具有外部干擾和非線性的Markov 跳躍系統(tǒng)，提出了有限時間異步輸出反饋控制方案；Ren 等[14]針對一類具有不完全轉(zhuǎn)移率的Markov 跳躍非線性系統(tǒng)，研究了異步有限時間濾波問題；Yan 等[15]研究了具有半Markov 隨機系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題；蘇磊等[16]綜述了半Markov 跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制器與濾波器的設(shè)計；Ren 等[17]研究不確定正Markov 跳躍神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間有界性和鎮(zhèn)定問題。然而，上述研究成果中沒有考慮脈沖對系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性的影響。鑒于此，針對一類具有Markov 切換的脈沖隨機時滯系統(tǒng)，通過選取模態(tài)相關(guān)的泛函和利用平均脈沖區(qū)間條件來降低判據(jù)的保守性，建立系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定準則，以期實現(xiàn)脈沖隨機時滯系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。

1 預備知識及定義

2 主要結(jié)果

因此系統(tǒng)(2)是關(guān)于 (c1,c2,T)的均方有限時間穩(wěn)定。證明完畢。

注1 通過定理1 中 αi>0 ， μi≥1以及式(20)可看出Lyapunov 函數(shù)是呈指數(shù)發(fā)散的，所以系統(tǒng)(2)并不是Lyapunov 意義下的穩(wěn)定，由此可看出一個系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定并不一定代表其是Lyapunov 意義下的穩(wěn)定。

注2 由于考慮了具有Markov 切換時滯系統(tǒng)，當模態(tài)數(shù)目增加時，需求解的LMI 的維度變大，且矩陣中的元素數(shù)也會增多，使計算量增加，LMI 的求解復雜度上升。為解決這個問題，在定理1 中采用分塊矩陣技術(shù)將大的矩陣分解成小塊，以降低計算的復雜度。若系統(tǒng)(2)為不考慮脈沖影響的隨機Markov 系統(tǒng)：

3 反饋鎮(zhèn)定

根據(jù)定理1，設(shè)計反饋控制器使系統(tǒng)(2)滿足有限時間鎮(zhèn)定，考慮如下形式的狀態(tài)反饋控制器

則式(35)等價于式(29)。同理，對式(6)左右同時乘以Xi，即可得到

則式(36)等價于式(30)，由定理2 可得系統(tǒng)(2)在式(26)作用下是關(guān)于 (c1,c2,T)的均方有限時間穩(wěn)定。

4 實例仿真

其中Q3的最大特征值 λ5=0.977 6，其余矩陣對應的特征值如表1。

表1 對應矩陣的特征值Tab.1 Eigenvalues of corresponding matrices

考慮N0=2 ， τ*=0.15 ， ε=0.1，則系統(tǒng)的脈沖序列如圖1。設(shè)系 統(tǒng)(2)的 初值ξ(?)=[-0.4,0.3]T,? ∈[-0.2,0] ， 則c1=0.25 。 若考慮系統(tǒng)t∈[0,1.5]，將上述求解的特征值與假設(shè)值代入式(23)，得出系統(tǒng)(2)是關(guān)于(0.25,9.75,1.50)的均方有限時間穩(wěn)定。作500 次樣本軌道，并取期望值，得到系統(tǒng)的均方狀態(tài)軌跡，如圖2。

圖1 脈沖序列Fig.1 Impulsive sequence

圖2 系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectory of the system

驗證定理2 中反饋控制器的有效性，根據(jù)上面求出的矩陣易得

圖3 為加入反饋控制器后的均方軌跡狀態(tài)。從圖3 可看出：系統(tǒng)(2)在式(26)作用下同樣是關(guān)于(0.25,4.64,1.50)的均方有限時間穩(wěn)定。

圖3 反饋控制下系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectory of the system under feedback control

注4 通過MATLAB 中LMI 工具箱，式(4)和式(5)在不同模態(tài)下的可行性解被求解出來，驗證了判據(jù)的正確性。由于選取的泛函考慮不同模態(tài)及判據(jù)中包含時滯信息，降低了判據(jù)的保守性；同時利用平均脈沖區(qū)間條件，僅對平均脈沖區(qū)間 τ*施加限制，進一步降低了判據(jù)的保守性。

5 結(jié)論

針對一類具有Markov 切換的脈沖隨機時滯系統(tǒng)的均方有限時間穩(wěn)定性問題，通過利用L-K 泛函法以及隨機分析技巧，建立系統(tǒng)有限時間均方穩(wěn)定的充分條件?；谒玫某浞謼l件，設(shè)計使系統(tǒng)滿足有限時間穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器，并給出實例進行驗證。通過選取模態(tài)相關(guān)的泛函且利用平均脈沖區(qū)間條件對脈沖區(qū)間的上界或下界沒有限制，而且僅對平均脈沖間隔提出要求，降低了保守性。帶時滯脈沖和Markov 切換的隨機系統(tǒng)的有限時間問題有待進一步研究。