基于高斯過程回歸的中壓配電網(wǎng)雷擊過電壓預(yù)測方法

王暉南,高 強(qiáng),胡 非,丁 濤

(1.國網(wǎng)山西省電力公司,太原 030000;2.國網(wǎng)新疆營銷服務(wù)中心,烏魯木齊 830000;3.西安交通大學(xué)電氣與電子信息工程學(xué)院,西安 710000)

0 引言

中壓配電網(wǎng)由于絕緣強(qiáng)度較低,極易受到附近雷擊的影響。因此,雷擊過電壓(Lightning-Induced over-Voltages,LIVs)的準(zhǔn)確估計(jì)對(duì)于制定具有成本效益的保護(hù)方案和確保適當(dāng)?shù)慕^緣配合至關(guān)重要[1]。

對(duì)于LIV的評(píng)估,可采用兩種方法:解析法和數(shù)值方法。如文獻(xiàn)[2]提出了一個(gè)分析模型,用于評(píng)估架空線路上的LIV,該模型考慮了電流階躍函數(shù)時(shí)地面的無限導(dǎo)電性。但文獻(xiàn)[3]發(fā)現(xiàn)雷擊附近的地面電氣特性對(duì)產(chǎn)生的LIV有相當(dāng)大的影響。盡管如此,考慮到簡單和現(xiàn)實(shí)的線路和地面情況,文獻(xiàn)[4-17]已經(jīng)進(jìn)行了大量研究,為LIV評(píng)估提供了近似和精確的分析解決方案。如文獻(xiàn)[7]在時(shí)域中給出了近似解;文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]在s域中表示電流的階躍函數(shù)。對(duì)于電流的線性上升函數(shù),文獻(xiàn)[9]在時(shí)域中給出了近似解;然而,文獻(xiàn)[17]獲得了電流階躍函數(shù)在時(shí)域和s域的精確解;另一方面,許多文獻(xiàn)采用了不同的數(shù)值方法,如矩量法、時(shí)域有限差分法(FDTD)、混合電磁模型和有限元法(FEM)來評(píng)估LIVs[18-21]。

最近,機(jī)器學(xué)習(xí)(Machine Learning,ML)技術(shù)在該領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,特別是當(dāng)輸入通過一個(gè)難以分析評(píng)估的未知函數(shù)映射到輸出時(shí)。ML技術(shù)具有深遠(yuǎn)的意義,因?yàn)樗鼈兡軌驅(qū)Σ煌倪^程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模、預(yù)測和分類[22-24]。例如,高斯過程解決非線性估計(jì)問題,并提供預(yù)測變量的條件統(tǒng)計(jì)描述。ML在雷擊預(yù)測和定位已有初步應(yīng)用?，F(xiàn)場數(shù)據(jù)表明,土壤電阻率ρ和介電常數(shù)εr在很大范圍內(nèi)變化。文獻(xiàn)中報(bào)道了高達(dá)20 kΩ的冰磧土和高達(dá)80 kΩ的泥炭土的ρ值,應(yīng)將其用于LIVs的精確計(jì)算[25-28]。就電路而言,波在土壤中的傳播可以通過有耗電容器來設(shè)想。這種有耗電容電路的時(shí)間常數(shù)由電阻率ρ和介電常數(shù)εr的乘積決定。由于位移電流遠(yuǎn)小于傳導(dǎo)電流,因此,對(duì)于那些低接地,εr對(duì)LIVs的影響可以忽略不計(jì)。然而,對(duì)于高電阻接地,隨著接地介電常數(shù)εr值的降低以及阻抗特征從電感性變?yōu)殡娙菪?這種趨勢會(huì)發(fā)生改變。接地阻抗特征的這種變化會(huì)影響LIVs的峰值和峰值時(shí)間。目前,考慮電阻率ρ和介電常數(shù)εr有限值的LIV預(yù)測方法很少,在這方面,Cooray-Rubinstein(C-R)公式已被廣泛用于計(jì)算有耗土壤情況下的LIV。C-R公式的主要局限性在于,對(duì)于高達(dá)1 kΩ的電阻率值和等于或高于50 m的雷擊位置(d),它提供了準(zhǔn)確的結(jié)果。這是因?yàn)樵贑-R公式的推導(dǎo)過程中未考慮傳導(dǎo)電流。為了研究傳導(dǎo)電流在計(jì)算水平電場中的作用,文獻(xiàn)[5]中給出的時(shí)域公式已在文獻(xiàn)[27]中擴(kuò)展到20 kΩ。

基于此,筆者提出了一種新型中壓配電網(wǎng)架空線路峰值LIV預(yù)測模型,該模型考慮了大范圍的電阻率ρ和介電常數(shù)εr。首先,采用二維FDTD方法進(jìn)行了數(shù)值模擬,計(jì)算與回程通道相關(guān)的電磁場;然后,將這些電磁場作為離散化Agrawal耦合模型的加強(qiáng)函數(shù)。因此,經(jīng)過多次模擬,以生成峰值LIV(響應(yīng)變量)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集,該數(shù)據(jù)集表示為各種特征的非線性函數(shù),包括電阻率ρ、介電常數(shù)εr、峰值雷擊電流Ip、前沿時(shí)間tf、高度h、d和回?fù)羲俣葀。已對(duì)第一個(gè)雷擊(FS)和后續(xù)雷擊(SS)進(jìn)行了模擬,并使用計(jì)算峰值LIV數(shù)據(jù)庫來訓(xùn)練回歸模型。在這種情況下,采用給出最小均方根誤差(RMSE)的回歸模型,即高斯過程回歸(GPR)進(jìn)行預(yù)測。將該模型的預(yù)測值與二維FDTD的預(yù)測值進(jìn)行了比較,并用后一種方法對(duì)所提出的模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 雷擊過電壓的計(jì)算模型

式(1)和式(2)給出的Maxwell方程,并使用二維FDTD技術(shù)同時(shí)求解,以評(píng)估雷擊架空配電線路的電磁場。

(1)

(2)

式中,B是磁通量密度(Wb/m2),E是電場強(qiáng)度(V/m),H是磁場強(qiáng)度(A/m),σ電導(dǎo)率(S/m),ε是介電常數(shù)(F/m)。

選擇具有線性電流衰減(MTLL)的修正輸電線路模型和具有指數(shù)電流衰減(MTLE)模型的修正輸電線路模型,分別將雷擊回程通道表示為沿垂直對(duì)稱的電流源陣列,見式(3)和式(4)。

(3)

(4)

式中z′是沿雷擊通道的高度(m),hch是通道的長度(m),v是回?fù)羲俣?m/s),vf是回?fù)舨ㄇ暗膫鞑ニ俣?m/s),λe是指數(shù)電流衰減常數(shù)(m)?；?fù)綦娏饔墒?5)給出的梯形函數(shù)模擬:

(5)

式中,Ip為峰值電流(kA),α為電流上升率(kA/μs),tf為前沿時(shí)間(s)。Ip和tf的變化范圍符合FS的中值(μIp=31.1 kA,μtf=3.83 μs)和標(biāo)準(zhǔn)差(σIp=0.48,σtf=0.55)以及SS的中值(μIp=12.3 kA,μtf=0.6 s)和標(biāo)準(zhǔn)差(σIp=0.529 6,σtf=0.921)。

在FDTD中定義解平面時(shí),使用柱坐標(biāo)系,并根據(jù)線的高度設(shè)置尺寸,然后將FDTD計(jì)算的水平和垂直電場耦合到Agrawal耦合模型,作為計(jì)算LIVs 35 36的強(qiáng)度函數(shù)。圖1為中壓配電網(wǎng)架空線附近雷擊建模及二維FDTD解平面的幾何結(jié)構(gòu)圖。

圖1 中壓配電網(wǎng)架空線附近雷擊建模及二維FDTD解平面的幾何結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The geometric structure of lightning strike modeling and two-dimensional FDTD solution plane near overhead lines of medium-voltage distribution network

假定線路長度L為8 km,兩端匹配以避免反射?；爻掏ǖ赖母叨菻RS取7 km;但線路高度從7.15 m到11.44 m不等。假設(shè)MTLE模型中的電流衰減常數(shù)λe為2 000 m。對(duì)于穩(wěn)定的FDTD計(jì)算,選擇時(shí)間步長以滿足Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)條件。解平面的邊界(沿r和z軸)根據(jù)第1個(gè)Mur吸收條件終止。雷擊位置和測線之間的距離從60～660 m不等。

2 問題描述

本研究采用C-R公式和二維FDTD方法對(duì)架空線路上的感應(yīng)電壓進(jìn)行了計(jì)算,以評(píng)估有限ρ和εr對(duì)LIV的影響。圖2為使用MTLL模型比較雷擊位置最近點(diǎn)處的LIV。評(píng)估50 m距離處LIV的參數(shù)為:Ip=31.1 kA,tf=3.83 s,ρ=10和20 kΩ,而εr=4和10。結(jié)果表明,對(duì)于高阻接地,介電常數(shù)的影響更為明顯。對(duì)于高阻接地,FDTD計(jì)算的LIV與C-R公式之間的誤差變得顯著。例如,在εr=4,ρ=10 kΩ和20 kΩ的誤差分別為40.58%和58.12%。然而,在εr=10,ρ=10 kΩ和20 kΩ時(shí)的誤差分別為42.88%和60.91%。這種差異是由于在運(yùn)用C-R公式時(shí)沒有考慮通過有耗接地的傳導(dǎo)電流。

圖2 Ip=31.1 kA、tf=3.83 s、ρ=10和20 kΩ的C-R公式和FDTD方法獲得的LIV比較圖Fig.2 Comparison of LIVs obtained from C-R formula and FDTD method for Ip=31.1 kA、tf=3.83 s、ρ=10 and 20 kΩ

為了綜合評(píng)估7個(gè)參數(shù)的影響:ρ、εr、Ip、tf、tf、d和v同時(shí)評(píng)估峰值LIV,本研究采用了GPR模型。GPR模型將提供FDTD模擬的替代方案,FDTD模擬具有足夠的內(nèi)存和計(jì)算負(fù)擔(dān)要求。還將通過考慮參數(shù)的廣泛變化,特別解決高電阻接地的介電常數(shù)的影響。

3 敏感性分析

本節(jié)通過使用MTLL模型考慮非常高的土壤電阻率值的情況,此外,還介紹了前一節(jié)中提到的各種參數(shù)對(duì)LIV的影響。

3.1 地電阻率和介電常數(shù)的影響

圖3給出了考慮Ip=30 kA,εr=5,tf=3.76 μs,v=120 m/s,h=7.15 m,d=50 m時(shí)的LIV圖。

圖3 圖1所示結(jié)構(gòu)下不同值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=50 m)計(jì)算LIVFig.3 Calculated LIVs for the configuration shown in Fig.1 and different values of ρ (Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=50 m)

可以觀察到,對(duì)于ρ=20 kΩ和0.2 kΩ,峰值LIV分別為1 944 kV和154.2 kV。這是因?yàn)榕c電場的垂直分量Ez相比,電場的水平分量Ex更受地面電阻率的影響。如上所述,在位移電流不能忽略的高電阻接地情況下,接地阻抗的特征從電感性變?yōu)殡娙菪?。圖4為ρ=1 kΩ和20 kΩ的地面介電常數(shù)的影響,分別通過將εr從5變化到80。

圖4 不同ρ值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=120 m)的計(jì)算LIVFig.4 Calculated LIVs for different values of εr (Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=120 m)

可以觀察到,當(dāng)接地介電常數(shù)εr從5增加到80時(shí),1 kΩ和20 kΩ的LIV分別降低了3.81%和9%。此外,如圖4(b)所示,εr越高,地面電阻率值越高,峰值時(shí)間越長,即20 kΩ的峰值時(shí)間為68.95%,1 kΩ的峰值時(shí)間為9.04%。因此,εr對(duì)LIV的影響較低。然而,在較高的εr值時(shí),可以觀察到峰值LIV急劇增加,波前更陡。當(dāng)雷擊位置靠近直線時(shí),此效果更為明顯。

3.2 線路高度的影響

圖5表明在較低的ρ值下,峰值LIV對(duì)線路高度更為敏感。在h=14.3 m處的峰值LIV為198.1 kV,在h=7.15 m處的峰值LIV為149.6 kV(ρ=1 kΩ)。此外,還可以從圖5中可以觀察到,對(duì)于ρ=20 kΩ,由于LIV僅增加1.41%,線路高度增加50%,而LIV增加32.42%,因此,高度h的影響不顯著。這是因?yàn)橛袚p接地產(chǎn)生的電場分量受高度的影響較小。另一方面,由完美導(dǎo)電接地產(chǎn)生的電場分量與高度成正比[2]。

圖5 不同h值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,εr=5,d=120 m)下計(jì)算LIVFig.5 Calculated LIVs for different values of h (Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,εr=5,d=120 m)

3.3 回程速度的影響

當(dāng)v從40 m/s增加到200 m/s時(shí),1 kΩ和20 kΩ的LIV分別增加27.94%和13.9%,見圖6。

圖6 不同v值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)下計(jì)算LIVFig.6 Calculated LIVs for different values of h (Ip=30 kA,tf=3.76 s,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)

3.4 前置時(shí)間

考慮到Ip為70 kA,如果tf在3.76～7.64 s之間變化,則峰值LIV的百分比下降為6.44%,在1 kΩ的前置時(shí)間內(nèi),百分比增加為50.78%,見圖7(a)。

圖7 不同tf值(Ip=70 kA,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)下計(jì)算LIVFig.7 Calculated LIVs for different values of h (Ip=30 kA,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)

然而,對(duì)于20 kΩ,在峰值LIV之間僅觀察到0.15%的變化,見圖7(b)。

4 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的模型訓(xùn)練

表1 訓(xùn)練模型的參數(shù)Table 1 Parameters of the training model

表2 GPR模型的算法步驟Table 2 Algorithm steps of GPR model

GPR模型采用貝葉斯方法,推斷所有可能值的概率分布。這些是非參數(shù)概率模型,使用核函數(shù)指定協(xié)方差。在MATLAB軟件中實(shí)現(xiàn)的GPR算法如見2。一旦對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練,所需的計(jì)算工作量為最小。

圖8為預(yù)測值與實(shí)際值對(duì)應(yīng)圖,FS的最大殘差為4 kV,SS的最大殘差為0.5 kV;當(dāng)測試樣本與訓(xùn)練樣本相等時(shí),平均誤差為0.019 27 kV、0.011 56 kV、0.002 29 kV、0.003 05 kV。

圖8 GPR模型的響應(yīng)圖Fig.8 Response plot of the GPR models

基函數(shù)系數(shù)β和噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的值為:GPRMTLL-FS為2 378.3和7.994 7,GPRMTLE-FS為2 430.3和7.483 2,GPRMTLL-SS為476.756和1.2723,GPRMTL-SS為444.987和1.195 6。使用表3中給出的步驟,可獲得任何隨機(jī)測試用例的預(yù)測變量值。各種核函數(shù)顯示的模型和RMSE的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表4。

表3 給定試驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測變量方法Table 3 Predictive variable methods for given test data

表4 GPR模型與核函數(shù)RMSETable 4 GPR model and kernel RMSE

從表1可明顯看出,除d外,所有預(yù)測變量均采用非均勻抽樣。在圖9(a)中,對(duì)于d從70～600 m、16 kΩ和εr=60變化的隨機(jī)試驗(yàn)案例,兩個(gè)模型的性能分析,以及均勻和非均勻的ρ取樣可得到證實(shí)。當(dāng)GPRMTLL-FS模型(1)用于預(yù)測時(shí),趨勢是異常的。因此,進(jìn)一步擴(kuò)充訓(xùn)練數(shù)據(jù)集以包含更多的d數(shù)據(jù)點(diǎn),從而形成GPRMTLL-FS模型(2),然后,預(yù)測結(jié)果和實(shí)際結(jié)果之間的差異顯著減小。如果對(duì)所有特征采用均勻采樣,那么計(jì)算復(fù)雜度將增加到50 000個(gè)觀測值左右。GPRMTLE-FS、GPRMTLL-SS、GPRMTLE-SS模型的訓(xùn)練也以類似方式進(jìn)行。此外,見表5,通過一次刪除每個(gè)特征,使用模型的RMSE證明了各種特征的預(yù)測相關(guān)性?？梢酝茢?通過去除特征d,在所有4種模型的情況下觀察到的RMSE相當(dāng)高,因此,表明其與預(yù)測LIV的相關(guān)性。相應(yīng)的響應(yīng)曲線見圖9(b)～圖9(h)所示。

表5 特征的預(yù)測相關(guān)性Table 5 Prediction correlation of features

圖9 (a)模型與FDTD進(jìn)行比較響應(yīng)圖(b)無(c) ρ(d)Ip和tf(e)v(f)h (g)εr(h)d中刪除特征。Fig. 9 (a) Comparison of models with FDTD, and Removed features in response plots (b) None (c)ρ (d) Ip and tf (e)v (f) h (g) εr (h) d

5 模型的性能評(píng)估

本節(jié)證明了訓(xùn)練模型(GPRMTLL-FS、GPRMTLE-FS、GPRMTLL-SS和GPRMTLE-SS)的有效性,給出了預(yù)測值。對(duì)于實(shí)際值,已使用2D FDTD為表6中描述的各種情況生成了新的測試數(shù)據(jù)集。

表6 模型驗(yàn)證的不同案例Table 6 Different cases of model validation

5.1 模型驗(yàn)證和準(zhǔn)確性

本節(jié)已針對(duì)每種情況考慮了不同的有序?qū)Ζ押挺舝,且d在每個(gè)子類別中從70 m到600 m不等,以評(píng)估模型在相當(dāng)大的接地電阻率和接地介電常數(shù)范圍內(nèi)的性能。其他特征保持不變,如:Ip=30 kA,tf=3.76 μs,v=143 m/s,h=7.15 m。對(duì)于SS,Ip=10 kA和tf=0.35 μs,所有其他參數(shù)相同。

對(duì)于GPRMTLL-FS,在案例(A)的5個(gè)子案例中,即ρ=0.9,1.5,3.5,5和7.5 kΩ,觀察到3.5 kΩ的最大平均絕對(duì)誤差為5.2%。在案例(B)的5個(gè)子類別中,0.9 kΩ的最大平均絕對(duì)誤差為9.6%。對(duì)于案例(C)-案例(D),變化為9.5、12、16、17和19 kΩ。在前一種情況下,19 kΩ的最大絕對(duì)誤差為5.4%,在后一種情況下,16 kΩ的最大絕對(duì)誤差為10%。同樣,對(duì)于GPRMTLL-SS,表6中給出了誤差。圖10為GPRMTLL-FS所有情況下的實(shí)際值和預(yù)測值。表6中還列出了GPRMTLE-FS和GPRMTLE-SS的最大和平均絕對(duì)誤差。對(duì)于新的測試數(shù)據(jù)集,預(yù)測的LIV和通過FDTD技術(shù)獲得的LIV彼此非常一致。

圖10 使用GPRMTLL-FS對(duì)不同案例的模型進(jìn)行交叉驗(yàn)證圖Fig.10 Cross-validation of the model for different cases using GPRMTLL-FS

圖11為案例A-D情況下的三維圖形,使用FDTD獲得的結(jié)果與所提模型之間的百分比差異,作為線和雷擊位置和地面電阻率之間距離的函數(shù)。圖11(a)描述了所有4個(gè)模型的情況A的誤差?？梢杂^察到,當(dāng)MTLL和MTLE的d都較高時(shí),SS的誤差增大,FS的誤差減小。對(duì)于情況B,對(duì)于MTLL和MTLE,FS和SS的d值越高,誤差越大。然而,趨勢改變了,圖11(c)和圖11(d)中分別代表案例C和案例D的d值越低,誤差越大。

5.2 第一次雷擊

對(duì)于模型的精度評(píng)估,在大范圍內(nèi)一次僅改變一個(gè)參數(shù),同時(shí)保持其他參數(shù)不變。恒定參數(shù)為:Ip=60 kA、tf=3 μs、v=120 m/μs、h=10 m、ρ=15 kΩ、d=300 m和εr=5。預(yù)測(MTLLp,MTLEp)與實(shí)際響應(yīng)(MTLLFDTD,MTLEFDTD)的對(duì)比見圖12,其變量參數(shù)變化較大。相應(yīng)的誤差值見表7。因此,所提模型為GPRMTLL-FS的最大和最小平均絕對(duì)誤差分別為2.12%和1.13%;對(duì)于所有考慮的參數(shù),GPRMTLE-FS的最大和最小平均絕對(duì)誤差分別為2.34%和1.25%。

表7 GPRMTLL-FS和GPRMTLE-FS的精度統(tǒng)計(jì)Table 7 Accuracy statistics of GPRMTLL-FS and GPRMTLE-FS

5.3 后續(xù)雷擊

為了評(píng)估SS模型的準(zhǔn)確性,除Ip和tf外,所有其他參數(shù)與前一節(jié)中提到的相同,分別為12 kA和0.5 μs,結(jié)果見圖13,相應(yīng)的誤差值見表8。表4中描述的模型統(tǒng)計(jì)和使用圖10、圖11、圖12和圖13突出顯示的性能評(píng)估使GPR成為預(yù)測峰值LIV的合適候選。

表8 GPRMTLL-SS和GPRMTLE-SS的精度統(tǒng)計(jì)Table 8 Accuracy statistics of GPRMTLL-SS and GPRMTLE-SS

6 結(jié)論

本研究提出了一種新型基于高斯過程回歸(GPR)的雷電感應(yīng)過電壓預(yù)測模型。GPR優(yōu)于其他回歸方法是由于其對(duì)非線性函數(shù)的逼近能力,并且沒有事先指定擬合函數(shù)。通過比較預(yù)測和實(shí)際峰值LIV(基于在相當(dāng)大范圍內(nèi)隨機(jī)變化的輸入),驗(yàn)證了所提出預(yù)測模型的性能。利用7個(gè)特征,即地電阻率、介電常數(shù)、距離、高度、回程峰值電流、波前時(shí)間和回程速度,對(duì)所提出的方法進(jìn)行了研究。經(jīng)過訓(xùn)練的模型可以從40個(gè)位置訪問,這些位置是根據(jù)二維FDTD模擬產(chǎn)生的峰值LIV準(zhǔn)備的,并且在測試新的特征值時(shí)顯示出足夠精確的預(yù)測。

該方法的計(jì)算復(fù)雜性在于建立一個(gè)數(shù)據(jù)集,即只執(zhí)行一次的訓(xùn)練步驟。經(jīng)過訓(xùn)練后,與具有合理精度的FDTD方法等數(shù)值技術(shù)相比,該方法的計(jì)算時(shí)間更短。因此,該模型可與IEEE標(biāo)準(zhǔn)1410-2010中的統(tǒng)計(jì)程序一起用于評(píng)估架空配電線路的間接雷擊性能。