基于梁結(jié)構(gòu)等效模型的機器人銑削有限元仿真

曾崢嶸，周勇，胡楷雄，李衛(wèi)東

(1.武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院，湖北武漢 430063；2.上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院，上海 200093)

0 前言

銑削加工的工藝參數(shù)影響著零件加工精度與表面質(zhì)量的好壞。隨著有限元軟件的發(fā)展，有限元仿真在切削加工工藝參數(shù)優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用。例如，利用AdvantEdge軟件建立有限元模型分析刀具幾何參數(shù)對銑削力的影響[1]；采用Deform-3D軟件模擬不同幾何參數(shù)刀具的銑削加工來優(yōu)化刀具結(jié)構(gòu)[2-3]；基于Abaqus軟件建立皮質(zhì)骨加工模型，尋找最優(yōu)的切削參數(shù)[4-5]；利用Abaqus仿真尋找最佳刀軸傾角[6]。上述研究主要針對機床加工的工藝參數(shù)優(yōu)化進行仿真，通常忽略了設(shè)備剛度對切削的影響。

相較于機床，工業(yè)機器人用于銑削加工具有工作范圍廣、靈活性高等優(yōu)點。然而機器人的弱剛度特性會導(dǎo)致銑削加工過程中較大的末端變形，影響加工質(zhì)量[7]。因此，眾多研究者提出了多種剛度性能指標(biāo)用于優(yōu)化機器人姿態(tài)。CHEN等[8]提出了用于優(yōu)化機器人姿態(tài)的曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)。段現(xiàn)銀等[9]采用曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)，有效提高了零件曲面法向輪廓精度。PENG等[10]使用柔度橢球體積評價機器人末端整體變形量。GUO等[11]提出了基于切削力的剛度指標(biāo)，更全面地評價機器人姿態(tài)。ZHU等[12]利用基于切削力的剛度指標(biāo)結(jié)合材料去除率優(yōu)化刀軸傾角，但該指標(biāo)計算比較復(fù)雜耗時。通過機器人銑削仿真可以提前預(yù)測機器人運行情況，并在缺乏實際銑削實驗與專用測量儀器的情況下為機器人銑削加工的姿態(tài)優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)。如MOUSAVI等[13]建立了工業(yè)機器人的有限元數(shù)值模型，分析了冗余角對加工顫振的影響；但該模型主要針對機器人整體結(jié)構(gòu)進行構(gòu)建，尺寸大且建立繁瑣，如更換機器人型號則需要重新建模。

本文作者針對機器人銑削加工過程的末端變形情況，采用Abaqus軟件建立機器人銑削加工有限元模型，根據(jù)機器人末端剛度與銑削加工的振動特點將機器人末端變形等效為梁的拉壓變形，模型通用性好且易于模擬機器人不同姿態(tài)下的末端變形情況。最后設(shè)計力錘實驗獲取梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)參數(shù)，通過銑削實驗對模型的正確性進行驗證，并基于仿真對兩種不同的機器人剛度性能指標(biāo)進行對比分析。

1 銑刀-工件有限元仿真模型

表1 球頭銑刀參數(shù)

在Abaqus軟件中采用修正后的Johnson-Cook (J-C) 本構(gòu)模型與物理分離準則的J-C失效模型定義6061鋁合金的材料屬性，表2、3為模型所采用的屬性參數(shù)[14-15]。

表2 J-C本構(gòu)模型

表3 材料失效參數(shù)

綜合考慮仿真計算量與精度，預(yù)先對模型進行多種網(wǎng)格尺寸的短時仿真對比，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格尺寸為0.3 mm時較為合適。定義刀具為剛體約束，不考慮磨損情況，刀具與工件網(wǎng)格節(jié)點法向行為為硬接觸，切向摩擦因數(shù)為0.7。

2 梁結(jié)構(gòu)等效的機器人銑削有限元模型

在刀具-工件有限元模型基礎(chǔ)上分析機器人末端特性，添加梁結(jié)構(gòu)建立機器人銑削有限元模型。

2.1 機器人柔度矩陣

針對KUKA KR60-3機器人銑削加工進行研究，首先采用改進D-H法建立機器人運動學(xué)模型，再基于運動學(xué)模型獲取機器人柔度矩陣。利用MATLAB計算運動學(xué)對應(yīng)的雅可比矩陣，通過關(guān)節(jié)剛度與雅可比矩陣計算末端剛度矩陣。為了便于后續(xù)變形計算，采用公式(1)直接求解末端剛度矩陣的逆矩陣，即柔度矩陣：

(1)

其中：Jθ為機器人雅可比矩陣；Kθ為關(guān)節(jié)剛度矩陣；Cfd為力-平移柔度矩陣；Cfδ為力-旋轉(zhuǎn)柔度矩陣；Cmd為扭矩-平移柔度矩陣；Cmδ為扭矩-旋轉(zhuǎn)柔度矩陣。通常情況只考慮由機器人末端受力引起的平移變形，后續(xù)針對力-位移柔度矩陣計算末端變形量。

2.2 機器人末端振動分析

實際銑削加工過程中，機器人末端在動態(tài)銑削力作用下產(chǎn)生受迫振動。將機器人末端簡化為多自由度線性系統(tǒng)，可看作單自由度系統(tǒng)的線性疊加，考慮機器人末端的平移變形，可將機器人末端振動分解為X、Y、Z三方向的單自由振動系統(tǒng)。

將機器人末端主軸部分在基坐標(biāo)系的三軸方向振動均簡化為如圖1所示的動力學(xué)模型，由公式(2)所示的微分方程表述：

下面介紹一個持續(xù)長度的概念,它是蠕蟲狀鏈模型中的重要參數(shù).對于一條由鍵長為l、鍵角為α的n個鍵所組成的大分子鏈,將第一個鍵的方向看成z軸(見圖1),那么第二個鍵以α角與之相連,鍵矢量間的夾角為θ,第三個鍵又以α角與第二個鍵相連,其鍵矢量間的夾角亦為θ,依次類推,這條鏈的末端距在z軸上投影的平均長度即為n個鍵矢量在z軸投影長度的加和:

(2)

圖1 單自由度系統(tǒng)動力學(xué)模型

其中：ma為等效質(zhì)量；Ca為等效阻尼；Ka為等效剛度，通過柔度矩陣獲??；F(t)為隨時間變化的銑削力；X(t)為振動位移，振動位移包含與切削力頻率相同的受迫振動部分和初始條件引起的自由振動部分。

2.3 梁結(jié)構(gòu)等效機器人末端的有限元模型

基于上述機器人末端振動變形分析，采用懸臂梁結(jié)構(gòu)等效單自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。根據(jù)材料力學(xué)知識，懸臂梁的拉伸變形可根據(jù)公式(3)進行計算：

(3)

其中：F為作用于梁端部垂直截面的外力；L0為懸臂梁原始長度；L1為懸臂梁拉伸變形后長度；E為梁材料彈性模量；A為梁截面面積，常用的梁截面中矩形截面計算較為簡單，適合作為等效梁截面。

機器人末端平移變形如公式(4)所示：

(4)

其中：[xyz]T為機器人末端平移變形列向量；[FxFyFz]T為機器人末端外力列向量。

根據(jù)公式(4)可知，機器人末端在某方向產(chǎn)生的位移由三方向的外力共同決定，并與機器人柔度相關(guān)。故為獲取末端在刀位點坐標(biāo)系的某一軸向變形，需得到三方向外力作用下的變形量并進行疊加。

將機器人在刀位點坐標(biāo)系三軸方向的變形等效為3根懸臂梁的拉壓變形，通過公式(5)計算得到三方向上的剛度大小分別為k1、k2、k3。公式中3根梁的橫截面積A與長度L0大小一致且始終設(shè)置為固定值；Cij根據(jù)公式(4)選取，i取決于仿真模擬的變形方向，j取決于外力方向。文中首先模擬Z軸方向變形，故先選取C31、C32、C33進行計算。

(5)

當(dāng)給定某一機器人姿態(tài)時，通過柔度矩陣計算公式(1)將所需的柔度元素值代入公式(5)，獲取梁結(jié)構(gòu)彈性模量參數(shù)E。為梁結(jié)構(gòu)賦予等效質(zhì)量與阻尼后即可模擬給定姿態(tài)機器人銑削加工中末端的Z向變形情況。

在Abaqus中建立給定幾何尺寸的矩形截面梁，并賦予材料屬性。創(chuàng)建連接梁端點與刀具中心點的線條，線條連接特征為鉸連接，即只允許刀具相對于梁端點進行自身旋轉(zhuǎn)。分別為刀具添加旋轉(zhuǎn)速度、為工件底部節(jié)點添加進給速度，并約束梁整體只發(fā)生軸向變形。圖2所示為所建立的機器人銑削加工有限元模型，通過該模型可模擬指定機器人姿態(tài)下刀位點坐標(biāo)系任一軸向上的機器人末端變形情況。

圖2 基于梁結(jié)構(gòu)等效機器人末端的有限元模型

3 仿真模型實驗驗證與應(yīng)用

3.1 機器人末端力錘實驗

通過力錘敲擊實驗測量機器人末端固有頻率，間接獲取等效質(zhì)量與阻尼，完善模型參數(shù)。錘擊實驗采用三向加速度傳感器，設(shè)置數(shù)據(jù)采集頻率為6 000 Hz，獲取6個姿態(tài)下的機器人末端固有頻率。表4所示為6組姿態(tài)的錘擊實驗測量結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不同敲擊力與不同姿態(tài)下的機器人末端三方向的固有頻率在較小區(qū)間變化，可采用固有頻率平均值作為參數(shù)。圖3為Z向固有頻率示意。

圖3 測量的末端Z向固有頻率

表4 機器人部分姿態(tài)末端固有頻率 單位：Hz

瑞利比例阻尼模型符合機器人運動情況，如公式(6)所示[16]，用于梁結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置，設(shè)置阻尼系數(shù)分別為αM=0.672 1和αK=0.148 6。

Ca=αMMa+αKKa

(6)

3.2 機器人銑削輪廓誤差與銑削力實驗

為了驗證模型準確性，采用KUKA KR60-3機器人進行6061鋁合金的球頭銑刀銑削實驗，利用Keyence LJ-V7080型超高速線激光輪廓掃描儀采集銑削實驗的表面輪廓信息，采用Kistler 9129AA測力儀和Kistler 5070電荷放大器測量銑削力。實驗裝置如圖4所示。

圖4 機器人銑削實驗平臺

通過激光掃描儀獲取輪廓曲線，掃描頻率為200 Hz，掃描速度為1 mm/s。為避免偶然性，進行3次重復(fù)實驗，對測量值取平均值。表5為實驗與仿真結(jié)果數(shù)據(jù)。

表5 實驗與仿真測量結(jié)果對比

表5中仿真與實驗的銑削力存在誤差的原因在于仿真模型設(shè)置的加工條件較為理想化，仿真過程不考慮機器人自身定位誤差、刀具變形磨損、水冷降溫、工件不平整等因素，因此模擬的銑削過程更加平穩(wěn)，數(shù)值更小。圖5為實際銑削加工與仿真的輪廓誤差曲線，可知仿真與實際最大輪廓誤差的相對誤差為5.4%，最小輪廓誤差的相對誤差為10.2%，基本符合實際銑削情況。表明基于梁結(jié)構(gòu)等效機器人末端的有限元模型可以有效地仿真機器人銑削加工中的末端變形情況。

圖5 實際與仿真輪廓誤差曲線對比

3.3 機器人剛度指標(biāo)仿真對比分析

本文作者針對常用的兩種剛度性能指標(biāo)進行仿真對比，分別是基于工件幾何形狀的曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)cn[8]和考慮切削力的剛度指標(biāo)cf[11]。指標(biāo)定義如公式(7)所示：

(7)

其中：en為曲面法向方向的單位矢量；ef為切削力方向的單位矢量。指標(biāo)cn用于評價機器人末端在工件表面法向受單位切削力時的變形程度，指標(biāo)cf評價機器人末端受單位切削力時，在切削力方向的變形程度，因此指標(biāo)cf需要提前知道銑削力方向。

通過指標(biāo)公式可知，指標(biāo)cf評價了機器人末端在切削力方向上的整體變形程度，指標(biāo)cn只考慮了機器人末端在工件表面法向的抗變形能力，因此指標(biāo)cf較指標(biāo)cn考慮更全面，但指標(biāo)cf需要提前計算銑削力方向，更加耗時。為進一步分析，進行仿真實驗對比。選取相同末端位置的9組不同冗余角對應(yīng)的姿態(tài)進行剛度指標(biāo)計算，冗余角取值范圍為±40°，取值間隔為10°，表6為部分姿態(tài)對應(yīng)的剛度指標(biāo)。根據(jù)指標(biāo)差異選取冗余角為-40°與40°的兩組姿態(tài)進行仿真實驗，設(shè)置刀具進給速度為2.5 mm/s，旋轉(zhuǎn)速度為9 000 r/min，切削深度為1 mm。

表6 相同末端位置下不同冗余角的剛度指標(biāo)

仿真對比結(jié)果如表7所示，姿態(tài)2的總變形量略小于姿態(tài)1，但Z向(法向)變形量明顯大于姿態(tài)1。在曲面銑削加工過程中，法向輪廓誤差是影響曲面加工精度的主要因素[8-9]，可得出結(jié)論：雖然通過指標(biāo)cf優(yōu)化機器人姿態(tài)可保證總變形量較優(yōu)，但優(yōu)勢不明顯，而指標(biāo)cn可以更好地優(yōu)化法向加工精度，更適用于曲面加工。同時指標(biāo)cn計算更簡便，在效率上優(yōu)于指標(biāo)cf。在不需要進行加工精度極為苛刻的銑削任務(wù)時，推薦使用曲面法向柔度系數(shù)指標(biāo)。

表7 剛度性能指標(biāo)仿真對比

4 結(jié)論

利用梁結(jié)構(gòu)建立了考慮機器人弱剛度特性的銑削有限元模型，通過6061鋁合金的球頭銑刀銑削實驗驗證了仿真模型的正確性，最后對比實驗指導(dǎo)剛度性能指標(biāo)的選取，得到以下結(jié)論：

(1)考慮機器人的弱剛度特性，將機器人末端變形與姿態(tài)相聯(lián)系，在刀具-工件有限元模型中添加與機器人姿態(tài)相關(guān)的梁結(jié)構(gòu)來等效機器人末端變形情況，實驗結(jié)果表明：基于梁結(jié)構(gòu)等效模型建立的銑削有限元模型可以正確模擬機器人銑削加工過程。

(2)通過在所提出模型上的仿真對比發(fā)現(xiàn)，基于考慮切削力的剛度指標(biāo)cf優(yōu)化機器人姿態(tài)可以保證機器人末端總變形量最小，但無法約束特定方向的變形情況?；诠ぜ闹笜?biāo)cn對提升法向加工精度有顯著的效果，從效率和加工需求判斷，指標(biāo)cn比指標(biāo)cf更適用于優(yōu)化機器人銑削加工曲面的姿態(tài)。