高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的實踐與思考

胡冬梅

［摘? 要］ 有效教學(xué)的設(shè)計需要從整體性、系統(tǒng)性出發(fā)，將“立德樹人”“促進學(xué)生全面發(fā)展”作為課堂教學(xué)的長遠目標(biāo). 研究者以“一元二次不等式”的教學(xué)為例，分別從“降低教學(xué)起點，引出主題”“分層推進，實現(xiàn)目標(biāo)”“拓展延伸，提升能力”三方面展開分析，并從以下幾方面談一些看法：分層設(shè)計需要符合學(xué)生的實際認知；有效問題需要符合教學(xué)實際；豐富的課堂拓展渠道可以提高教學(xué)實效.

［關(guān)鍵詞］ 有效教學(xué)；一元二次不等式；問題

20世紀90年代末，我國開始對有效教學(xué)法進行大量研究，基于前人的研究，筆者提出教師可以從以下幾點界定什么是有效教學(xué)：①完整實施教學(xué)，包括備課、教學(xué)過程與評價等；②精心預(yù)設(shè)，為生成服務(wù)；③從效率與效益等角度思考教學(xué)成效；④從教學(xué)相長的程度來評判教學(xué)效果. 在此，筆者以“一元二次不等式”的教學(xué)為例，具體從以下幾方面談?wù)勅绾伍_展有效教學(xué)，并提出幾點思考，與同行共勉.

有效教學(xué)的開展措施

1. 降低教學(xué)起點，引出主題

降低教學(xué)起點的目的在于照顧學(xué)生客觀存在的個體差異，通過初始難度的降低，讓每一個學(xué)生都能積極地投入到教學(xué)活動中來. 多層次是指教師在“低起點”的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情與教情設(shè)計多個教學(xué)環(huán)節(jié)或問題，讓學(xué)生在跨度小、密度大的問題的引領(lǐng)下實現(xiàn)思維的拾級而上，也可以通過逐層遞進的題組訓(xùn)練，為學(xué)生的思維提升搭建腳手架.

在這種教學(xué)模式下，每一個認知水平層次的學(xué)生都能一步一個腳印地接近或達成教學(xué)目標(biāo)，為實現(xiàn)有效教學(xué)奠定基礎(chǔ).

課堂伊始，教師展示一元二次函數(shù)y=x2－x的圖象，要求學(xué)生觀察其圖象與x軸的交點，并根據(jù)對應(yīng)方程的根，獲得如下結(jié)論：一元二次函數(shù)y=x2－x的圖象和x軸交點的橫坐標(biāo)為其所對應(yīng)的方程x2－x=0的根0和1.

師：y=0時x取值0和1，那么y<0時，x取值多少？

生1：應(yīng)該是大于0且小于1的數(shù).

師：據(jù)此能獲得不等式x2－x<0的解集嗎？

生2：可以，解集為大于0且小于1的數(shù)的集合.

師：如何用數(shù)學(xué)語言來表示這個解集呢？

生3：｛x0

當(dāng)學(xué)生順利寫出解集后，教師要求學(xué)生闡述這樣寫的理由. 學(xué)生表示x2－x<0實則為y<0，結(jié)合y=x2－x的圖象來分析，使y<0的x的取值范圍是｛x00的解集又是什么？”有了前面的探究基礎(chǔ)，學(xué)生很快就給出了答案：｛xx<0或x>1｝.

在此教學(xué)片段中，教師用一元二次函數(shù)y=x2－x的圖象和x軸的交點與對應(yīng)方程的根的關(guān)系作為起點引出主題，這對高中生而言，起點較低，目標(biāo)也很明確，班上所有學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)一元二次函數(shù)y=x2－x的圖象和x軸交點的橫坐標(biāo)實則為其所對應(yīng)的方程x2－x=0的根0和1.

在教師的點撥下，學(xué)生的思維從y=0過渡到y(tǒng)<0，學(xué)生不僅能自然理解，還能流暢接受. 趁學(xué)生的思維處于“溫?zé)帷彪A段，教師又提出“不等式x2－x<0的解集是什么”這個問題，成功地將一元二次不等式與二次函數(shù)圖象關(guān)聯(lián)起來. 鑒于之前有“使y<0的x的值為大于0且小于1的數(shù)”這個基礎(chǔ)，學(xué)生自然而然地獲得不等式x2－x<0的解集為｛x0

參與此過程，即使是基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生，因為從低起點開始逐層思考，哪怕反應(yīng)慢一些，也能明白不等式x2－x<0的解集為｛x0

2. 分層推進，實現(xiàn)目標(biāo)

問題3 請分別寫出ax2+bx+c>0（a>0）與ax2+bx+c<0（a>0）的解集.

學(xué)生合作交流，教師適當(dāng)點撥. 在師生積極的互動交流下，將問題3的結(jié)論整理成表1.

整理好表1后，要求學(xué)生解以下不等式：

①（x－2）（x－1）>0；②（x+3）（x－2）<0；③x2－5x+12>0；④x2－3x+2<0；⑤－x2－2x+3≥0；⑥（1－x）（x+1）≥0.

前四個不等式學(xué)生求解順手，但解最后兩個不等式時，不少學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)這兩個不等式的二次項系數(shù)為負數(shù)，依然按照前面幾道題的解法解題，出現(xiàn)了解題失誤. 為了避免這種現(xiàn)象的再次發(fā)生，教師提出以下問題，引發(fā)學(xué)生思考.

問題4 ax2+bx+c>0（a<0）與ax2+bx+c<0（a<0）的解集該怎么求？需不需要重新制作一張表格？

在這個問題的啟發(fā)下，有些細心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要將不等式兩邊同時乘以“－1”，即可將“a<0”的不等式轉(zhuǎn)化為“a>0”的不等式，問題便迎刃而解.

四個逐層遞進的問題，從特殊的一元二次不等式x2－x<0出發(fā)，將學(xué)生的思維逐漸引至一般情況下的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）與ax2+bx+c<0（a>0）.

以上探究過程，主題明確、層次清晰，學(xué)生的思維隨著一個個問題的突破呈螺旋式上升. 不僅深化了學(xué)生對一元二次不等式的理解，還從一定意義上幫助學(xué)生提煉了數(shù)學(xué)思想方法，為后續(xù)解決類似問題夯實了基礎(chǔ).

3. 拓展延伸，提升能力

要求學(xué)生思考并回答下列問題：

（1）已知（1，2）是關(guān)于x的不等式x2+px+q<0的解集，分別求實數(shù)p，q的值.

（2）已知｛xx<1或x>3｝為不等式ax2+bx+c>0的解集，求a∶b∶c的值.

（3）已知｛x10的解集，則函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞增區(qū)間是什么？

（4）已知｛xx∈R｝為不等式kx2+kx+2>0的解集，則實數(shù)k的取值范圍是什么？

以上四個問題的設(shè)置，不僅結(jié)合了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，還結(jié)合了知識的生長點. 雖然這四個問題具有一定的挑戰(zhàn)性，但由于學(xué)生有了之前兩個環(huán)節(jié)的探索基礎(chǔ)，因此仍然能順利完成解答，最終達到較高層次的認知水平.

幾點思考

1. 分層設(shè)計需要符合學(xué)生的實際認知水平

孔子在幾千年前就倡導(dǎo)“因材施教”“因人而異”的教學(xué)方式，布盧姆提出的掌握學(xué)習(xí)理論、維果茨基提出的最近發(fā)展區(qū)理論也都強調(diào)個體差異性的客觀存在，以及分層教學(xué)實施的必要性. 在有效教學(xué)實施過程中，強調(diào)結(jié)合學(xué)生的實際認知水平進行分層設(shè)計，這既是高考命題的潛在要求，也是教學(xué)實踐的切實需要.

從高考命題的角度來分析：高考考查的是學(xué)生的認知水平與思維能力，因此考題設(shè)計必須有一定的梯度. 教師將這些層次清晰、梯度明顯的內(nèi)容設(shè)置在日常教學(xué)中，能讓學(xué)生逐漸習(xí)慣這種逐層遞進的思維方式，為高考奠定一定的基礎(chǔ).

從教學(xué)實踐的角度來看：教師若在課堂中直接呈現(xiàn)具有挑戰(zhàn)性的問題，會嚴重消減基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓他們產(chǎn)生畏難心理. 低起點、小步子、多層次的引導(dǎo)能讓所有學(xué)生感受到學(xué)習(xí)帶來的成就感，從而建立學(xué)習(xí)信心，提高學(xué)習(xí)效率.

從本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計來看：教師用一元二次函數(shù)y=x2－x的圖象和x軸的交點與對應(yīng)方程的根的關(guān)系作為起點，使得基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也能順利融入本節(jié)課的教學(xué)之中.

分層推進的四個問題，有效啟發(fā)了學(xué)生的思維，讓學(xué)生明確了思考的方向. 問題1并沒有明確規(guī)定a>0的條件，由此引發(fā)學(xué)生對a>0與a<0兩種情況進行討論，以深化學(xué)生對不等式ax2+bx+c>0（a>0）中“a>0”這個條件的認識；問題2著重探索Δ>0時不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）的解集；問題3意在“逼迫”學(xué)生自主分析并確定a>0時不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集；問題4啟發(fā)學(xué)生自主解決a<0時不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集，以幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

2. 有效問題需要符合教學(xué)實際

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是學(xué)生思維的起點，有效教學(xué)離不開有效問題的引領(lǐng). 有效教學(xué)背景下的問題設(shè)計需要有明確的針對性，且與教學(xué)內(nèi)容相符合，具有啟思激趣、開發(fā)智力、挖掘潛能等功效.

首先，教師要結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、學(xué)情等綜合因素提出條理清晰、便于思考且針對性明確的問題，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機；其次，提出的問題要與學(xué)生的認識特點相匹配，學(xué)生通過努力能夠自主解決，即提出的問題應(yīng)落于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，讓學(xué)生“跳一跳，能摘到桃”；再次，提出的問題要有懸念性，有激發(fā)潛能與創(chuàng)造意識的作用，讓學(xué)生在問題的探索中形成自己獨特的見解，為個性發(fā)展奠定基礎(chǔ).

問題是有效教學(xué)的基礎(chǔ)，縱觀本節(jié)課的教學(xué)，每一個環(huán)節(jié)都在問題的引領(lǐng)下，讓課堂充滿了生機與活力. 如“拓展延伸”環(huán)節(jié)中的四個問題，由于問題“已知｛xx∈R｝為不等式kx2+kx+2>0的解集，則實數(shù)k的取值范圍是什么”的難度系數(shù)相當(dāng)大，若直接提出這個問題，很多學(xué)生都會選擇放棄. 但是有前三個問題作為基礎(chǔ)，順應(yīng)學(xué)生思維的發(fā)展提出這個問題，則水到渠成. 總而言之，符合學(xué)生實際認知水平的問題是實施有效教學(xué)的根本.

3. 豐富的課堂拓展渠道可以提高教學(xué)實效

實施有效教學(xué)，僅僅將目光停留在有限的教學(xué)任務(wù)上還遠遠不夠. 在教學(xué)中，適當(dāng)?shù)赝卣寡由鞂l(fā)學(xué)生的思維、完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)具有深遠意義. 從內(nèi)容上來看，拓展延伸是對教材知識的開拓和擴展，如知識的形成背景、數(shù)學(xué)史的介紹、概念的溯源以及思想方法的滲透等；從教學(xué)場所來看，拓展延伸應(yīng)走出教室，走向家庭、走向社會等；從時間來看，拓展延伸應(yīng)突破課堂有限的教學(xué)時間，可以是課外的延伸，也可以是借古鑒今的拓展……

多種渠道的拓展延伸，不僅能開闊學(xué)生的視野、豐富學(xué)生的知識，還能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生探索欲，為創(chuàng)新意識的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ)，這是實施有效教學(xué)的關(guān)鍵.

總之，有效教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求，是核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的基礎(chǔ). 教師應(yīng)與時俱進，不斷地學(xué)習(xí)并接納新的教育教學(xué)理念，利用一切手段踐行有效教學(xué)，讓每一個學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中張揚個性、挑戰(zhàn)自我、突破自我，獲得全面發(fā)展.