正六邊形蜂窩型空腹樓蓋撓度計算方法對比分析

劉宇杰，楊曉華，何嘉杰，張澤良

（湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

0 引言

在當(dāng)今社會經(jīng)濟(jì)建設(shè)及科學(xué)技術(shù)發(fā)展的飛快進(jìn)程下，各領(lǐng)域?qū)Χ鄬哟罂缍冉ㄖ囊笤絹碓礁?，對大跨度空間的要求也越來越高，這促使幾代學(xué)者、專家對各種新型結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行了深入探究[1]，以滿足建筑平面造型上和空間的需要，同時達(dá)到經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)和力學(xué)性能的要求。鋼-混凝土組合樓蓋是一種新型樓蓋[2]，其來源得益于鋼框架結(jié)構(gòu)與混凝土梁板結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展，一般由型鋼梁、混凝土板組成樓蓋。將混凝土樓蓋中的梁替換為型鋼梁，再通過抗剪連接件將2 種構(gòu)件組合，使其共同受力，發(fā)揮鋼材抗拉強(qiáng)度高、混凝土板抗壓性能好的特性[3]。

20 世紀(jì)末，貴州大學(xué)的馬克儉院士提出了空腹夾層板盒式結(jié)構(gòu)這一新型空間結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)之上研究出了鋼空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)，這是一種新的空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)以鋼筋混凝土空腹夾層板樓蓋理論為基礎(chǔ)，通過用型鋼做上下肋以及鋼管（圓形或方形）做剪力鍵，照常使用混凝土板作為表層板。相較于傳統(tǒng)的鋼筋混凝土空腹夾層板，鋼空腹夾層板具有多項優(yōu)勢[4]：1） 施工時不需要模板，制作上下肋和剪力鍵時無需養(yǎng)護(hù)，故施工周期縮減良多；2） 在約束樓蓋高度的情況下，鋼空腹夾層板的跨度要比傳統(tǒng)鋼筋混凝土空腹夾層板大很多；3） 在大、中型公共建筑以及工業(yè)廠房中獲得了良好的實用成效，與裝配式結(jié)構(gòu)的結(jié)合效果也很好。

近年來，空腹夾層板樓蓋已成為一種備受關(guān)注的新型樓蓋技術(shù)。學(xué)者們對這種能夠同時減少建筑物重量并提升其剛度和強(qiáng)度的新型結(jié)構(gòu)體系持有非常樂觀的態(tài)度，眾多學(xué)者對空腹夾層板樓蓋的計算方法進(jìn)行了廣泛研究。

張華剛等[5]采用擬夾層板，假定了計算中面的存在，并建立了空腹夾層板樓蓋的基本方程，引入了2個位移函數(shù)，用于表示3個廣義位移，并將基本方程簡化為關(guān)于位移函數(shù)的聯(lián)立方程組，從而成功地解決了這一問題。為對實際工程提供設(shè)計參考，張華剛等[6]利用有限元軟件觀察了8節(jié)點彈性塊體在豎向荷載作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，并分析了其變形形式和內(nèi)力的分布情況，研究了空腹夾層板的承載力設(shè)計問題，還詳細(xì)比較了空腹夾層板實用計算方法和有限單元法的承載力結(jié)果。肖建春等[7]基于結(jié)構(gòu)等效原則，推導(dǎo)出折算剪切剛度的計算公式，該公式是基于空腹網(wǎng)架擬交叉梁系法推導(dǎo)的，考慮了面板的作用和上、下弦層構(gòu)件不對稱的影響，從而擴(kuò)大了該方法的適用范圍，另外還提出了一個適用于空腹夾層板的折算剪切剛度計算式，該公式除考慮了上述因素外，還考慮了剪力鍵的剪切變形影響，適用于I型和Ⅱ型板。試驗分析表明，這些公式均具有較高的精度。趙子斌[8]提出了一種針對鋼筋混凝土空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)的分析方法，稱為等效撓度法，基于實用計算方法-等效剛度法，并對實際工程中的經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行了分析。經(jīng)過理論推導(dǎo)與驗證，該方法表現(xiàn)出可靠的理論依據(jù)，驗證的空腹梁模型與實腹梁模型的計算誤差均在5%以內(nèi)，滿足了工程計算精度要求。

綜上所述，當(dāng)前空間結(jié)構(gòu)研究的熱點趨向于正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋，但因為該結(jié)構(gòu)的設(shè)計計算比較繁雜，所以進(jìn)一步確定其簡化計算模型很有必要。因此，本文利用連續(xù)化方法、實用計算方法與有限單元法3 種空腹夾層板樓蓋的計算方法來計算樓蓋撓度，對比分析其差異，以期為相應(yīng)的設(shè)計提供一些有價值的參考。

1 連續(xù)化方法分析

鋼混組合的空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)也歸類于空腹網(wǎng)格結(jié)構(gòu)之一，其中使用的型鋼梁與圓管薄壁鋼剪力鍵都有著薄壁寬肢的特質(zhì)，然而構(gòu)造卻跟鋼筋混凝土空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)有所不同。但2 種樓蓋結(jié)構(gòu)因力學(xué)模型相似，可以采用連續(xù)化方法對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析[9]。采用連續(xù)化方法分析時，空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)的抗剪剛度是有限的[10]，因此連續(xù)化方法即考慮結(jié)構(gòu)剪切變形的擬夾層板法。

1.1 計算基本假設(shè)

對于配置非常繁密上下肋梁的空腹夾層板，平面網(wǎng)格的布設(shè)相對來說較為緊密，短跨方向板的網(wǎng)格數(shù)應(yīng)大于4。擬夾層板的上表層是根據(jù)混凝土薄板及空腹夾層板的上肋等效而成的，故而假設(shè)擬夾層板上表層在混凝土薄板的形心處，不考慮肋與板的偏心影響。在計算中，將空腹夾層板的下肋等效為下表層夾層板，假定下表層位于下肋截面形心處，即不計上、下表層的厚度，不計橫向剪力作用，僅考慮在平面內(nèi)受的軸力?？崭箠A層板里設(shè)置的剪力鍵被等效成擬夾層板的夾心層，夾心層的厚度即為剪力鍵的高度h，夾心層只受到橫向剪力而不受軸力作用。

假設(shè)垂直于板面的直線段在變形以后仍為一條直線，在撓曲之后與板面不再互相垂直，而是在yz、xy平面內(nèi)分別變化了一個角度ψx和ψy，即ψx≠?ω/?x,ψy≠?ω/?y，其中ω為撓度函數(shù)。

等效后的擬夾層板因上、下表層剛度的差別而沒有了對稱面；在計算時，上表面被選取為參考面,建立基本方程?；谝陨霞僭O(shè)，可根據(jù)彈性力學(xué)中橫向剪切變形的非經(jīng)典平板理論建立基本方程。

1.2 上、下表層剛度

在建立基本方程之前，因令擬夾層板等效替代鋼網(wǎng)格空腹夾層板，故先求出空腹夾層板的等效平面剛度，經(jīng)由連續(xù)化處理的平面交叉桿系如圖1所示。

圖1 肋系軸力與平面內(nèi)力的關(guān)系Fig.1 Relationship between axial force and plane internal force of rib system

一般情況下的上下肋為多組交叉的肋系，針對表層的第i組桿系，其物理方程[11]如下：

式中：Ni為軸力；E為彈性模量；Ai為截面面積；εi為軸向位移。

由肋系軸力Ni可知平面內(nèi)力為：

式中：li為第i向肋的間距；αi為x水平軸與xi軸的夾角。

根據(jù)彈性力學(xué)，肋系的應(yīng)變εi與平面內(nèi)的應(yīng)變εx、εy和εxy的關(guān)系可以表示為：

將式（5）代入式（1）可得：

再將上式代入式（2）～式（4）可得

將其表示為矩陣形式：

式中：[B]L為肋等效平面剛度矩陣。

空腹網(wǎng)架的網(wǎng)格體系一般有3 種（見圖2）：正交正放、正交斜放與三向網(wǎng)格?？紤]到施工方便，其各向肋的幾何尺寸均相同，對于三類網(wǎng)格體系，可分別寫出其肋的等效平面剛度。

圖2 空腹網(wǎng)架的網(wǎng)格體系Fig.2 Grid system of open web grid

由式（12）～（14）可知，三向網(wǎng)格是一種各向同性體，三向網(wǎng)格的平面剛度極其接近平板平面剛度，完全等效于厚度為δ、泊松比v= 1/3的各向同性板。

對于以上3 種網(wǎng)格形式，肋的等效平面剛度矩陣皆可表示為：

其中，各剛度系數(shù)分別為：

空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)中混凝土薄板剛度平面可表示為：

1.3 等效剪切剛度

以雙向網(wǎng)格體系推導(dǎo)空腹夾層板一榀單方向空腹板架的折算剪切剛度計算公式。用擬交叉梁系法計算鋼網(wǎng)格空腹夾層板的夾心層等效剪切剛度。在滿足1.1 節(jié)的基本假定外，補(bǔ)充以下假定：1）剪力鍵截面相同；2） 上下肋的反彎點在桿件中間；3） 忽略扭轉(zhuǎn)變形。以剪力鍵為中心，典型區(qū)間的網(wǎng)格尺寸為Δ。上肋材料彈性模量為E1，截面慣性矩為I1；下肋材料彈性模量為E2，截面慣性矩為I2；剪力鍵彈性模量為Ev，截面慣性矩為Iv，將此區(qū)間等效成尺寸為Δ×h、剛度相同的梁元，等效梁元原理如圖3 所示。

圖3 等效梁元原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of equivalent beam element principle

在此區(qū)間的剪切單元中，上、下弦構(gòu)件剪力分別為V1、V2，水平力為H，剪切單元總剪力為V。由平衡原理可知：

用圖乘法計算區(qū)間剪切單元的剪切變形γ0：

因為剪力鍵自身尺寸問題：寬度大、高度小，需計算自身剪切應(yīng)變：

式中：k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)[13]；Gv為剪力鍵的剪切模量；Av為剪力鍵截面面積。

因此，典型區(qū)間剪切單元最終剪切應(yīng)γ為：

即等效鋼元的剪切變形γ′為：

式中：C為折減剪切剛度。

得出第i組肋系剪力Qi為：

式中：γi為xi方向的橫向剪切應(yīng)變。

因此得出擬夾層板的剪力Qx與Qy，即：

由材料力學(xué)可知，任意方向的橫向剪切應(yīng)γi=γxcosαi+γysinαi，可得：

將其改寫成矩陣形式：

其中，[C]的系數(shù)表達(dá)式分別為：

3種空腹夾層板網(wǎng)格形式的剪切剛度矩陣如下。

（1） 正交正放網(wǎng)格。令i=1、2，a1=0，a2=π/2，則有：

剪切剛度矩陣為：

（2） 正交斜放網(wǎng)格。令i=1、2，l1=l2=l，a1=π/4，a2=-π/4，C1=C2=C，則有：

剪切剛度矩陣為：

（3） 三向網(wǎng)格。令i=1、2、3，l1=l2=l3=l，a1=0，a2=π/3，a3=-π/3，C1=C2=C3=C，則有：

剪切剛度矩陣為：

1.4 基本方程

由基本假定確立擬夾層板上表層作為計算參考面，用擬夾層板的轉(zhuǎn)角ψx、ψy和撓度γ建立基本力學(xué)方程。

（1） 擬夾層板的幾何方程為：

式中：εa、εb為上、下表層的平面應(yīng)變；χ為擬夾層板的彎曲應(yīng)變，計算參考面如圖4所示。

圖4 計算參考面Fig.4 Calculation reference surface

（2） 擬夾層板物理方程為：

式中：Na、Nb為上、下表層內(nèi)力：N為整體的軸力；M為整體的彎矩；Q為橫向剪力。

根據(jù)式（32）可解得εa與M：

式中：b為擬夾層板的薄膜柔度矩陣；K為擬夾層板的耦合矩陣；D為擬夾層板的抗彎剛度矩陣。

各矩陣表達(dá)式如下：

（3） 平衡方程。空腹夾層板一般只承受施加在混凝土薄板的均布面荷載，擬夾層板的平衡方程為：

連續(xù)性方程為：

引入應(yīng)力函數(shù)?，可得：

用應(yīng)力函數(shù)?與轉(zhuǎn)角ψx、ψy表示M、εa，可得表達(dá)式如下：

式（47）和式（48）是以應(yīng)力函數(shù)?與3 個廣義位移ψx、ψy、ω為主未知量的基本微分方程。

2 實用計算方法分析

對空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)軟件計算，常使用空腹夾層板樓蓋結(jié)構(gòu)實用計算方法，該方法以抗彎剛度等效為原則，將樓蓋結(jié)構(gòu)中的上下肋簡化為上下表層薄板，剪力鍵簡化為薄板之間的夾心層，如圖5所示。

蜂窩型空腹夾層板樓蓋高為h0，實腹H 型鋼梁高為h1，可得：

設(shè)b=b1，f=f1，可得：

3 有限單元法分析

有限單元法是以結(jié)構(gòu)矩陣分析為原理的數(shù)值分析方法，隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，其在實際工程中的應(yīng)用越來越廣泛。目前有限單元法可提供各種充足的單元種類與形式，其采用結(jié)點位移與位移導(dǎo)數(shù)構(gòu)造板、實體等單元，可基本符合實際工程的各種限制與要求。

有限單元法對于各種場景皆適用，無幾何形狀、邊界條件、荷載布置的約束，材性亦不受制于各向同性。此外，有限單元法能結(jié)合具有行為相異和不同數(shù)學(xué)描述的分量，借助對網(wǎng)格的劃分大小進(jìn)行調(diào)整，從而對精度進(jìn)行調(diào)控。有限單元法計算步驟是：先將結(jié)構(gòu)離散化為若干單元，再用結(jié)點把這些單元體連接起來。賦予每個單元不同編號并求解剛度矩陣，再將不同單元的剛度矩陣綜合為整體剛度矩陣。結(jié)構(gòu)受力是平衡的，邊界條件矩陣由整體剛度和撓度矩陣相乘所得，當(dāng)邊界條件及剛度矩陣已知時即可反推位移矩陣。最后，將結(jié)構(gòu)的幾何與物理方程相結(jié)合，得到結(jié)構(gòu)的全部力學(xué)特性。

4 3種計算方法的對比分析

4.1 工程概況

以擬建設(shè)的一棟5 層鋼混組合正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋空間盒式結(jié)構(gòu)房屋為對象，該建筑為多層大跨度工業(yè)廠房，建筑內(nèi)部需設(shè)置大空間，需要在建筑四周布置鋼筋混凝土框架柱。該建筑結(jié)構(gòu)安全設(shè)計等級為二級，建筑抗震設(shè)防為7 度，設(shè)計地震分組為第一組，場地類別為Ⅲ類。建筑底層層高6.0 m，標(biāo)準(zhǔn)層層高4.5 m。由于建筑內(nèi)部不允許布置豎向框架柱，樓蓋跨度較大，需采用適合大跨度的樓蓋結(jié)構(gòu)體系。鋼混組合正六邊形蜂窩型空腹夾層板空間盒式結(jié)構(gòu)平面布置如圖6所示。

圖6 正六邊形蜂窩型平面布置圖（單位：mm）Fig.6 Layout plan of regular hexagon honeycomb type

鋼混組合正六邊形蜂窩型空腹夾層板空間盒式結(jié)構(gòu)樓蓋建筑平面由多個邊長為2.0 m 的正六邊形空間網(wǎng)格組成，建筑平面短跨方向尺寸為20.8 m，長跨方向尺寸為46.0 m?，F(xiàn)澆鋼筋混凝土框架柱沿建筑四周布置。在建筑短跨方向，正六邊形網(wǎng)格樓蓋與邊梁組成等腰三角形，框架柱布置在邊梁節(jié)點上，柱間間距為3.464 m；在建筑長跨方向，部分正六邊形網(wǎng)格樓蓋一部分即為邊梁，另一部分與邊梁組成梯形，框架柱布置在邊梁節(jié)點上，柱間間距分別為4.0 m和2.0 m。

4.2 設(shè)計參數(shù)

空間盒式結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面尺寸見表1。

表1 空間盒式結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面尺寸Tab.1 Sectional dimensions of space box structure members單位：mm

4.3 有限單元法

運用大型有限元結(jié)構(gòu)分析軟件（ANSYS）對空間結(jié)構(gòu)分析模型進(jìn)行構(gòu)建，主要分4 個基本環(huán)節(jié)：幾何模型的建立、有限元模型的生成、加載及求解和結(jié)果的評估及分析。本節(jié)為3 種計算方法的對比分析，因此只建立底層空腹夾層板有限元模型。

采用2D 實體BEAM188 單元模擬上下肋鋼梁、鋼結(jié)構(gòu)剪力鍵和建筑四周現(xiàn)澆混凝土框架柱；采用SHELL181 板單元模擬樓蓋上表層混凝土薄板[14]。鋼結(jié)構(gòu)空腹夾層梁與建筑四周現(xiàn)澆混凝土柱的連接方式為公共節(jié)點剛接，空腹夾層板周邊混凝土柱底節(jié)點施加沿3 個坐標(biāo)軸位移為零和轉(zhuǎn)角為零的邊界條件[15]。各構(gòu)件的參數(shù)見表2。結(jié)構(gòu)分析模型樓面外荷載依據(jù)GB 50010—2010《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》相關(guān)要求，建筑樓面恒荷載標(biāo)準(zhǔn)值為4.4 kN/m2，活載標(biāo)準(zhǔn)值為5.0 kN/m2；不上人屋面恒載標(biāo)準(zhǔn)值為4.4 kN/m2，活載標(biāo)準(zhǔn)值為0.5 kN/m2。有限元結(jié)構(gòu)分析模型各層樓面輸入均布荷載設(shè)計值為13.2 kN/m2，不上人屋面均布荷載設(shè)計值為6.5 kN/m2。

表2 空間盒式結(jié)構(gòu)各構(gòu)件材料參數(shù)Tab.2 Material parameters of components of space box structure

在有限元分析模型中，框架柱每層劃分為一個單元；空腹夾層板樓蓋六邊形網(wǎng)格每邊鋼結(jié)構(gòu)上肋梁、下肋梁劃分為一個單元；六邊形網(wǎng)格交點處連接上下肋梁的豎向構(gòu)件剪力鍵劃分為一個單元；上表面現(xiàn)澆混凝土樓板以形心為交點，沿六邊形網(wǎng)格邊劃分為6 個正三角形板單元。正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋有限元模型如圖7所示。

圖7 正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋有限元模型Fig.7 Finite element model of hexagonal honeycomb open web sandwich panel floor

不考慮抗震墻對結(jié)構(gòu)的影響，僅在結(jié)構(gòu)模型第一層混凝土薄板上布置方向向下的均布面荷載13.2 kN/m2。位移云圖如圖8所示。

圖8 正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋位移云圖（單位：m）Fig.8 Displacement nephogram of hexagonal honeycomb openweb sandwich panel floor

4.4 實用計算方法

以抗彎剛度等效為原則將鋼空腹樓蓋等效為實腹H 型鋼梁體系，得到蜂窩型實腹梁樓蓋腹板厚度d1：

即實腹H 型鋼梁的尺寸為Hh1×b1×d1×f1=1 000 mm×300 mm×11 mm×18 mm。用ANSYS 建立的等效鋼實腹樓蓋有限元模型及位移云圖如圖9 和圖10 所示，其中鋼實腹樓蓋結(jié)構(gòu)中，每個正六邊形蜂窩型網(wǎng)格中鋼實腹H 型梁劃分為一個單元，上表面現(xiàn)澆混凝土樓板同樣以形心為交點，沿六邊形網(wǎng)格邊劃分為6 個正三角形板單元。樓蓋模型除自重外，輸入相同均布面荷載13.2 kN/m2。

圖9 正六邊形蜂窩型等效實腹樓蓋有限元模型Fig.9 Finite element model of hexagonal honeycomb equivalent solid web floor

圖10 正六邊形蜂窩型等效實腹樓蓋位移云圖（單位：m）Fig.10 Displacement nephogram of hexagonal honeycomb equivalent solid web floor

4.5 擬夾層板法

根據(jù)第1 節(jié)式（48）編制MATLAB 計算程序，計算了各考察點撓度，考察點示意圖如圖11 所示。匯總了3 種方法得到的剪力鍵底部的撓度值，見表3。

表3 工程算例樓蓋撓度值Tab.3 Engineering calculation example floor deflection單位：mm

圖11 正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋考察點示意圖Fig.11 Schematic diagram of inspection points for hexagonal honeycomb open web sandwich plate floor

由圖8、圖10與表3可知，用有限單元法、實用計算法、擬夾層板法計算鋼混組合正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋變形時，樓蓋撓度的變化規(guī)律相同，均為中間大、兩邊小。對于樓蓋中間測點的撓度，實用計算方法所得撓度值最小，為41.67 mm；擬夾層板法所得撓度值最大，為45.64 mm；實用計算方法與擬夾層板法在各點的撓度值最大誤差為11.51%。3 種計算方法都滿足工程精度的要求，因此3 種算法都可用于鋼混組合正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋的變形計算。

5 結(jié)論

本文利用連續(xù)化方法、實用計算方法與有限單元法3 種空腹夾層板樓蓋的計算方法計算正六邊形蜂窩型夾層板樓蓋撓度，對比分析得到如下結(jié)論：

（1） 對連續(xù)化方法進(jìn)行了公式推導(dǎo)，得出了空腹夾層板樓蓋的抗彎剛度矩陣，該方法有一定的理論依據(jù)，求得的結(jié)果滿足理論與工程誤差要求，說明該方法可以使用。

（2） 實用計算方法結(jié)果最為保守，擬夾層板法結(jié)果最大，有限單元法結(jié)果居中，但三者差距不大，均能滿足工程計算精度的要求，因此3 種計算方法都可應(yīng)用于鋼混組合正六邊形蜂窩型空腹夾層板樓蓋的變形計算。