楊森公式和深倉(cāng)側(cè)壓力計(jì)算

張美梅，李新南

（上海市建筑材料工業(yè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200032）

0 引言

圓筒倉(cāng)（深倉(cāng)）廣泛應(yīng)用于建材和糧食等行業(yè)的物料貯存。目前，對(duì)于深倉(cāng)側(cè)壓力的計(jì)算，國(guó)內(nèi)外普遍采用楊森計(jì)算公式。在GB 50077—2003 《鋼筋混凝土筒倉(cāng)設(shè)計(jì)規(guī)范》中也明確規(guī)定，深倉(cāng)側(cè)壓力計(jì)算以楊森公式為主，并輔乘修正系數(shù)來(lái)進(jìn)行調(diào)整。這種計(jì)算方法已延續(xù)多年，但我們?cè)谝糜?jì)算公式時(shí)發(fā)現(xiàn)，楊森公式無(wú)論在計(jì)算假設(shè)還是在計(jì)算所得結(jié)果方面均存在很多問(wèn)題。因此，必須深入研究這些問(wèn)題產(chǎn)生的根源并予以解決。筆者依據(jù)散粒體的物理特性，在研究和分析楊森公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出新的深倉(cāng)側(cè)壓力的計(jì)算公式。

1 楊森公式的運(yùn)用及問(wèn)題分析

當(dāng)前計(jì)算圓形深倉(cāng)中的散粒體對(duì)倉(cāng)壁和倉(cāng)底所產(chǎn)生的壓力時(shí)，楊森公式的推導(dǎo)依據(jù)如下。

假設(shè)散粒體任意一點(diǎn)（包括倉(cāng)壁）的水平壓力qx與垂直壓力qz成正比。即：

式中：Ka為主動(dòng)側(cè)壓力系數(shù)。

假設(shè)散粒體沿倉(cāng)壁滑動(dòng)的阻力為τ:

式中：f0= tanφ0為散粒體與倉(cāng)壁的摩擦因數(shù)；φ0為散粒體與倉(cāng)壁的摩擦角。

在距倉(cāng)頂深度為Z處取一層厚度為dz的貯料單元體，如圖1 所示。單元體上的作用力有：自重γFdz（F為單元體面積，γ為散粒體重度），垂直壓力qz和下面的反力qz+ dqz，倉(cāng)壁上的滑動(dòng)阻力τ。列出在各力作用下的平衡方程，對(duì)該方程進(jìn)行積分，最后得到楊森公式中垂直壓力qz的計(jì)算式：

圖1 貯料單元體受力示意Fig.1 Schematic diagram of the force of the storage unit

倉(cāng)壁的水平壓力qx可利用式（1）求解。雖然楊森公式已成功應(yīng)用于深倉(cāng)的設(shè)計(jì)實(shí)踐，但是早期依據(jù)楊森公式設(shè)計(jì)的鋼筋混凝土深倉(cāng)屢次出現(xiàn)問(wèn)題，主要表現(xiàn)在倉(cāng)壁出現(xiàn)垂直裂縫。許多學(xué)者為追查原因而進(jìn)行多次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)式（3）給出的計(jì)算壓力與實(shí)際壓力相比偏小，因而許多國(guó)家的筒倉(cāng)計(jì)算規(guī)程和我國(guó)的筒倉(cāng)計(jì)算規(guī)范規(guī)定：倉(cāng)底長(zhǎng)度為2/3倉(cāng)高的下部倉(cāng)壁的水平壓力qx比式（3）計(jì)算出的水平壓力增大一倍。由此可見(jiàn)，楊森公式是一個(gè)被試驗(yàn)所推翻的計(jì)算公式，可以說(shuō)楊森公式的假設(shè)是不成立的。

前蘇聯(lián)學(xué)者克列因認(rèn)為：試驗(yàn)結(jié)果與楊森公式的差別主要是按式（1）給出的主動(dòng)側(cè)壓力系數(shù)Ka偏低。因?yàn)閯傂詡}(cāng)壁的彈性位移太小，散粒體不可能出現(xiàn)完整的滑動(dòng)面，不可能產(chǎn)生主動(dòng)側(cè)壓力。所以克列因主張?jiān)谟?jì)算時(shí)采用靜止側(cè)壓力系數(shù)K0，它比極限狀態(tài)下的Ka值大很多，例如谷物的平均Ka= 0.3，而K0= 0.7。

依據(jù)克列因的分析，分別采用Ka= 0.3 和K0=0.7代入式（1）和式（3）進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果是：2種情況下的倉(cāng)底水平壓力幾乎一致，但倉(cāng)底的垂直壓力卻有差距，與實(shí)際壓力相比，式（3）所得結(jié)果還是偏小很多，由此可見(jiàn)，楊森公式計(jì)算所得結(jié)果比實(shí)際壓力偏小的原因不是主動(dòng)側(cè)壓力系數(shù)Ka偏低，而在于假設(shè)基本不成立。

對(duì)式（3）進(jìn)行研究和分析后得到：式（3）給出的計(jì)算壓力比實(shí)際壓力偏小的原因在于楊森公式的第二條假設(shè)：考慮散粒體沿倉(cāng)壁滑動(dòng)的阻力τ，這個(gè)阻力τ的計(jì)算值很大，致使倉(cāng)底的垂直壓力減小很多。由于qz減小，倉(cāng)底的水平壓力qx也隨之減小?，F(xiàn)通過(guò)計(jì)算例題進(jìn)行說(shuō)明。

設(shè)有一組深倉(cāng)，高h(yuǎn)=20 m；內(nèi)徑D分別為5、8、10、12 m；γ=17 kN/m3；散粒體的內(nèi)摩擦角φ= 30°，散粒體與倉(cāng)壁的摩擦角φ0= 25°。

按式（3）和式（1）計(jì)算出每種倉(cāng)的倉(cāng)底垂直壓力qz和倉(cāng)底水平壓力qx。每種倉(cāng)散粒體總重W，每種倉(cāng)倉(cāng)壁總的摩擦阻力∑τ，∑τ和W的比值，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 各種內(nèi)徑筒倉(cāng)qz、qx、W、∑τ和β的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results of qz、qx、W、∑τ and β of various inner diameter silos

（1）當(dāng)不考慮阻力τ時(shí)，深倉(cāng)倉(cāng)底的垂直壓力應(yīng)為：qz=γh= 17 kN/m3× 20 m = 340 kPa?？紤]阻力τ后，倉(cāng)底的qz減小很多。如D=5 m 的深倉(cāng)，qz由340 kPa 減小至126 kPa，β=0.63。即使是D=12 m 的深倉(cāng)，qz也由340 kPa 減小至211 kPa，倉(cāng)中散粒體的重力很多都轉(zhuǎn)至倉(cāng)壁上，致使倉(cāng)底的qz和qx均比實(shí)際壓力小很多。

（2）計(jì)算深倉(cāng)時(shí)，是否應(yīng)考慮τ值？按照楊森公式的假設(shè)，散粒體沿倉(cāng)壁滑動(dòng)而產(chǎn)生阻力τ。但是當(dāng)貯料靜止時(shí)，散粒體不產(chǎn)生滑動(dòng)，因而阻力τ也不存在?？紤]了阻力τ以后，將使計(jì)算偏于不安全，計(jì)算所得的垂直壓力qz和水平壓力qx大幅度減小。結(jié)構(gòu)計(jì)算的基本原則是考慮最不利的因素，而考慮阻力τ是有利因素。

2 “新的”深倉(cāng)側(cè)壓力的計(jì)算

基本假設(shè)如下：1）依據(jù)散粒體的物理特性，深倉(cāng)中散粒體對(duì)倉(cāng)壁的作用力為E，其方向是由散粒體的內(nèi)摩擦角φ指向倉(cāng)壁；2）由于深倉(cāng)倉(cāng)壁的剛度很大，在計(jì)算時(shí)采用靜止側(cè)壓力系數(shù)K0；3）倉(cāng)中散粒體除了對(duì)倉(cāng)壁產(chǎn)生水平壓力qx外，還對(duì)倉(cāng)壁產(chǎn)生垂直壓力qy。

在深倉(cāng)截面中，采用單位圓周長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的扇形截面abo作為計(jì)算單元，如圖2所示。

圖2 圓庫(kù)貯料受力示意Fig.2 Schematic diagram of the force of the circular warehouse storage

圖2 中，E為散粒體對(duì)倉(cāng)壁所產(chǎn)生的作用力，力的作用方向是由散粒體的內(nèi)摩擦角φ指向倉(cāng)壁；Gz為距倉(cāng)頂深度Z處扇形截面abo中的散粒體重量；qx為散粒體對(duì)倉(cāng)壁所產(chǎn)生的水平壓力，即靜止側(cè)壓力；qy為散粒體合力E對(duì)倉(cāng)壁所產(chǎn)生的垂直壓力。

式中:Kw0為單位重量散粒體的靜止側(cè)壓力系數(shù)。

目前引用的都是單位重量散粒體的靜止側(cè)壓力系數(shù)K0，依據(jù)靜止側(cè)壓力系數(shù)的定義：靜止側(cè)壓力系數(shù)為水平應(yīng)力σh和垂直應(yīng)力σv的比值，即：

但是目前所引用的靜止側(cè)壓力系數(shù)K0卻不符合定義。目前計(jì)算靜止側(cè)壓力的公式為：

圖3 散粒體作用于擋墻示意圖Fig.3 Schematic diagram of the action of the bulk particles on the retaining wall

由式（9）和式（10）得：

在距倉(cāng)頂深度為Z處扇形面積上散粒體的重量為：

式中：R為深倉(cāng)半徑。

重量為Gz的散粒體對(duì)倉(cāng)壁所產(chǎn)生的靜止側(cè)壓力即水平壓力為：

因?yàn)橛?jì)算所取的單元為扇形，而扇形面積僅為矩形面積的一半，所以在求水平壓力qx時(shí)，必須乘上面積折減系數(shù)S=0.5，此時(shí)式（13）改為：

依據(jù)散粒體的物理特性，散粒體對(duì)倉(cāng)壁作用力E的方向是由散粒體的內(nèi)摩擦角φ指向倉(cāng)壁，因此散粒體除了對(duì)倉(cāng)壁產(chǎn)生水平壓力qx外，還對(duì)倉(cāng)壁產(chǎn)生垂直壓力qy：

單元體中散粒體的重量原是Gz，由于產(chǎn)生垂直壓力qy，因而Gz減小為：

由于散粒體的重量由Gz減小為G，因而散粒體對(duì)倉(cāng)壁所產(chǎn)生的水平壓力qx為：

代入式（15），整理后得到倉(cāng)底垂直壓力的計(jì)算式為：

由式（19）可知，倉(cāng)底垂直壓力僅與倉(cāng)高H和φ有關(guān)，而與倉(cāng)徑大小無(wú)關(guān)。

計(jì)算例題：深倉(cāng)內(nèi)徑D=10 m，高h(yuǎn)=20 m，γ=17 kN/m3，φ=30°，靜止側(cè)壓力系數(shù)K0= 1 - sinφ=0.5，要求計(jì)算倉(cāng)底水平壓力和倉(cāng)底垂直壓力。

倉(cāng)底單元扇形面積上散粒體重量GH為：

單元散粒體對(duì)倉(cāng)壁所產(chǎn)生的垂直壓力qy為：

3 算例及分析

為了研究和分析深倉(cāng)中散粒體產(chǎn)生的水平壓力和倉(cāng)底垂直壓力，對(duì)一組深倉(cāng)進(jìn)行計(jì)算。

設(shè)有一組鋼筋砼深倉(cāng)：倉(cāng)高h(yuǎn)均為20 m；倉(cāng)直徑D分別為5、8、10、12 m；貯料的散粒體內(nèi)摩擦角φ為40°、35°、30°和25°；散粒體重度γ=17 kN/m3，散粒體與倉(cāng)壁的摩擦因數(shù)f0=0.466；靜止側(cè)壓力系數(shù)K0=1 - sinφ。計(jì)算倉(cāng)底垂直壓力和水平壓力。

按以下3 種計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算：1） 楊森公式。2） “筒倉(cāng)計(jì)算規(guī)范”所規(guī)定的方法。3） 本文所推導(dǎo)的公式。結(jié)果詳見(jiàn)表2。依據(jù)表2中計(jì)算結(jié)果可知：

表2 用3種公式計(jì)算所得各直徑深倉(cāng)不同貯料的水平、垂直壓力Tab.2 Horizontal and vertical pressure results of different storage materials of each diameter deep silo calculated from 3 formulas

（1） 楊森公式計(jì)算所得結(jié)果的確偏小很多。

（2） 楊森公式假設(shè)散粒體對(duì)倉(cāng)壁的作用力是垂直于倉(cāng)壁的，這不符合散粒體的物理特性。依據(jù)散粒體的物理特性：散粒體對(duì)倉(cāng)壁的作用力方向是由散粒體的內(nèi)摩擦角φ指向倉(cāng)壁。

（3） 楊森公式引用主動(dòng)側(cè)壓力系數(shù)Ka來(lái)計(jì)算散粒體的側(cè)壓力。由于倉(cāng)壁不存在位移，實(shí)際上這個(gè)系數(shù)在計(jì)算中是不存在的。

（4） “筒倉(cāng)設(shè)計(jì)規(guī)范”對(duì)深倉(cāng)側(cè)壓力的計(jì)算規(guī)定以楊森公式計(jì)算為依據(jù)，考慮到楊森公式計(jì)算結(jié)果比實(shí)際壓力偏小太多，因而在使用楊森公式計(jì)算時(shí)，引用貯料壓力的修正系數(shù)C，使楊森公式計(jì)算所得結(jié)果比較符合實(shí)際壓力?！耙?guī)范”規(guī)定，倉(cāng)底垂直壓力的修正系數(shù)Cv=1.4；在長(zhǎng)度為2/3 倉(cāng)高的下部倉(cāng)壁，倉(cāng)底水平壓力的修正系數(shù)Ch=2.0。按照楊森公式的假定：散粒體的任意一點(diǎn)的垂直壓力qz與水平壓力qx成比例，為什么在引入修正系數(shù)C進(jìn)行調(diào)整時(shí)，水平壓力qx的修正系數(shù)Ch=2.0，而垂直壓力qz的修正系數(shù)Cv=1.4？這是由于引用了偏小的修正系數(shù)，使得垂直壓力的計(jì)算結(jié)果偏小很多。

本文所推導(dǎo)的計(jì)算公式主要依據(jù)是引用了散粒體的靜止側(cè)壓力，因而靜止側(cè)壓力系數(shù)K0的取值是否恰當(dāng)，將影響到壓力的計(jì)算值是否符合真實(shí)的壓力值。在表2 中，計(jì)算所采用的K0值是引用Jaky 所提出的K0= 1 - sinφ的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式。該式是在大量室內(nèi)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上經(jīng)統(tǒng)計(jì)而得到的。由于是經(jīng)驗(yàn)公式，不可能把全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)都?xì)w納進(jìn)去，因而誤差難以避免。由于K0值的不定性，導(dǎo)致本文計(jì)算公式所得結(jié)果與實(shí)際壓力可能存在偏差。

按“規(guī)范”規(guī)定：楊森公式計(jì)算結(jié)果乘以修正系數(shù)后所得的壓力值存在3 種情況：1） 與實(shí)際壓力相符合；2） 比實(shí)際壓力偏大；3） 比實(shí)際壓力偏小。

4 結(jié)語(yǔ)

本文推導(dǎo)得出的公式主要依據(jù)散粒體的物理特性，以及假設(shè)圓筒倉(cāng)中散粒體所產(chǎn)生的側(cè)壓力是靜止側(cè)壓力。公式的物理概念清楚且計(jì)算簡(jiǎn)單。由實(shí)例計(jì)算結(jié)果得知，本文公式計(jì)算所得結(jié)果與“規(guī)范”所規(guī)定的計(jì)算方法所得結(jié)果比較接近，有些甚至是相同的。