為什么身份證號尾號會出現(xiàn)"X"

郭園園

目前我國居民身份證號碼總共是18位，前17位都有具體含義：前6位是首次辦身份證時所在的省、市、區(qū)的代碼，中間8位是持證人的出生年、月、日，后面3位是申請戶籍時派出所的分配碼。唯獨(dú)最后一位數(shù)字，是對前面的數(shù)字進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算后得出的，它是一個校驗碼。有的人會問：“為什么我身份證號的最后一位是字母X？”其實，這并不是字母X，而是羅馬數(shù)字Ⅹ。為什么不寫成10呢？因為如果寫成10，身份證號就變成19位了。在編碼學(xué)中，不一樣的數(shù)位不太容易存儲和使用。那為什么最后一位的校驗碼會算出10呢？其實，這種算法已經(jīng)有上千年的歷史了。

來自絲綢之路的數(shù)學(xué)

首先，我們來看一種古老的算法：棄九法。

15世紀(jì)初，撒馬爾罕城的統(tǒng)治者兀魯伯格很愛鉆研科學(xué)。他編訂了《兀魯伯格歷》。這么喜歡科學(xué)的一個人，當(dāng)然也很喜歡從帝國境內(nèi)網(wǎng)羅各種數(shù)學(xué)、天文學(xué)人才。

阿爾·卡西是兀魯伯格手下的首席科學(xué)家，也是兀魯伯格天文臺的第一任臺長。當(dāng)時的首席科學(xué)家不僅要幫助皇帝解決最困難的數(shù)學(xué)、天文學(xué)問題，還要給帝國境內(nèi)的工匠、官員，還有兒童、青少年編訂數(shù)學(xué)書。他編的這本書的名字叫《算術(shù)之鑰》，就是算術(shù)的鑰匙的意思。這本書囊括了跟今天小學(xué)和初中數(shù)學(xué)類似的內(nèi)容：算術(shù)、代數(shù)、幾何，書的第一卷講的是整數(shù)的運(yùn)算，比如加法、減法、乘法、除法，其中有一個算法很有意思，叫棄九法。

要了解棄九法，首先要弄清楚什么叫棄九數(shù)。比如，數(shù)字3217，把它每一位上的數(shù)字連續(xù)相加，3加2加1加7等于13；繼續(xù)把13的每一位上的數(shù)字相加，1加3等于4。直到得到個位數(shù)字4為止，這個4就是3217的棄九數(shù)。其實這個棄九數(shù)就是3217除以9之后的余數(shù)，只不過這種連續(xù)相加的方法是一種快速算法。

棄九數(shù)有什么用？它最主要的作用是檢驗運(yùn)算是否準(zhǔn)確。比如，現(xiàn)在要檢查3169乘以732等于2319708是否正確。如果沒有別的方法的話，只能把它重新算一遍。但是用棄九法，首先把3169的棄九數(shù)求出來——1，再算出732的棄九數(shù)——3，接著算出2319708的棄九數(shù)——3，最后我們核驗一下1乘以3等于3，結(jié)果是正確的。這就是古人的驗算方法，其中充滿了智慧。大部分的數(shù)學(xué)知識，對普通人來講就是為了應(yīng)用。

阿爾·卡西作為首席科學(xué)家輔佐兀魯伯格制定天文歷法的時候，需要進(jìn)行大量運(yùn)算。為了達(dá)到高精度的運(yùn)算，阿爾·卡西也需要檢驗。作為一流的數(shù)學(xué)家，他在思考高維問題的時候比普通人具有優(yōu)勢，但如果只是比純粹的加減乘除運(yùn)算，數(shù)學(xué)家與普通人之間其實并無差別。

從棄九到同余

隨著歐洲文藝復(fù)興運(yùn)動的開展，阿拉伯的許多算法傳到了歐洲。而從明朝開始，西方的數(shù)理科學(xué)知識大量傳入我國，形成西學(xué)東漸。

在棄九法發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)家們又逐漸認(rèn)識到棄七法、棄十一法、棄十三法等。這些方法都屬于今天初等數(shù)論中的同余理論。同余理論在我們?nèi)粘Ｉ钪斜容^常見的應(yīng)用是什么？答案是計算校驗碼。

和我們生活最息息相關(guān)的校驗碼就是身份證號尾號。平日里，我們經(jīng)常需要在手機(jī)或者電腦上輸入身份證號，輸入這么長的數(shù)字很容易輸錯，有了第18位校驗碼，就能及時發(fā)現(xiàn)錯誤。只要一個小小的校驗碼，就可以保證整個系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

那它是怎么算的？主要分3步：首先身份證號碼總共18位，把前17位號碼依次乘以指定的系數(shù)，第一位乘以7，第二位乘以9，第三位乘以10……這在數(shù)學(xué)上叫作加權(quán)因子；然后，把這17個乘積相加；最后，用所得和數(shù)除以11，看余數(shù)是多少。

某一個很大的數(shù)除以11，它的余數(shù)有多少種可能？如果整除的話，余數(shù)看成0；如果沒有整除，余數(shù)可能出現(xiàn)1、2、3、4、5、6、7、8、9，還有可能出現(xiàn)10，但是不可能出現(xiàn)11。按規(guī)定，不同的余數(shù)對應(yīng)著不同的校驗碼。比如余數(shù)是0的時候，它對應(yīng)的校驗碼就是1；余數(shù)是1的時候，它對應(yīng)的校驗碼就是0；余數(shù)是2的時候，它對應(yīng)的校驗碼是Ⅹ……這就是身份證號的最后一位可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、Ⅹ的原因。

校驗碼無處不在

在日常生活中，校驗碼是非常常見的。

平常去商店或者超市購物，你會看見條形碼。條形碼的最后一位也是校驗碼。識別的時候，只用拿掃描槍掃一下，機(jī)器就能根據(jù)條形碼的粗細(xì)來識別不同的數(shù)字。

條形碼蘊(yùn)含的信息太少了，畢竟只有幾個數(shù)字。所以除了條形碼，我們還有二維碼，二維碼蘊(yùn)含的信息更多。二維碼中的黑白小格，實際上就是數(shù)字0和1。它不僅含有校驗碼，還有其他信息，比如識別碼。

平常在掃二維碼的時候，如果拿手蓋住一塊，是不是還可以掃出來；或者二維碼有一些地方破損了，但是依然可以掃出來。這就是識別碼在起作用，它是更復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。在工業(yè)生產(chǎn)比如汽車裝配，或者更復(fù)雜的FAST天文望遠(yuǎn)鏡的裝配過程中，成千上萬個零件就需要二維碼的幫助，以完成組裝。

美國數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中說過這樣一句話：“數(shù)學(xué)知識如果脫離了它豐富的文化基礎(chǔ)，就會被簡化成一些毫無意義、充滿技巧性的程序，數(shù)學(xué)的形象這時候就被扭曲了?！?/p>

任何一個數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)算法、數(shù)學(xué)定理背后都有它產(chǎn)生的源泉。比如身份證號中的算法，至少有一千年的歷史，它背后有著數(shù)學(xué)思想演化的脈絡(luò)。

（摘自《破繭成蝶·傳奇故事》2023年第10期）