一類具有垂直傳染的傳染病模型的穩(wěn)定性

郝艷榮,趙春

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

1.引言

傳染病一旦出現(xiàn)以及蔓延會嚴(yán)重危及人類生命健康,尤其面對新型復(fù)雜的傳染病類型,初期只能從宏觀上對其進(jìn)行預(yù)防和控制,很難科學(xué)地從根本上進(jìn)行防控,因此及時發(fā)現(xiàn)并探究各類傳染病的內(nèi)在傳播機(jī)制是極為重要的.通過建立傳染病動力學(xué)模型可有效的描述疾病發(fā)展變化的過程和傳播規(guī)律,預(yù)測疾病發(fā)展趨勢,并能為預(yù)防控制疾病提供決策依據(jù).為了使模型更加符合實(shí)際,許多關(guān)于傳染病模型的文獻(xiàn)考慮了不同的倉室并討論了相應(yīng)模型的穩(wěn)定性[1].文[2]以COVID-19為背景,研究了基于存在基礎(chǔ)病史易感者的SEIR模型的穩(wěn)定性.文[3]在假設(shè)總?cè)丝跒槌?shù)的情況下研究了一類具有水平和垂直傳播的傳染病模型.文[4]基于LI等人的研究進(jìn)一步討論了一類含潛伏期,染病者有病死且具標(biāo)準(zhǔn)傳染率的SEIR傳染病模型.文[5]針對COVID-19的傳播特性和新生兒患病案例的出現(xiàn),提出了一類具有垂直傳染風(fēng)險(xiǎn)及潛伏者感染性的SEIR傳染病動力學(xué)模型.文[6]研究了一類具有垂直傳播和飽和發(fā)病率的傳染病模型.但是在具有基礎(chǔ)病史易感者的基礎(chǔ)上考慮垂直傳染的研究還較少,本文在二者結(jié)合的基礎(chǔ)上,增加了隔離治療者倉室,建立了一類具有垂直傳染的傳染病模型.

2.模型的建立

本文模型共建立六個倉室,分別為無基礎(chǔ)病史的易感者(S1),有基礎(chǔ)病史的易感者(S2),具感染的潛伏者(L),染病者(I),隔離治療者(Q)和移出者(R).假設(shè)母體為有基礎(chǔ)病史的新生兒為無基礎(chǔ)病史易感者;母體為具感染的潛伏者,染病者和隔離治療者的新生兒具被垂直傳染的可能;隔離治療者不具備傳染他人的可能以及該疾病無因病致死的可能.所以,根據(jù)傳染病的動力學(xué)方法建立如下傳染病模型:

其中N(t)=S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)+R(t),模型中的參數(shù)均為正常數(shù).β1是因具感染的潛伏者由S1轉(zhuǎn)為L的傳染率.β2是因染病者由S1轉(zhuǎn)為L的傳染率.β3是因潛伏感染由S2轉(zhuǎn)為L的傳染率.β4是因染病者由S2轉(zhuǎn)為L的傳染率.b是自然出生率.p是垂直傳染率.μ是自然死亡率.ξ是由S1轉(zhuǎn)為S2的轉(zhuǎn)移率.δ是由L轉(zhuǎn)為I的轉(zhuǎn)移率.η是由I轉(zhuǎn)為Q的轉(zhuǎn)移率.θ是由L轉(zhuǎn)為Q的轉(zhuǎn)移率.γ是由Q轉(zhuǎn)為R的恢復(fù)率.初始條件N(0)=S1(0)+S2(0)+L(0)+I(0)+Q(0)+R(0),S1(0)>0,S2(0)>0,L(0)>0,I(0)>0,Q(0)>0,R(0)>0.

下面說明系統(tǒng)(2.2)所有滿足初始條件的解的正定性和有界性.

定理2.1對任意t>0,系統(tǒng)(2.2)所有滿足初始條件的解(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t))均滿足0

證首先,對系統(tǒng)(2.2)的第一式有

即

令t1=sup{t>0 :S1(t)>0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0,R(t)>0}>0,則當(dāng)t ∈(0,t1]時,式(2.3)可寫為

再令t2=sup{t>t1:S1(t)>0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0,R(t)>0}>0,則當(dāng)t ∈(t1,t2]時,有

依次向后延拓,可得對任意t>0,S1(t)>0成立.同理對系統(tǒng)(2.2)還可證得對任意t>0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0,R(t)>0均成立[7].又N?=S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)+R(t),所以對任意t>0,系統(tǒng)(2.2)所有滿足初始條件的解(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t))均滿足0

因系統(tǒng)(2.2)中只有第6個方程含有R,故可以只考慮以下系統(tǒng):

通過以上分析,可得系統(tǒng)(2.4)有正不變集D={(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t))∈R5|S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)0,S2(t)>0,L(t)>0,I(t)>0,Q(t)>0}.

3.平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

令x=(L,I,Q,S1,S2)T,則系統(tǒng)(2.4)可改寫為矩陣形式

計(jì)算F(x)和V(x)的Jacobian矩陣,得：

從而,F(x)和V(x)在無病平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣分別為：

進(jìn)而,借助下一代矩陣法[8],得到系統(tǒng)(2.4)的基本再生數(shù)R0的表達(dá)式,即

且顯然m1,m2,m3均大于0.

下面求系統(tǒng)(2.4)的地方病平衡點(diǎn)E?=(,,L?,I?,Q?).

首先,由f1(t)=0,f2(t)=0,f4(t)=0和f5(t)=0得

且f′(I)<0,即f(I)是區(qū)間[0,N?]上關(guān)于I的單調(diào)遞減函數(shù).由根的唯一性定理,當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件f(0)>0,即R0>1時,方程f(I)=0在區(qū)間(0,N?)上有唯一根.所以,當(dāng)R0>1,b>m3時,可知系統(tǒng)(2.2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E?.

此外,將f(I)=0整理為一元二次方程形式,有

其中

易知a1<0,方程(3.2)有唯一正根

通過以上的分析,得出以下地方病平衡點(diǎn)的存在唯一性定理.

定理3.1若R0>1,b>m3,則系統(tǒng)(2.4)的地方病平衡點(diǎn)E?存在且唯一.

4.平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理4.1若R0<1,η>γ,則系統(tǒng)(2.4)在無病平衡點(diǎn)E0處局部漸近穩(wěn)定;若R0>1,則系統(tǒng)(2.4)在無病平衡點(diǎn)E0處不穩(wěn)定.

證系統(tǒng)(2.4)的Jacobian矩陣為

在無病平衡點(diǎn)E0處有

由此得到兩個具有負(fù)實(shí)部的特征根λ1=-ξ-μ,λ2=-μ,且其余特征根λ3,λ4,λ5滿足

進(jìn)而，可知當(dāng)R0<1時,

同時,當(dāng)η>γ時,

根據(jù)Routh-Hurwitz判別法[9],當(dāng)R0<1,η>γ時,方程(4.1)的一切根具有負(fù)實(shí)部,進(jìn)而證得系統(tǒng)(2.4)在無病平衡點(diǎn)E0處局部漸近穩(wěn)定.

當(dāng)R0>1時,顯然a6<0,由根與系數(shù)的關(guān)系知

故λ3,λ4,λ5中至少有一個正根,所以在無病平衡點(diǎn)E0處不穩(wěn)定.

定理4.2若R0<1,則系統(tǒng)(2.4)在無病平衡點(diǎn)E0處全局漸近穩(wěn)定.

證構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中ui(i=1,2,3)為待定的正數(shù).易知只有在無病平衡點(diǎn)E0處,V1=0.否則,V1>0.現(xiàn)對V1關(guān)于系統(tǒng)(2.4)求導(dǎo),可得

下面討論地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定的充分條件.

易知系統(tǒng)(2.4)在地方病平衡點(diǎn)E?處的Jacobian矩陣為

則A|E?對應(yīng)的特征方程如下

可列出相應(yīng)的勞斯表,如表4.1 所示,其中

表4.1 勞斯表

由Routh判據(jù)[11]知,當(dāng)R0>1,b>m3,ai>0(i=7,···,11),b1>0,c1>0,d1>0時,系統(tǒng)(2.4)在地方病平衡點(diǎn)E?處局部漸近穩(wěn)定.綜上可得如下結(jié)論:

定理4.3若R0>1,b>m3,ai>0(i=7,···,11),b1>0,c1>0,d1>0,則系統(tǒng)(2.4)的地方病平衡點(diǎn)E?是局部漸近穩(wěn)定的.

定理4.4若R0>1,b>m3,則系統(tǒng)(2.2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)且在其地方病平衡點(diǎn)處全局漸近穩(wěn)定.

5.數(shù)值模擬和討論

下面進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證穩(wěn)定性的主要結(jié)論.

對系統(tǒng)(2.4),取初始值S1(0)=0.54,S2(0)=0.08,L(0)=0.1,I(0)=0.08,Q(0)=0.11,R(0)=0.09及參數(shù)β1=0.3,β2=0.35,β3=0.4,β4=0.55,δ=0.3,η=0.8,ξ=0.05,γ=0.45,θ=0.5,b=0.007,p=0.003,μ=0.007.經(jīng)計(jì)算知,此時基本再生數(shù)R0=0.7226<1.同時,觀察圖5.1,得系統(tǒng)(2.4)在無病平衡點(diǎn)處全局漸近穩(wěn)定.

圖5.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

同樣的,取系統(tǒng)(2.2)中的初始值S1(0)=0.54,S2(0)=0.08,L(0)=0.1,I(0)=0.08,Q(0)=0.11,R(0)=0.09及參數(shù)β1=0.45,β2=0.6,β3=0.5,β4=0.664,δ=0.15,η=0.85,ξ=0.05,γ=0.25,θ=0.4,b=0.007,p=0.003,μ=0.007,得基本再生數(shù)R0=1.0929>1.此時,圖5.2顯示呈漸近穩(wěn)定性態(tài),說明系統(tǒng)(2.2)的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

圖5.2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性